Подписанная мера

Обобщенное понятие меры в математике

В математике знаковая мера является обобщением понятия (положительной) меры , позволяя заданной функции принимать отрицательные значения, т. е. приобретать знак .

Определение

Существуют два немного отличающихся понятия знаковой меры, в зависимости от того, позволяет ли она принимать бесконечные значения или нет. Знаковые меры обычно могут принимать только конечные действительные значения, в то время как некоторые учебники позволяют им принимать бесконечные значения. Чтобы избежать путаницы, в этой статье эти два случая будут называться «конечными знаковыми мерами» и «расширенными знаковыми мерами».

При наличии измеримого пространства (то есть множества с σ-алгеброй на нем) расширенная знаковая мера — это функция множества, такая что и является σ-аддитивной , то есть она удовлетворяет равенству для любой последовательности непересекающихся множеств в Ряд справа должен сходиться абсолютно, когда значение левой части конечно. Одним из следствий является то, что расширенная знаковая мера может принимать или как значение, но не оба. Выражение не определено ^[1] и его следует избегать. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

Конечная знаковая мера (она же действительная мера ) определяется таким же образом, за исключением того, что ей разрешено принимать только действительные значения. То есть она не может принимать или ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$

Конечные знаковые меры образуют действительное векторное пространство , в то время как расширенные знаковые меры не образуют, поскольку они не замкнуты относительно сложения. С другой стороны, меры являются расширенными знаковыми мерами, но в общем случае не являются конечными знаковыми мерами.

Примеры

Рассмотрим неотрицательную меру на пространстве ( X , Σ) и измеримую функцию f : X → R такую, что ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Тогда конечная знаковая мера задается как

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

для всех A из Σ.

Эта знаковая мера принимает только конечные значения. Чтобы позволить ей принимать +∞ в качестве значения, нужно заменить предположение об абсолютной интегрируемости f на более мягкое условие

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

где f ⁻ ( x ) = max(− f ( x ) , 0) — отрицательная часть f .

Характеристики

Далее следуют два результата, из которых следует, что расширенная знаковая мера представляет собой разность двух неотрицательных мер, а конечная знаковая мера представляет собой разность двух конечных неотрицательных мер.

Теорема разложения Хана утверждает, что для заданной меры μ существуют два измеримых множества P и N, такие что:

1. P ∪ N = X и P ∩ N = ∅;
2. μ ( E ) ≥ 0 для каждого E из Σ такого, что E ⊆ P — другими словами, P является положительным множеством ;
3. μ ( E ) ≤ 0 для каждого E из Σ такого, что E ⊆ N — то есть N — отрицательное множество.

Более того , это разложение уникально с точностью до добавления/вычитания μ - нулевых множеств из P и N.

Рассмотрим затем две неотрицательные меры μ ⁺ и μ ^−, определяемые формулами

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

и

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

для всех измеримых множеств E , то есть E в Σ.

Можно проверить, что обе меры μ ⁺ и μ ⁻ являются неотрицательными, причем одна принимает только конечные значения, и называются положительной частью и отрицательной частью μ соответственно. Получается, что μ = μ ⁺ − μ ⁻ . Мера | μ | = μ ⁺ + μ ⁻ называется вариацией μ , а ее максимально возможное значение, || μ || = | μ | ( X ), называется полной вариацией μ  .

Это следствие теоремы разложения Хана называется разложением Жордана . Меры μ ⁺ , μ ⁻ и | μ | не зависят от выбора P и N в теореме разложения Хана.

Пространство подписанных мер

Сумма двух конечных знаковых мер является конечной знаковой мерой, как и произведение конечной знаковой меры на действительное число – то есть они замкнуты относительно линейных комбинаций . Из этого следует, что множество конечных знаковых мер на измеримом пространстве ( X , Σ) является действительным векторным пространством ; это контрастирует с положительными мерами, которые замкнуты только относительно конических комбинаций и, таким образом, образуют выпуклый конус , но не векторное пространство. Более того, полная вариация определяет норму , относительно которой пространство конечных знаковых мер становится банаховым пространством . Это пространство имеет еще большую структуру, в том смысле, что можно показать, что оно является полной банаховой решеткой Дедекинда , и при этом можно показать, что теорема Радона–Никодима является частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя .

Если X — компактное сепарабельное пространство, то пространство конечных знакопеременных мер Бэра является двойственным к действительному банахову пространству всех непрерывных вещественных функций на X по теореме Рисса–Маркова–Какутани о представлении .

Смотрите также

• Угловое смещение
• Комплексная мера
• Спектральная мера
• Векторная мера
• Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани
• Длина дуги со знаком
• Подписанная область
• Расстояние, обозначенное знаком
• Подписанный том
• Общая вариация

Примечания

1. Более подробную информацию см. в статье « Расширенная прямая действительных чисел ».

Ссылки

• Бартл, Роберт Г. (1966), Элементы интеграции , Нью-Йорк: John Wiley and Sons , Zbl  0146.28201
• Бхаскара Рао, KPS; Бхаскара Рао, М. (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер, Чистая и прикладная математика, Лондон: Academic Press , ISBN 0-12-095780-9, ЗБЛ  0516.28001
• Кон, Дональд Л. (1997) [1980], Теория меры, Бостон: Birkhäuser Verlag , ISBN 3-7643-3003-1, ЗБЛ  0436.28001
• Diestel, JE; Uhl, JJ Jr. (1977), Векторные меры, Математические обзоры и монографии, т. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-1515-6, ЗБЛ  0369.46039
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1959), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, т. 6, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. XIV+858, ISBN 0-471-60848-3, ЗБЛ  0084.10402
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1963), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, т. 7, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. IX+859–1923, ISBN 0-471-60847-5, ЗБЛ  0128.34803
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1971), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, т. 8, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. XIX+1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, ЗБЛ  0243.47001
• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer Publishing , ISBN 3-540-61989-5

---

В данной статье использованы материалы из следующих статей PlanetMath , лицензированных по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike : знаковая мера, теорема о разложении Хана, разложение Жордана.