Аддитивная обратная

Число, которое при добавлении к исходному числу дает аддитивное тождество

В математике аддитивный обратный элемент x , обозначаемый как -x , ^[1] — это элемент, который при добавлении к x дает аддитивное тождество , 0. ^[2] В наиболее известных случаях это число , но оно также может относиться к более обобщенному нулевому элементу .

В элементарной математике аддитивное обратное число часто называют противоположным числом. ^{[3] [4]} Это понятие тесно связано с вычитанием ^[5] и важно при решении алгебраических уравнений . ^[6] Не все множества , где определено сложение, имеют аддитивное обратное число, например, натуральные числа . ^[7]

Распространенные примеры

При работе с целыми , рациональными , действительными и комплексными числами аддитивное обратное число любого числа можно найти, умножив его на −1 . ^[6]

Эти комплексные числа, два из восьми значений ⁸ √ 1 , взаимно противоположны

Эту концепцию можно также распространить на алгебраические выражения, что часто используется при балансировке уравнений .

Отношение к вычитанию

Аддитивная обратная функция тесно связана с вычитанием , которое можно рассматривать как сложение с использованием обратной функции:

а − б  =  а + (− б ) .

Наоборот, аддитивную инверсию можно рассматривать как вычитание из нуля:

− а  = 0 − а .

Эта связь привела к тому, что знак минус использовался как для противоположных величин, так и для вычитания еще в 17 веке. Хотя эта нотация является стандартной сегодня, в то время она встретила сопротивление, поскольку некоторые математики считали, что она может быть неясной и приводить к ошибкам. ^[8]

Формальное определение

При наличии алгебраической структуры, определенной относительно сложения с аддитивным тождеством , элемент имеет аддитивный обратный элемент тогда и только тогда , когда , , и . ^[7] ${\displaystyle (S,+)}$ ${\displaystyle e\in S}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle x+y=e}$ ${\displaystyle y+x=e}$

Сложение обычно используется только для обозначения коммутативной операции, но оно не обязательно ассоциативно . Когда оно ассоциативно, то есть левые и правые обратные, если они существуют, будут согласовываться, а аддитивная обратная будет уникальной. В неассоциативных случаях левые и правые обратные могут не согласовываться, и в этих случаях обратная не считается существующей. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

Определение требует замыкания , чтобы аддитивный элемент находился в . Вот почему, несмотря на то, что сложение определено над натуральными числами, оно не имеет аддитивной инверсии для своих членов. Связанные обратные элементы были бы отрицательными числами , поэтому целые числа имеют аддитивную инверсию. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$

Дополнительные примеры

• В векторном пространстве аддитивный обратный вектор − v (часто называемый противоположным вектором v ) имеет ту же величину, что и v , но противоположное направление. ^[9]
• В модульной арифметике модульное аддитивное обратное к x — это число a, такое что a + x ≡ 0 (mod n ) и всегда существует. Например, обратное к 3 по модулю 11 — это 8, так как 3 + 8 ≡ 0 (mod 11) . ^[10]
• В булевом кольце , имеющем элементы, сложение часто определяется как симметричная разность . Так что , , , и . Наше аддитивное тождество равно 0, и оба элемента являются своими собственными аддитивными обратными как и . ^[11] ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0+0=0}$ ${\displaystyle 0+1=1}$ ${\displaystyle 1+0=1}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle 0+0=0}$ ${\displaystyle 1+1=0}$

Смотрите также

• Абсолютное значение (связанное через тождество |− x | = | x | ).
• Моноид
• Обратная функция
• Инволюция (математика)
• Мультипликативная обратная
• Рефлексия (математика)
• Симметрия отражения
• Полугруппа

Примечания и ссылки

1. Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning. п. 52. ИСБН 978-1-305-65796-0.
2. Фрели, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Харлоу: Пирсон. стр. 169–170. ISBN 978-1-292-02496-7.
3. Мазур, Изабела (26 марта 2021 г.). "2.5 Свойства действительных чисел — Вводная алгебра" . Получено 4 августа 2024 г.
4. "Стандарты::Понимать p + q как число, расположенное на расстоянии |q| от p, в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, является ли q положительным или отрицательным. Покажите, что число и его противоположность имеют сумму 0 (являются аддитивными обратными числами). Интерпретировать суммы рациональных чисел, описывая контексты реального мира". learninglab.si.edu . Получено 04.08.2024 .
5. Браун, Кристофер. "SI242: делимость". www.usna.edu . Получено 04.08.2024 .
6. "2.2.5: Свойства равенства с десятичными дробями". K12 LibreTexts . 2020-07-21 . Получено 2024-08-04 .
7. Фрели, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Харлоу: Пирсон. стр. 37–39. ISBN 978-1-292-02496-7.
8. Каджори, Флориан (2011). История математических обозначений: два тома в одном . Нью-Йорк: Cosimo Classics. С. 246–247. ISBN 978-1-61640-571-7.
9. Акслер, Шелдон (2024), Акслер, Шелдон (ред.), «Векторные пространства», Линейная алгебра, выполненная правильно , Бакалаврские тексты по математике, Cham: Springer International Publishing, стр. 1–26, doi : 10.1007/978-3-031-41026-0_1 , ISBN 978-3-031-41026-0
10. Гупта, Пракаш С. (2015). Криптография и сетевая безопасность . Издание Восточной экономики. Дели: PHI Learning Private Limited. стр. 15. ISBN 978-81-203-5045-8.
11. Мартин, Урсула; Нипков, Тобиас (1989-03-01). «Булево объединение — история до сих пор». Журнал символических вычислений . Объединение: Часть 1. 7 (3): 275–293. doi :10.1016/S0747-7171(89)80013-6. ISSN  0747-7171.