Монодромия

В математике монодромия — это изучение того, как ведут себя объекты математического анализа , алгебраической топологии , алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии , когда они «оббегают» особенность . Как следует из названия, основной смысл монодромии заключается в «беге в одиночку». Оно тесно связано с покрытием карт и их вырождением в разветвление ; Аспект, вызывающий явления монодромии, заключается в том, что некоторые функции, которые мы, возможно, пожелаем определить, не могут быть однозначными, когда мы «оббегаем» путь, охватывающий сингулярность. Несостоятельность монодромии можно измерить, определив группу монодромии : группу преобразований, действующих на данные, которые кодируют то, что происходит, когда мы «бегаем» в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией . ^[1]

Определение

Пусть $X$ — связное и локально связное базируемое топологическое пространство с базовой точкой $x$ , и пусть — покрытие со слоем . Для петли $γ: [0, 1] \to$ $X,$ базирующейся в $точке x$ , обозначим подъем под картой покрытия, начинающийся в точке , через . Наконец, мы обозначим конечную точку , которая обычно отличается от . Существуют теоремы, которые утверждают, что эта конструкция дает четко определенное групповое действие фундаментальной группы $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $)$ на $F$ и что стабилизатором является в точности , то есть элемент $[γ]$ фиксирует точку в $F$ тогда и только тогда, когда он представлен образом цикла на основе . Это действие называется действием монодромии , а соответствующий гомоморфизм $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Aut($ $H$ $*$ $($ $F$ $x$ $))$ в группу автоморфизмов на $F$ является алгебраической монодромией . Образом этого гомоморфизма является группа монодромии . Существует другое отображение $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Diff($ $F$ $x$ $)/Is($ $F$ $x$ $),$ образ которого называется топологической группой монодромии . $p:{\tilde {X}}\to X$ $F=p^{-1}(x)$ ${\tilde {x}}\in F$ ${\tilde {\gamma }}$ ${\tilde {x}}\cdot {\tilde {\gamma }}$ ${\tilde {\gamma }}(1)$ ${\тильда {x}}$ ${\тильда {x}}$ $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}}, {\tilde {x}}\right)\right)$ ${\tilde {X}}$ ${\тильда {x}}$

Пример

Эти идеи были впервые сформулированы в комплексном анализе . В процессе аналитического продолжения функция, являющаяся аналитической функцией $F (z)$ в некотором открытом подмножестве $E$ проколотой комплексной плоскости, может быть продолжена обратно в $E$ , но с другими значениями. Например, возьмите $\mathbb {C} \обратная косая черта \{0\}$

{\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end {выровнено}}

затем аналитическое продолжение против часовой стрелки по кругу

|z|=1

приведет к возврату не к $F (z)$ , а

F(z)+2\pi я

В этом случае группа монодромии является бесконечной циклической , а накрытием является универсальное накрытие проколотой комплексной плоскости. Это покрытие можно представить как геликоид (как определено в статье о геликоиде), ограниченный до $ρ > 0$ . Покрывающая карта представляет собой вертикальную проекцию, в каком-то смысле очевидным образом сжимающую спираль, чтобы получить проколотую плоскость.

Дифференциальные уравнения в комплексной области

Одним из важных приложений являются дифференциальные уравнения , где одно решение может дать дальнейшие линейно независимые решения путем аналитического продолжения . Линейные дифференциальные уравнения, определенные в открытом связном множестве S на комплексной плоскости, имеют группу монодромии, которая (точнее) является линейным представлением фундаментальной группы S , суммирующей все аналитические продолжения вокруг петель внутри S. Обратная задача построения уравнения (с регулярными особенностями ) по заданному представлению называется проблемой Римана–Гильберта .

Для регулярной (и, в частности, фуксовой) линейной системы в качестве образующих группы монодромии обычно выбирают операторы Mj _, соответствующие петлям, каждая из которых обходит только один из полюсов системы против часовой стрелки. Если индексы j выбраны таким образом, что они увеличиваются от 1 до p + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственным соотношением между образующими является равенство . Проблема Делиня–Симпсона представляет собой следующую проблему реализации: для каких наборов классов сопряженности в GL( n , C ) существуют неприводимые наборы матриц M _j из этих классов, удовлетворяющие указанному выше соотношению? Проблема была сформулирована Пьером Делинем , а Карлос Симпсон первым получил результаты в направлении ее решения. Аддитивная версия проблемы о невязках фуксовых систем была сформулирована и исследована Владимиром Костовым. Проблема рассматривалась и другими авторами для матричных групп, отличных от GL( n , C ). ^[2] $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$

Топологические и геометрические аспекты

В случае покрывающего отображения мы рассматриваем его как частный случай расслоения и используем свойство гомотопического подъема , чтобы «следовать» по путям в базовом пространстве X (для простоты мы предполагаем, что оно линейно связно ), когда они поднимаются. в крышку C . Если мы пройдем по циклу, основанному на x в X , который мы поднимем, чтобы начать с c выше x , мы закончим в некотором c* снова выше x ; вполне возможно, что c ≠ c* , и для кодирования этого рассматривается действие фундаментальной группы $π$ ₁ ( X , x ) как группы перестановок на множестве всех c , как группы монодромии в этом контексте.

В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос . В главном расслоении B над гладким многообразием M связность допускает «горизонтальное» движение от слоев выше m в M к соседним. Эффект при применении к циклам, основанным на m , заключается в определении группы голономии переводов волокна в m ; если структурной группой B является G , это подгруппа G , которая измеряет отклонение B от пучка продуктов M × G.

Группоид монодромии и слоения

По аналогии с фундаментальным группоидом можно избавиться от выбора базовой точки и определить монодромный группоид. Здесь мы рассматриваем (гомотопические классы) лифты путей в базовом пространстве X расслоения . Результат имеет структуру группоида над базовым пространством X. Преимущество в том, что мы можем отказаться от условия связности X. $p:{\tilde {X}}\to X$

Более того, конструкцию можно обобщить и на слоения : рассмотрим слоение (возможно, сингулярное) многообразия M. Тогда для каждого пути в листе мы можем рассмотреть его индуцированный диффеоморфизм на локальных трансверсальных сечениях, проходящих через концы. В пределах односвязной карты этот диффеоморфизм становится единственным и особенно каноническим между различными трансверсальными сечениями, если мы перейдем к зародышу диффеоморфизма вокруг концов. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри односвязной карты и, следовательно, инвариантен относительно гомотопии. $(M, {\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$

Определение через теорию Галуа

Обозначим через F ( x ) поле рациональных функций по переменной x над полем F , которое является полем частных кольца многочленов F [ x ] . Элемент y = f ( x ) из F ( x ) определяет конечное расширение поля [ F ( x ): F ( y )].

Это расширение обычно не является расширением Галуа, но имеет замыкание Галуа L ( f ). Соответствующая группа Галуа расширения [ L ( f ) : F ( y )] называется группой монодромии f .

В случае F = C теория римановой поверхности вступает в силу и допускает приведенную выше геометрическую интерпретацию. В случае, если расширение [ C ( x ): C ( y )] уже является Галуа, ассоциированную группу монодромии иногда называют группой преобразований колоды .

Это связано с теорией Галуа накрытия пространств , приводящей к теореме существования Римана .

Смотрите также

Группа кос
Теорема о монодромии
Группа классов сопоставления (проколотого диска)

Примечания

^ Кениг, Вольфганг; Шпрекельс, Юрген (2015). Карл Вейерштрасс (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – аспекты его жизни и творчества (на немецком языке). Спрингер-Верлаг. стр. 200–201. ISBN 9783658106195. Проверено 5 октября 2017 г.
^ В. П. Костов (2004), «Проблема Делиня – Симпсона — обзор», J. Algebra , 281 (1): 83–108, arXiv : math/0206298 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.07.013, MR 2091962, S2CID 119634752и ссылки в нем.