Мультифрактальная система

Система с множественными фрактальными размерностями

Странный аттрактор , демонстрирующий мультифрактальное масштабирование

Пример мультифрактального электронного собственного состояния при локализационном переходе Андерсона в системе с 1367631 атомом.

Мультифрактальная система представляет собой обобщение фрактальной системы, в которой для описания ее динамики недостаточно одного показателя ( фрактальной размерности ); вместо этого необходим непрерывный спектр показателей (так называемый спектр сингулярности ). ^[1]

Мультифрактальные системы распространены в природе. Они включают в себя длину береговых линий , горную топографию, ^[2] полностью развитую турбулентность , реальные сцены, динамику сердцебиения , ^[3] человеческую походку ^[4] и активность, ^[5] активность человеческого мозга , ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]} и временные ряды естественной светимости. ^[13] Модели были предложены в различных контекстах, начиная от турбулентности в динамике жидкостей до интернет-трафика, финансов, моделирования изображений, синтеза текстур, метеорологии, геофизики и многого другого. ^{[ необходима цитата ]} Происхождение мультифрактальности в последовательных (временных рядах) данных было приписано математическим эффектам конвергенции, связанным с центральной предельной теоремой , которые имеют в качестве фокусов конвергенции семейство статистических распределений, известных как модели экспоненциальной дисперсии Твиди , ^[14] а также геометрические модели Твиди. ^[15] Первый эффект конвергенции приводит к образованию монофрактальных последовательностей, а второй эффект конвергенции отвечает за изменение фрактальной размерности монофрактальных последовательностей. ^[16]

Мультифрактальный анализ используется для исследования наборов данных, часто в сочетании с другими методами фрактального и лакунарного анализа. Метод подразумевает искажение наборов данных, извлеченных из шаблонов, для создания мультифрактальных спектров, которые иллюстрируют, как масштабирование изменяется в наборе данных. Мультифрактальный анализ использовался для расшифровки правил генерации и функциональности сложных сетей. ^[17] Методы мультифрактального анализа применялись в различных практических ситуациях, таких как прогнозирование землетрясений и интерпретация медицинских изображений. ^{[18] [19] [20]}

Определение

В мультифрактальной системе поведение вокруг любой точки описывается локальным степенным законом : ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

Экспонента называется экспонентой сингулярности, поскольку она описывает локальную степень сингулярности или регулярности вокруг точки . ^[21] ${\displaystyle h({\vec {x}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Ансамбль, образованный всеми точками, которые разделяют один и тот же показатель сингулярности, называется многообразием сингулярности показателя h и является фрактальным множеством фрактальной размерности спектра сингулярности. Кривая против называется спектром сингулярности и полностью описывает статистическое распределение переменной . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle D(h):}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

На практике мультифрактальное поведение физической системы напрямую не характеризуется ее спектром сингулярности . Скорее, анализ данных дает доступ к показателям мультимасштабирования . Действительно, мультифрактальные сигналы обычно подчиняются свойству масштабной инвариантности , которое дает степенное поведение для величин мультиразрешения в зависимости от их масштаба . В зависимости от изучаемого объекта эти величины мультиразрешения, обозначенные как , могут быть локальными средними в блоках размера , градиентами по расстоянию , вейвлет-коэффициентами в масштабе и т. д. Для мультифрактальных объектов обычно наблюдается глобальное степенное масштабирование в форме: ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle T_{X}(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

по крайней мере, в некотором диапазоне масштабов и для некоторого диапазона порядков . Когда наблюдается такое поведение, говорят о масштабной инвариантности, самоподобии или мультимасштабировании. ^[22] ${\displaystyle q}$

Оценка

Используя так называемый мультифрактальный формализм , можно показать, что при некоторых хорошо подходящих предположениях существует соответствие между спектром сингулярности и показателями мультимасштабирования посредством преобразования Лежандра . В то время как определение требует некоторого исчерпывающего локального анализа данных, что привело бы к сложным и численно нестабильным вычислениям, оценка опирается на использование статистических средних и линейных регрессий в логарифмических диаграммах. Как только известны, можно вывести оценку благодаря простому преобразованию Лежандра. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle D(h),}$

Мультифрактальные системы часто моделируются стохастическими процессами, такими как мультипликативные каскады . Они статистически интерпретируются, поскольку характеризуют эволюцию распределений по мере перехода от больших к меньшим масштабам. Эта эволюция часто называется статистической прерывистостью и выдает отход от гауссовых моделей. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle T_{X}(a)}$ ${\displaystyle a}$

Моделирование в виде мультипликативного каскада также приводит к оценке мультифрактальных свойств. Робертс и Кронин 1996 Этот метод работает достаточно хорошо, даже для относительно небольших наборов данных. Максимально вероятное соответствие мультипликативного каскада набору данных не только оценивает полный спектр, но и дает разумные оценки ошибок. ^[23]ошибка harvnb: нет цели: CITEREFRobertsCronin1996 ( помощь )

Оценка мультифрактального масштабирования с помощью подсчета ячеек

Мультифрактальные спектры могут быть определены из подсчета ячеек на цифровых изображениях. Сначала выполняется сканирование подсчета ячеек, чтобы определить, как распределены пиксели; затем это «распределение масс» становится основой для серии вычислений. ^{[24] [25] [26]} Основная идея заключается в том, что для мультифракталов вероятность появления нескольких пикселей в ячейке изменяется как размер ячейки , в некоторой степени , которая изменяется по изображению, как в уравнении 0.0 ( Примечание : для монофракталов, напротив, показатель степени не меняется значимо по всему набору). вычисляется из распределения пикселей подсчета ячеек, как в уравнении 2.0 . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \epsilon }$= произвольный масштаб ( размер ящика при подсчете ящиков), в котором рассматривается набор

${\displaystyle i}$= индекс для каждого ящика, наложенного на набор для ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$= количество пикселей или масса в любом поле, размером ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$= общее количество ячеек, содержащих более 0 пикселей, для каждого ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle P}$используется для наблюдения за тем, как ведет себя распределение пикселей при искажении определенным образом, как в уравнении 3.0 и уравнении 3.1 :

${\displaystyle Q}$= произвольный диапазон значений, используемых в качестве показателей для искажения набора данных

• Когда , Ур.3.0 равно 1, обычной сумме всех вероятностей, а когда , каждый член равен 1, поэтому сумма равна количеству подсчитанных ящиков, . ${\displaystyle Q=1}$ ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle N_{\epsilon }}$

Эти искажающие уравнения далее используются для определения того, как ведет себя множество при масштабировании, разрешении или разрезании на ряд частей размером и искажении Q, чтобы найти различные значения размерности множества, как показано ниже: ${\displaystyle \epsilon }$

• Важной особенностью уравнения 3.0 является то, что его можно также рассматривать как изменяющееся в зависимости от масштаба, возведенного в степень в уравнении 4.0 : ${\displaystyle \tau }$

Таким образом, ряд значений для может быть найден из наклонов линии регрессии для логарифма ур.3.0 в зависимости от логарифма для каждого , на основе ур.4.1 : ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle Q}$

• Для обобщенного измерения:

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$оценивается как наклон линии регрессии для log A _{,Q ${\displaystyle \epsilon }$} в зависимости от log ${\displaystyle \epsilon }$ , где:

• Тогда находится из уравнения 5.3 . ${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

• Среднее значение оценивается как наклон линии регрессии в двойном логарифмическом масштабе для , где: ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ ${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

На практике распределение вероятностей зависит от того, как осуществляется выборка набора данных, поэтому были разработаны алгоритмы оптимизации, обеспечивающие адекватную выборку. ^[24]

Приложения

Мультифрактальный анализ успешно применяется во многих областях, включая физические, ^{[27] [28]} информационные и биологические науки. ^[29] Например, количественная оценка остаточных трещин на поверхности железобетонных стен сдвига. ^[30]

Анализ искажения набора данных

Мультифрактальный анализ аналогичен просмотру набора данных через ряд искажающих линз, чтобы сосредоточиться на различиях в масштабировании. Показанный шаблон — это карта Хенона .

Мультифрактальный анализ использовался в нескольких научных областях для характеристики различных типов наборов данных. ^{[31] [5] [8]} По сути, мультифрактальный анализ применяет искажающий фактор к наборам данных, извлеченным из шаблонов, чтобы сравнить, как данные ведут себя при каждом искажении. Это делается с помощью графиков, известных как мультифрактальные спектры , аналогично просмотру набора данных через «искажающую линзу», как показано на иллюстрации. ^[24] На практике используются несколько типов мультифрактальных спектров.

Д_Впротив Q

Спектры D _Q против Q для нефрактального круга (эмпирическая размерность подсчета ящиков = 1,0), монофрактального квадратичного креста (эмпирическая размерность подсчета ящиков = 1,49) и мультифрактальной карты Эно (эмпирическая размерность подсчета ящиков = 1,29).

Одним из практических мультифрактальных спектров является график D _Q против Q, где D _Q — обобщенная размерность для набора данных, а Q — произвольный набор показателей. Выражение обобщенная размерность , таким образом, относится к набору размерностей для набора данных (подробные вычисления для определения обобщенной размерности с использованием подсчета ящиков описаны ниже).

Размерный порядок

Общий рисунок графика D _Q против Q можно использовать для оценки масштабирования в рисунке. График, как правило, убывающий, сигмоидальный около Q=0, где D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2) . Как показано на рисунке, изменение в этом графическом спектре может помочь различать рисунки. Изображение показывает спектры D _(Q) из мультифрактального анализа бинарных изображений не-, моно- и мультифрактальных наборов. Как и в случае с изображениями образцов, не- и монофракталы, как правило, имеют более плоские спектры D _(Q) , чем мультифракталы.

Обобщенное измерение также дает важную конкретную информацию. D _(Q=0) равно измерению емкости , которое — в анализе, показанном на рисунках здесь — является измерением подсчета ящиков . D _(Q=1) равно измерению информации , а D _(Q=2) — измерению корреляции . Это относится к «мульти» в мультифрактале, где мультифракталы имеют несколько измерений в спектрах D _(Q) по сравнению с Q, но монофракталы остаются довольно плоскими в этой области. ^{[24] [25]}

f(α) против α

Другим полезным мультифрактальным спектром является график против (см. расчеты). Эти графики обычно поднимаются до максимума, который приближается к фрактальной размерности при Q=0, а затем падают. Как и спектры D _Q против Q, они также показывают типичные закономерности, полезные для сравнения не-, моно- и мультифрактальных закономерностей. В частности, для этих спектров не- и монофракталы сходятся на определенных значениях, тогда как спектры мультифрактальных закономерностей обычно образуют горбы на более широкой области. ${\displaystyle f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Обобщенные измерения распределения численности видов в пространстве

Одно из применений D _q против Q в экологии — характеристика распределения видов. Традиционно относительное обилие видов рассчитывается для области без учета местонахождения особей. Эквивалентным представлением относительного обилия видов являются ранги видов, используемые для создания поверхности, называемой поверхностью ранга видов, ^[32] которую можно проанализировать с использованием обобщенных измерений для обнаружения различных экологических механизмов, подобных тем, которые наблюдаются в нейтральной теории биоразнообразия , динамике метасообщества или теории ниш . ^{[32] [33]}

Смотрите также

• Кривая де Рама  – Непрерывная фрактальная кривая, полученная как изображение пространства Кантора
• Дробное броуновское движение  – Концепция теории вероятностей
• Анализ флуктуаций с исключенным трендом  – Статистический термин
• Распределения Твиди  – Семейство распределений вероятностейСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Мультифрактальная модель переключения Маркова  – модель доходности активовСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Взвешенная плоская стохастическая решетка  – математическая структура, разделяющая некоторые свойства как решеток, так и графов.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Ссылки

1. Харт, Дэвид (2001). Мультифракталы . Лондон: Chapman & Hall. ISBN 978-1-58488-154-4.
2. Gerges, Firas; Geng, Xiaolong; Nassif, Hani; Boufadel, Michel C. (2021). «Анизотропное мультифрактальное масштабирование топографии горы Ливан: приближенное обусловливание». Fractals . 29 (5): 2150112–2153322. Bibcode :2021Fract..2950112G. doi :10.1142/S0218348X21501127. ISSN  0218-348X. S2CID  234272453.
3. Иванов, Пламен Ч.; Амарал, Луис А. Нунес; Голдбергер, Ари Л.; Хавлин, Шломо; Розенблюм, Майкл Г.; Струзик, Збигнев Р.; Стэнли, Х. Юджин (1999-06-03). «Мультифрактальность в динамике сердцебиения человека». Nature . 399 (6735): 461–465. arXiv : cond-mat/9905329 . Bibcode :1999Natur.399..461I. doi :10.1038/20924. ISSN  0028-0836. PMID  10365957. S2CID  956569.
4. Scafetta, Nicola; Marchi, Damiano; West, Bruce J. (июнь 2009 г.). «Понимание сложности динамики человеческой походки». Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 19 (2): 026108. Bibcode : 2009Chaos..19b6108S. doi : 10.1063/1.3143035. ISSN  1054-1500. PMID  19566268.
5. Франса, Лукас Габриэль Соуза; Монтойя, Педро; Миранда, Хосе Гарсия Вивас (2019). «О мультифракталах: нелинейное исследование данных актиграфии». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 514 : 612–619. arXiv : 1702.03912 . Бибкод : 2019PhyA..514..612F. doi :10.1016/j.physa.2018.09.122. ISSN  0378-4371. S2CID  18259316.
6. Папо, Дэвид; Гони, Хоакин; Булду, Хавьер М. (2017). «Редакционная статья: О связи динамики и структуры в мозговых сетях». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 27 (4): 047201. Bibcode : 2017Chaos..27d7201P. doi : 10.1063/1.4981391. ISSN  1054-1500. PMID  28456177.
7. Ciuciu, Philippe; Varoquaux, Gaël; Abry, Patrice; Sadaghiani, Sepideh; Kleinschmidt, Andreas (2012). «Не зависящие от масштаба и мультифрактальные свойства сигналов фМРТ во время отдыха и выполнения задач». Frontiers in Physiology . 3 : 186. doi : 10.3389/fphys.2012.00186 . ISSN  1664-042X. PMC 3375626. PMID 22715328  . 
8. França, Lucas G. Souza; Miranda, José G. Vivas; Leite, Marco; Sharma, Niraj K.; Walker, Matthew C.; Lemieux, Louis; Wang, Yujiang (2018). «Фрактальные и мультифрактальные свойства электрографических записей активности человеческого мозга: к их использованию в качестве сигнального признака для машинного обучения в клинических приложениях». Frontiers in Physiology . 9 : 1767. arXiv : 1806.03889 . Bibcode : 2018arXiv180603889F. doi : 10.3389/fphys.2018.01767 . ISSN  1664-042X. PMC 6295567. PMID  30618789 . 
9. Ihlen, Espen AF; Vereijken, Beatrix (2010). «Динамика взаимодействия в человеческом познании: за пределами флуктуации 1/ƒα». Журнал экспериментальной психологии: Общие сведения . 139 (3): 436–463. doi :10.1037/a0019098. ISSN  1939-2222. PMID  20677894.
10. Чжан, Яньли; Чжоу, Вэйдун; Юань, Шаша (2015). «Мультифрактальный анализ и автоматическое обнаружение приступов на основе векторной машины релевантности при внутричерепной ЭЭГ». Международный журнал нейронных систем . 25 (6): 1550020. doi :10.1142/s0129065715500203. ISSN  0129-0657. PMID  25986754.
11. Саклинг, Джон; Винк, Алле Мейе; Бернард, Фредерик А.; Барнс, Анна; Буллмор, Эдвард (2008). «Эндогенная мультифрактальная динамика мозга модулируется возрастом, холинергической блокадой и когнитивной производительностью». Журнал методов нейронауки . 174 (2): 292–300. doi :10.1016/j.jneumeth.2008.06.037. ISSN  0165-0270. PMC 2590659. PMID 18703089  . 
12. Зорик, Тодд; Манделькерн, Марк А. (2013-07-03). "Мультифрактальный детрендированный флуктуационный анализ человеческой ЭЭГ: предварительное исследование и сравнение с методом вейвлет-преобразования модуля максимума". PLOS ONE . ​​8 (7): e68360. Bibcode :2013PLoSO...868360Z. doi : 10.1371/journal.pone.0068360 . ISSN  1932-6203. PMC 3700954 . PMID  23844189. 
13. Гастон, Кевин Дж.; Ричард Ингер; Бенни, Джонатан; Дэвис, Томас У. (2013-04-24). «Искусственный свет изменяет естественные режимы яркости ночного неба». Scientific Reports . 3 : 1722. Bibcode :2013NatSR...3E1722D. doi :10.1038/srep01722. ISSN  2045-2322. PMC 3634108 . 
14. Кендал, WS; Йоргенсен, BR (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/f и мультифрактальности». Phys. Rev. E. 84 ( 6 Pt 2): 066120. Bibcode : 2011PhRvE..84f6120K. doi : 10.1103/physreve.84.066120. PMID  22304168.
15. Йоргенсен, Б; Коконенджи, CC (2011). «Модели дисперсии геометрических сумм». Браз Дж. Пробаб Стат . 25 (3): 263–293. дои : 10.1214/10-bjps136 .
16. Кендал, WS (2014). «Мультифрактальность, приписываемая эффектам сходимости, подобным двойным центральным пределам». Physica A. 401 : 22–33. Bibcode : 2014PhyA..401...22K. doi : 10.1016/j.physa.2014.01.022.
17. Сяо, Сюнге; Чэнь, Ханьлун; Богдан, Пол (25 ноября 2021 г.). «Расшифровка правил генерации и функциональности сложных сетей». Scientific Reports . 11 (1): 22964. Bibcode :2021NatSR..1122964X. doi :10.1038/s41598-021-02203-4. PMC 8616909 . PMID  34824290. S2CID  244660272. 
18. Лопес, Р.; Бетруни, Н. (2009). «Фрактальный и мультифрактальный анализ: обзор». Анализ медицинских изображений . 13 (4): 634–649. doi :10.1016/j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
19. Морено, Пенсильвания; Велес, ЧП; Мартинес, Э.; Гаррета, Ле; Диас, Н.С.; Амадор, С.; Тишер, И.; Гутьеррес, Х.М.; Наик, АК; Тобар, ФН; Гарсиа, Ф. (2011). «Геном человека: мультифрактальный анализ». БМК Геномика . 12 :506. дои : 10.1186/1471-2164-12-506 . ПМК 3277318 . ПМИД  21999602. 
20. Atupelage, C.; Nagahashi, H.; Yamaguchi, M.; Sakamoto, M.; Hashiguchi, A. (2012). «Мультифрактальный дескриптор признаков для гистопатологии». Analytical Cellular Pathology . 35 (2): 123–126. doi : 10.1155/2012/912956 . PMC 4605731. PMID  22101185 . 
21. Фальконер, Кеннет Дж. (2014). "17. Мультифрактальные меры". Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (3-е изд., 1-е изд.). Чичестер: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9.
22. AJ Roberts и A. Cronin (1996). «Непредвзятая оценка мультифрактальных размерностей конечных наборов данных». Physica A. 233 ( 3): 867–878. arXiv : chao-dyn/9601019 . Bibcode : 1996PhyA..233..867R. doi : 10.1016/S0378-4371(96)00165-3. S2CID  14388392.
23. Робертс, А. Дж. (7 августа 2014 г.). «Мультифрактальная оценка — максимальное правдоподобие». Университет Аделаиды . Получено 4 июня 2019 г.
24. Karperien, A (2002), Что такое мультифракталы?, ImageJ, заархивировано из оригинала 20.10.2011 , извлечено 10.02.2012
25. Chhabra, A.; Jensen, R. (1989). "Прямое определение спектра сингулярности f(α)". Physical Review Letters . 62 (12): 1327–1330. Bibcode :1989PhRvL..62.1327C. doi :10.1103/PhysRevLett.62.1327. PMID  10039645.
26. Посадас, И. А.; Хименес, Д.; Биттелли, М.; Ваз, К. М. П.; Флюри, М. (2001). «Мультифрактальная характеристика распределения размеров частиц в почве». Журнал Американского общества почвоведения . 65 (5): 1361. Bibcode : 2001SSASJ..65.1361P. doi : 10.2136/sssaj2001.6551361x.
27. Амин, Кази Рафсанджани; Нагараджан, Рамья; Пандит, Рахул; Бид, Авик (2022-10-26). «Мультифрактальные флуктуации проводимости в высокомобильном графене в целочисленном квантовом режиме Холла». Physical Review Letters . 129 (18): 186802. arXiv : 2112.14018 . Bibcode : 2022PhRvL.129r6802A. doi : 10.1103/PhysRevLett.129.186802. PMID  36374690. S2CID  245537293.
28. Амин, Кази Рафсанджани; Рэй, Самриддхи Санкар; Пал, Наирита; Пандит, Рахул; Бид, Aveek (22 февраля 2018 г.). «Экзотические мультифрактальные флуктуации проводимости в графене». Физика связи . 1 (1): 1–7. arXiv : 1804.04454 . Бибкод : 2018CmPhy...1....1A. дои : 10.1038/s42005-017-0001-4 . ISSN  2399-3650. S2CID  55555526.
29. Лопес, Р.; Бетруни, Н. (2009). «Фрактальный и мультифрактальный анализ: обзор». Анализ медицинских изображений . 13 (4): 634–649. doi :10.1016/j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
30. Эбрахимханлу, Арвин; Фархидзаде, Алиреза; Саламоне, Сальваторе (2016-01-01). «Мультифрактальный анализ структур трещин в железобетонных стенах сдвига». Structural Health Monitoring . 15 (1): 81–92. doi : 10.1177/1475921715624502 . ISSN  1475-9217. S2CID  111619405.
31. Trevino, J.; Liew, SF; Noh, H.; Cao, H.; Dal Negro, L. (2012). «Геометрическая структура, мультифрактальные спектры и локализованные оптические моды апериодических спиралей Фогеля». Optics Express . 20 (3): 3015–33. Bibcode : 2012OExpr..20.3015T. doi : 10.1364/OE.20.003015 . PMID  22330539.
32. Saravia, Leonardo A. (2015-08-01). «Новый метод анализа численности видов в пространстве с использованием обобщенных измерений». Методы в экологии и эволюции . 6 (11): 1298–1310. Bibcode :2015MEcEv...6.1298S. doi : 10.1111/2041-210X.12417 . ISSN  2041-210X.
33. Саравия, Леонардо А. (2014-01-01). "mfSBA: Мультифрактальный анализ пространственных закономерностей в экологических сообществах". F1000Research . 3 : 14. doi : 10.12688/f1000research.3-14.v2 . PMC 4197745 . PMID  25324962. 

Дальнейшее чтение

• Фальконер, Кеннет Дж. (2014). "17. Мультифрактальные меры". Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (3-е изд., 1-е изд.). Чичестер: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9.
• Barabási, A.- L.; Stanley, HE, ред. (1995), "Мультиаффинные поверхности", Fractal Concepts in Surface Growth , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 262–268, doi :10.1017/CBO9780511599798.026, ISBN 978-0-521-48318-6, получено 2024-06-05
• G, Evertsz CJ; Mandelbrot, Benoît B. (1992). "Мультифрактальные меры" (PDF) . Хаос и фракталы Новые рубежи науки : 922–953. Архивировано из оригинала (PDF) 2023-07-13.
• Мандельброт, Бенуа Б. (1997). Фракталы и масштабирование в финансах: разрывность, концентрация, риск . Selecta. Нью-Йорк, Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-0-387-98363-9.
• Харт, Дэвид (2001-06-26). Мультифракталы. Chapman and Hall/CRC. doi :10.1201/9781420036008. ISBN 978-0-429-12366-5.
• Stanley HE, Meakin P. (1988). "Мультифрактальные явления в физике и химии" (Обзор) . Nature . 335 (6189): 405–9. Bibcode : 1988Natur.335..405S. doi : 10.1038/335405a0. S2CID  4318433.
• Arneodo, Alain; Audit, Benjamin; Kestener, Pierre; Roux, Stephane (2008). "Мультифрактальный анализ на основе вейвлетов". Scholarpedia . 3 (3): 4103. Bibcode :2008SchpJ...3.4103A. doi : 10.4249/scholarpedia.4103 . ISSN  1941-6016.

Внешние ссылки

• Венециано, Даниэле; Эссиам, Альберт К. (1 июня 2003 г.). «Поток через пористые среды с мультифрактальной гидравлической проводимостью». Water Resources Research . 39 (6): 1166. Bibcode : 2003WRR....39.1166V. doi : 10.1029/2001WR001018 . ISSN  1944-7973.
• Фильмы визуализации мультифракталов