Квадратная матрица

Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов

Квадратная матрица порядка 4. Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4×4 выше содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

В математике квадратная матрица — это матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. Матрица n -на- n известна как квадратная матрица порядка . Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и умножать. ${\displaystyle n}$

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований , таких как сдвиг или вращение . Например, если — квадратная матрица, представляющая вращение ( матрица вращения ), а — вектор-столбец, описывающий положение точки в пространстве, произведение дает другой вектор-столбец, описывающий положение этой точки после этого вращения. Если — вектор - строка , то то же самое преобразование можно получить с помощью , где — транспонирование . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle R\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R}$

Главная диагональ

Элементы ( i = 1, ..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой прямой, которая проходит из верхнего левого угла в нижний правый угол матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4×4 выше содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

Диагональ квадратной матрицы, идущая из правого верхнего в левый нижний угол, называется антидиагональю или контрдиагональю .

Особые виды

Диагональная или треугольная матрица

Если все элементы вне главной диагонали равны нулю, то матрица называется диагональной . Если все элементы ниже (соответственно выше) главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхней (соответственно нижней) треугольной . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Матрица идентичности

Единичная матрица размера — это матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, например Это квадратная матрица порядка , а также особый вид диагональной матрицы . Термин единичная матрица относится к свойству умножения матриц, что для любой матрицы . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$

Обратимая матрица и ее обратная

Квадратная матрица называется обратимой или невырожденной, если существует матрица такая, что ^{[1] [2]} Если она существует, то она единственна и называется обратной матрицей для , обозначаемой . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Симметричная или кососимметричная матрица

Квадратная матрица , равная своей транспонированной, т.е. , является симметричной матрицей . Если вместо , то называется кососимметричной матрицей . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle A}$

Для комплексной квадратной матрицы часто подходящим аналогом транспонирования является сопряженное транспонирование , определяемое как транспонирование комплексно сопряженной матрицы . Комплексная квадратная матрица, удовлетворяющая , называется эрмитовой матрицей . Если вместо этого , то называется косоэрмитовой матрицей . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle A^{*}=-A}$ ${\displaystyle A}$

По спектральной теореме , действительные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис ; т.е. каждый вектор выражается как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны. ^[3]

Определенная матрица

Симметричная n × n -матрица называется положительно-определенной (соответственно отрицательно-определенной; неопределенной), если для всех ненулевых векторов соответствующая квадратичная форма, заданная как , принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные значения). ^[4] Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица является неопределенной в точности тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$

Симметричная матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. ^[5] Таблица справа показывает две возможности для матриц 2×2.

Разрешение вместо этого использовать два разных вектора в качестве входных данных приводит к билинейной форме, связанной с A : ^[6] $${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с действительными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т.е. ортонормированными векторами). Эквивалентно, матрица A является ортогональной, если ее транспонирование равно ее инверсии : что влечет за собой где I — единичная матрица . $${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$ $${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$

Ортогональная матрица A обязательно обратима (с обратным A ⁻¹ = A ^T ), унитарна ( A ⁻¹ = A * ) и нормальна ( A * A = AA * ). Определитель любой ортогональной матрицы равен либо +1, либо −1. Специальная ортогональная группа состоит из ортогональных матриц n × n с определителем +1. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица .

Нормальная матрица

Действительная или комплексная квадратная матрица называется нормальной , если . Если действительная квадратная матрица симметрична, кососимметрична или ортогональна, то она нормальна. Если комплексная квадратная матрица эрмитова, косоэрмитова или унитарна, то она нормальна. Нормальные матрицы представляют интерес главным образом потому, что они включают в себя типы матриц, перечисленных выше, и образуют самый широкий класс матриц, для которых справедлива спектральная теорема . ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

Операции

След

След , tr ( A ) квадратной матрицы A — это сумма ее диагональных элементов. Хотя умножение матриц не является коммутативным, след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей: Это непосредственно следует из определения умножения матриц: Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т.е. $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

Определитель

Линейное преобразование, заданное указанной матрицей. Определитель этой матрицы равен −1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но отображение меняет ориентацию , так как оно меняет ориентацию векторов против часовой стрелки на ориентацию по часовой стрелке. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Определитель квадратной матрицы — это число, кодирующее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ненулевой. Ее абсолютное значение равно площади (в ) или объему (в ) изображения единичного квадрата (или куба), а ее знак соответствует ориентации соответствующего линейного отображения: определитель положителен тогда и только тогда, когда ориентация сохраняется. ${\displaystyle \det(A)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определитель матриц 2×2 определяется как Определитель матриц 3×3 включает 6 членов ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения. ^[8] $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей: ^[9] Добавление кратного любой строки к другой строке или кратного любого столбца к другому столбцу не меняет определитель. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на −1. ^[10] Используя эти операции, любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, и для таких матриц определитель равен произведению элементов на главной диагонали; это дает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель через миноры , т. е. определители меньших матриц. ^[11] Это расширение можно использовать для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве начального случая определитель матрицы 1×1, который является ее единственным элементом, или даже определитель матрицы 0×0, который равен 1), что можно считать эквивалентным формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с использованием правила Крамера , где деление определителей двух связанных квадратных матриц равно значению каждой из переменных системы. ^[12] $${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$

Собственные значения и собственные векторы

Число λ и ненулевой вектор, удовлетворяющие , называются собственным значением и собственным вектором матрицы A соответственно. ^{[13] [14]} Число λ является собственным значением матрицы A размера n × n тогда и только тогда, когда A − λ I _n необратим, что эквивалентно [ ^15] Многочлен p _A от неопределенной матрицы X, заданной вычислением определителя det( XI _n − A ), называется характеристическим многочленом матрицы A . Это монический многочлен степени n . Поэтому полиномиальное уравнение p _A (λ) = 0 имеет не более n различных решений, т. е. собственных значений матрицы. ^[16] Они могут быть комплексными, даже если элементы матрицы A действительны. Согласно теореме Кэли–Гамильтона , p _A ( A ) = 0 , то есть результат подстановки самой матрицы в ее собственный характеристический многочлен дает нулевую матрицу . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$

Смотрите также

• матрица Картана

Примечания

1. Браун 1991, Определение I.2.28
2. Браун 1991, Определение I.5.13
3. Хорн и Джонсон 1985, Теорема 2.5.6
4. Хорн и Джонсон 1985, Глава 7
5. Хорн и Джонсон 1985, Теорема 7.2.1
6. Хорн и Джонсон 1985, Пример 4.0.6, стр. 169
7. Артин, Алгебра , 2-е издание, Пирсон, 2018, раздел 8.6.
8. Браун 1991, Определение III.2.1
9. Браун 1991, Теорема III.2.12
10. Браун 1991, Следствие III.2.16
11. Мирский 1990, Теорема 1.4.1
12. Браун 1991, Теорема III.3.18
13. Eigen означает «собственный» на немецком и голландском языках .
14. Браун 1991, Определение III.4.1
15. Браун 1991, Определение III.4.9
16. Браун 1991, Следствие III.4.10

Ссылки

• Браун, Уильям С. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Хорн, Роджер А.; Джонсон , Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Мирский, Леонид (1990), Введение в линейную алгебру, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с квадратными матрицами на Wikimedia Commons