Теорема о разделении паевых инвестиционных фондов

В теории портфеля теорема о разделении паевых инвестиционных фондов , теорема о взаимном инвестиционном фонде или теорема о разделении — это теорема , утверждающая, что при определенных условиях оптимальный портфель любого инвестора может быть построен путем удержания каждого из определенных паевых инвестиционных фондов в соответствующих соотношениях, где количество паевых инвестиционных фондов меньше количества отдельных активов в портфеле. Здесь паевой инвестиционный фонд относится к любому указанному эталонному портфелю доступных активов. Есть два преимущества наличия теоремы о взаимном инвестиционном фонде. Во-первых, если выполняются соответствующие условия, инвестору может быть проще (или с меньшими транзакционными издержками) приобрести меньшее количество паевых инвестиционных фондов, чем купить большее количество активов по отдельности. Во-вторых, с теоретической и эмпирической точки зрения, если можно предположить, что соответствующие условия действительно выполняются, то можно вывести и проверить последствия для функционирования рынков активов.

Разделение портфеля в анализе среднего отклонения

Портфели можно анализировать в рамках средней дисперсии , при этом каждый инвестор держит портфель с минимально возможной дисперсией доходности , соответствующей выбранному инвестором уровню ожидаемой доходности (называется портфелем с минимальной дисперсией ), если доходность активов распределена совместно эллиптически , включая особый случай, в котором они распределены совместно нормально . ^{[1] [2]} При анализе средней дисперсии можно показать ^[3] , что каждый портфель с минимальной дисперсией при заданной ожидаемой доходности (то есть каждый эффективный портфель) может быть сформирован как комбинация любых двух эффективных портфелей. Если оптимальный портфель инвестора имеет ожидаемую доходность, которая находится между ожидаемыми доходностями двух эффективных эталонных портфелей, то портфель этого инвестора можно охарактеризовать как состоящий из положительных количеств двух эталонных портфелей.

Нет безрисковых активов

Чтобы увидеть разделение двух фондов в контексте, в котором нет доступных безрисковых активов, используя матричную алгебру , пусть будет дисперсией доходности портфеля, пусть будет уровнем ожидаемой доходности портфеля, при котором дисперсия доходности портфеля должна быть минимизирована, пусть будет вектором ожидаемой доходности доступных активов, пусть будет вектором сумм, которые будут размещены в доступных активах, пусть будет суммой богатства, которая должна быть распределена в портфеле, и пусть будет вектором единиц. Тогда проблема минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности портфеля может быть сформулирована как ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 1}$

Свернуть ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

при условии

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

и

${\displaystyle X^{T}1=W}$

где верхний индекс обозначает транспонирование матрицы. Дисперсия доходности портфеля в целевой функции может быть записана как где — положительно определенная ковариационная матрица доходности отдельных активов. Лагранжиан для этой задачи ограниченной оптимизации (чьи условия второго порядка, как можно показать, выполняются) равен ${\displaystyle ^{T}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),}$

с множителями Лагранжа и . Это можно решить для оптимального вектора количеств активов, приравняв к нулю производные по , и , предварительно решив условие первого порядка для в терминах и , подставив в другие условия первого порядка, решив для и в терминах параметров модели и подставив обратно в предварительное решение для . Результатом будет ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

где

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

Для простоты это можно записать более компактно как

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

где и являются векторами параметров, основанными на базовых параметрах модели. Теперь рассмотрим два эталонных эффективных портфеля, построенных на эталонных ожидаемых доходностях и , таким образом, заданных как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

и

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

Оптимальный портфель при произвольном значении можно записать как средневзвешенное значение и следующим образом: ${\displaystyle \mu _{3}}$ ${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

Это уравнение доказывает теорему разделения двух фондов для анализа средней дисперсии. Для геометрической интерпретации см. Markowitz bullet .

Один безрисковый актив

Если доступен безрисковый актив , то снова применяется теорема о разделении двух фондов; но в этом случае один из «фондов» может быть выбран как очень простой фонд, содержащий только безрисковый актив, а другой фонд может быть выбран как фонд, содержащий нулевые запасы безрискового актива. (С безрисковым активом, называемым «деньгами», эта форма теоремы называется теоремой о разделении денег .) Таким образом, эффективные портфели со средней дисперсией могут быть сформированы просто как комбинация запасов безрискового актива и запасов конкретного эффективного фонда, который содержит только рисковые активы. Однако вывод выше неприменим, поскольку с безрисковым активом вышеуказанная ковариационная матрица всех доходностей активов, , будет иметь одну строку и один столбец нулей и, таким образом, не будет обратимой. Вместо этого задачу можно сформулировать как ${\displaystyle V}$

Свернуть ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

при условии

${\displaystyle (W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

где — известная доходность безрискового актива, — теперь вектор количеств, которые будут удерживаться в рискованных активах, и — вектор ожидаемых доходностей рискованных активов. Левая часть последнего уравнения — ожидаемая доходность портфеля, поскольку — количество, удерживаемое в безрисковом активе, таким образом включая ограничение на добавление активов, которое в предыдущей задаче требовало включения отдельного ограничения Лагранжа. Целевую функцию можно записать как , где — теперь матрица ковариации только рискованных активов. Можно показать, что эта задача оптимизации дает оптимальный вектор вложений рискованных активов ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (W-X^{T}1)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Конечно, это равно нулевому вектору, если , доходность безрискового портфеля, в этом случае все богатство удерживается в безрисковом активе. Можно показать, что портфель с точно нулевым количеством безрискового актива возникает при и задается как ${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$ ${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Также можно показать (аналогично демонстрации в приведенном выше случае двух паевых инвестиционных фондов), что вектор рискованных активов каждого портфеля (то есть для каждого значения ) может быть сформирован как взвешенная комбинация последнего вектора и нулевого вектора. Для геометрической интерпретации см. эффективную границу без безрисковых активов . ${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle \mu }$

Разделение портфеля без анализа среднего отклонения

Если у инвесторов гиперболическая абсолютная невосприимчивость к риску (HARA) (включая степенную функцию полезности , логарифмическую функцию и экспоненциальную функцию полезности ), теоремы разделения могут быть получены без использования анализа среднего отклонения. Например, Дэвид Касс и Джозеф Стиглиц ^[4] показали в 1970 году, что денежное разделение на два фонда применимо, если все инвесторы имеют полезность HARA с одинаковым показателем степени. ^{[5] : гл.4}

Совсем недавно, в динамической модели оптимизации портфеля Чанакоглу и Озекиджи, ^[6] уровень начального богатства инвестора (отличительная черта инвесторов) не влияет на оптимальный состав рисковой части портфеля. Похожий результат дает Шмеддерс. ^[7]

Ссылки

1. Чемберлен, Г. (1983). «Характеристика распределений, подразумевающих функции полезности средней дисперсии». Журнал экономической теории . 29 : 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
2. Оуэн, Дж.; Рабинович, Р. (1983). «О классе эллиптических распределений и их применении в теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x.
3. Мертон, Роберт ; Сентябрь (1972). «Аналитический вывод границы эффективного портфеля» (PDF) . Журнал финансового и количественного анализа . 7 (4): 1851–1872. doi :10.2307/2329621. hdl : 1721.1/46832 . JSTOR  2329621.
4. Касс, Дэвид; Стиглиц, Джозеф (1970). «Структура предпочтений инвесторов и доходности активов, а также разделимость в распределении портфеля». Журнал экономической теории . 2 (2): 122–160. doi :10.1016/0022-0531(70)90002-5.
5. Хуан, Чи-фу и Роберт Х. Литценбергер, Основы финансовой экономики , Северная Голландия, 1988.
6. Чанакоглу, Этхем; Озекиджи, Сулейман (2010). «Выбор портфеля на стохастических рынках с функциями полезности HARA». Европейский журнал операционных исследований . 201 (2): 520–536. doi :10.1016/j.ejor.2009.03.017.
7. Шмеддерс, Карл Х. (15 июня 2006 г.) «Разделение двух фондов в динамическом общем равновесии», Серия рабочих документов SSRN. https://ssrn.com/abstract=908587