Узкая классовая группа

В алгебраической теории чисел узкая группа классов числового поля K представляет собой уточнение группы классов поля K , учитывающее некоторую информацию о вложениях поля K в поле действительных чисел .

Формальное определение

Предположим, что K — конечное расширение Q. Напомним, что обычная группа классов K определяется как фактор

${\displaystyle C_{K}=I_{K}/P_{K},\,\!}$

где I _K — группа дробных идеалов K , а P _K — подгруппа главных дробных идеалов K , то есть идеалов вида aO _K , где a — элемент K.

Узкая классовая группа определяется как фактор

${\displaystyle C_{K}^{+}=I_{K}/P_{K}^{+},}$

где теперь P _K ⁺ — это группа вполне положительных главных дробных идеалов K ; то есть идеалов вида aO K , где a — элемент _K такой , что σ( a ) положительно для любого вложения

${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {R} .}$

Использует

Узкая группа классов играет видную роль в теории представления целых чисел квадратичными формами . Примером может служить следующий результат (Фрелих и Тейлор, Глава V, Теорема 1.25).

Теорема . Предположим, что где d — целое число, свободное от квадратов , и что узкая группа классов K тривиальна . Предположим, что ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,),}$

${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}\,\!}$

является базисом для кольца целых чисел K. Определим квадратичную форму

${\displaystyle q_{K}(x,y)=N_{K/\mathbb {Q} }(\omega _{1}x+\omega _{2}y)}$,

где N _{K / Q} — норма . Тогда простое число p имеет вид

${\displaystyle p=q_{K}(x,y)\,\!}$

для некоторых целых чисел x и y тогда и только тогда, когда либо

${\displaystyle p\mid d_{K}\,\!,}$

или

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{ and }}\quad d_{K}\equiv 1{\pmod {8}},}$

или

${\displaystyle p>2\quad {\mbox{ and}}\quad \left({\frac {d_{K}}{p}}\right)=1,}$

где d _K — дискриминант K , а

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}$

обозначает символ Лежандра .

Примеры

Например, можно доказать , что квадратичные поля Q ( √ −1 ), Q ( √ 2 ), Q ( √ −3 ) имеют тривиальную узкую группу классов. Тогда, выбрав соответствующие базисы для целых чисел каждого из этих полей, из вышеприведенной теоремы следует следующее:

• Простое число p имеет вид p = x ² + y ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

(Это известно как теорема Ферма о суммах двух квадратов .)

• Простое число p имеет вид p = x ² − 2 y ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1,7{\pmod {8}}.}$

• Простое число p имеет вид p = x ² − xy + y ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

${\displaystyle p=3\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}.}$(ср. Эйзенштейн Прайм )

Примером, иллюстрирующим разницу между узкой группой классов и обычной группой классов , является случай Q ( √ 6 ). Он имеет тривиальную группу классов, но его узкая группа классов имеет порядок 2. Поскольку группа классов тривиальна, следующее утверждение верно:

• Простое число p или его обратное число − p имеет вид ± p = x ² − 6 y ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

${\displaystyle p=2\quad {\mbox{or}}\quad p=3\quad {\mbox{or}}\quad \left({\frac {6}{p}}\right)=1.}$

Однако это утверждение ложно, если мы сосредоточимся только на p , а не на − p (и фактически ложно даже для p = 2), поскольку узкая группа классов нетривиальна. Утверждение, которое классифицирует положительное p , следующее:

• Простое число p имеет вид p = x ² − 6 y ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда p = 3 или

${\displaystyle \left({\frac {6}{p}}\right)=1\quad {\mbox{and}}\quad \left({\frac {-2}{p}}\right)=1.}$

(В то время как первое утверждение допускает простые числа , второе допускает только простые числа .) ${\displaystyle p\equiv 1,5,19,23{\pmod {24}}}$ ${\displaystyle p\equiv 1,19{\pmod {24}}}$

Смотрите также

• Группа класса
• Квадратичная форма

Ссылки

• А. Фрёлих и М. Дж. Тейлор, Алгебраическая теория чисел (стр. 180), Cambridge University Press, 1991.