Установить функцию

Функция из множеств в числа

В математике, особенно в теории меры , функция множества — это функция , областью определения которой является семейство подмножеств некоторого заданного множества , и которая (обычно) принимает свои значения на расширенной действительной числовой оси , которая состоит из действительных чисел и ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty .}$

Функция множества обычно направлена ​​на измерение подмножеств каким-либо образом. Меры являются типичными примерами «измерения» функций множеств. Поэтому термин «функция множества» часто используется для избежания путаницы между математическим значением «меры» и его общеязыковым значением.

Определения

Если — семейство множеств над (имеется в виду, что где обозначает множество степеней ), то функция множеств на — это функция с областью определения и областью значений или, иногда, область значений — это некоторое векторное пространство , как в случае векторных мер , комплексных мер и проекционно-значных мер . Область определения функции множеств может иметь любые числовые свойства; часто встречающиеся свойства и категории семейств перечислены в таблице ниже. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

В общем, обычно предполагается, что всегда хорошо определено для всех или, что эквивалентно, что не принимает оба и как значения. В этой статье в дальнейшем это предполагается; хотя в качестве альтернативы все определения ниже могут быть квалифицированы такими утверждениями, как «всякий раз, когда сумма/ряд определены». Иногда это делается с вычитанием, например, со следующим результатом, который выполняется, когда является конечно аддитивным: ${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

Формула разности множеств :определяется судовлетворяющими ${\displaystyle \mu (F)-\mu (E)=\mu (F\setminus E){\text{ whenever }}\mu (F)-\mu (E)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle F\setminus E\in {\mathcal {F}}.}$

Нулевые наборы

Набор называется ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$нулевой набор (по отношению к) или просто ${\displaystyle \mu }$null, если всякий раз, когдане равно тождественно одному из нихили, то обычно также предполагается, что: ${\displaystyle \mu (F)=0.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

• null пустой набор :если ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$

Вариация и масса

TheПолная вариация множества равна , гдеобозначаетабсолютное значение(или, в более общем смысле, обозначаетнормуилиполунорму,еслиявляется векторнозначным в (полу)нормированном пространстве). Предполагая, чтотогданазывается ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle |\mu |(S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup\{|\mu (F)|:F\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}F\subseteq S\}}$$ ${\displaystyle |\,\cdot \,|}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle |\mu |\left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$Полная вариацияиназывается ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$масса​ ${\displaystyle \mu .}$

Функция множества называетсяконечно, если для каждогозначениеравно ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)}$конечный (что по определению означает, чтои; ${\displaystyle \mu (F)\neq \infty }$ ${\displaystyle \mu (F)\neq -\infty }$Бесконечное значение равноили). Каждая функция конечного множества должна иметь конечную массу. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Общие свойства функций множеств

Говорят, что функция множества [ ^1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• неотрицательным, если он оценивается в ${\displaystyle [0,\infty ].}$
• конечно аддитивно , еслидля всехпопарно непересекающихсяконечных последовательностейтаких, что ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • Если замкнуто относительно бинарных объединений , то является конечно аддитивным тогда и только тогда, когда для всех непересекающихся пар ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Если является конечно аддитивным и если , то взятие показывает, что это возможно только тогда, когда или где в последнем случае, для каждого (поэтому полезен только этот случай). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• счетно-аддитивно илиσ-аддитивным ^[2],если в дополнение к конечной аддитивности для всехпопарно непересекающихсяпоследовательностейв ,для которыхвыполняются все следующие условия: ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • Ряд в левой части определяется обычным образом как предел ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • Как следствие, если есть любая перестановка / биекция , то это потому, что и применение этого условия (a) дважды гарантирует, что оба и будут выполнены. По определению, сходящийся ряд с этим свойством называется безусловно сходящимся . Говоря простым языком , это означает, что перестановка/перемаркировка множеств в новом порядке не влияет на сумму их мер. Это желательно, поскольку так же, как объединение не зависит от порядка этих множеств, то же самое должно быть верно и для сумм и ${\displaystyle \rho :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$ ${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$ ${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$ ${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$ ${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. если не бесконечен, то этот ряд также должен сходиться абсолютно , что по определению означает, что он должен быть конечным. Это автоматически верно, если неотрицателен (или даже просто имеет значение в расширенных действительных числах). ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle \mu }$
     • Как и в случае любого сходящегося ряда действительных чисел, по теореме Римана ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда его сумма не зависит от порядка его членов (свойство, известное как безусловная сходимость ). Поскольку безусловная сходимость гарантируется (a) выше, это условие автоматически истинно, если имеет значение в ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. если бесконечно, то также требуется, чтобы значение хотя бы одного из рядов было конечным (чтобы сумма их значений была хорошо определена). Это автоматически верно, если неотрицательно. ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$ ${\displaystyle \mu }$
• апредмера , если она неотрицательна,счетно-аддитивна(включая конечно-аддитивную) и имеет пустое множество.
• амера, если она является предмерой, областью определения которой являетсяσ-алгебра. То есть мера является неотрицательной счетно-аддитивной функцией множества на σ-алгебре, которая имеет нулевое пустое множество.
• авероятностная мера , если это мера, имеющая массу ${\displaystyle 1.}$
• авнешняя мера, если она неотрицательна, счетно-субаддитивна, имеет пустое множество, равное нулю, и имеетмножество мощности в качестве своей области определения. ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
  • Внешние меры появляются в теореме Каратеодори о расширении и часто ограничиваются измеримыми по Каратеодори подмножествами.
• азнаковая мера, если она счетно-аддитивна, имеет пустое множество ине принимает как, так изначения. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
• полный , если каждое подмножество каждого нулевого множества является нулевым; явно это означает: всякий раз, когдаиявляется любым подмножествомтогдаи ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$ ${\displaystyle N\subseteq F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • В отличие от многих других свойств, полнота накладывает требования на множество (а не только на значения). ${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$
• 𝜎-конечным, если существует последовательностьвтакая, чтоконечна для каждого индекса, а также ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• разложимым , если существует подсемействопопарно непересекающихся множеств такое, чтоявляется конечным для любогои также(где). ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (P)}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$
  • Каждая 𝜎-конечная функция множества разложима, хотя и не наоборот. Например, подсчитывающая мера на (область определения которой ) разложима, но не 𝜎-конечна. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$
• авекторная мера , если она является счетно-аддитивной функцией множества,принимающей значения втопологическом векторном пространстве(таком какнормированное пространство), областью определения которого являетсяσ-алгебра. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle X}$
  • Если имеет значения в нормированном пространстве , то она счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда для любой попарно непересекающейся последовательности в Если имеет конечное значение и имеет значения в банаховом пространстве , то она счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда для любой попарно непересекающейся последовательности в ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• акомплексная мера , если она является счетно-аддитивнойкомплекснозначнойфункцией множества, областью определения которой являетсяσ-алгебра. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} }$
  • По определению, сложная мера никогда не принимает значения и, следовательно, имеет пустое множество null. ${\displaystyle \pm \infty }$
• аслучайная мера, если этослучайный элемент.

Произвольные суммы

Как описано в разделе этой статьи об обобщенных рядах , для любого семейства действительных чисел, индексированных произвольным индексным множеством, можно определить их сумму как предел сети конечных частичных сумм , где область определения направлена ​​по Всякий раз, когда эта сеть сходится , то ее предел обозначается символами, а если эта сеть вместо этого расходится, то это можно обозначить, записав Любая сумма по пустому множеству определяется как равная нулю; то есть, если то по определению. ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$ ${\displaystyle I=\varnothing }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$

Например, если для каждого то И можно показать, что Если то обобщенный ряд сходится в тогда и только тогда, когда сходится безусловно (или, что эквивалентно, сходится абсолютно ) в обычном смысле. Если обобщенный ряд сходится в то и то и другое и также сходятся к элементам и множество обязательно счетно (то есть либо конечно, либо счетно бесконечно ); это остается верным, если заменить на любое нормированное пространство . ^{[доказательство 1]} Отсюда следует, что для того, чтобы обобщенный ряд сходился в или необходимо, чтобы все, кроме не более счетного числа, были равны , что означает, что является суммой не более счетного числа ненулевых членов. Иными словами, если несчетно, то обобщенный ряд не сходится. ${\displaystyle z_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$

Подводя итог, можно сказать, что из-за природы действительных чисел и их топологии, каждый обобщенный ряд действительных чисел (индексированный произвольным множеством), который сходится, может быть сведен к обычному абсолютно сходящемуся ряду счетного числа действительных чисел. Таким образом, в контексте теории меры мало пользы от рассмотрения несчетного числа множеств и обобщенных рядов. В частности, именно поэтому определение «счетно аддитивно» редко расширяется со счетного числа множеств в (и обычного счетного ряда ) на произвольное число множеств (и обобщенного ряда ). ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$

Внутренние меры, внешние меры и другие свойства

Говорят, что функция множества удовлетворяет ^[1] ${\displaystyle \mu }$

• монотонный есликогдаудовлетворяет ${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\subseteq F.}$
• модульным, если он удовлетворяет следующему условию, известному какмодульность:для всехтаких, что ${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Каждая конечно-аддитивная функция на поле множеств является модулярной.
  • В геометрии функция множества, имеющая значение в некоторой абелевой полугруппе, обладающей этим свойством, называется оценкой . Это геометрическое определение «оценки» не следует путать с более сильным неэквивалентным определением «оценки» в теории меры, которое дано ниже.
• субмодулярный, еслидля всехтаких, что ${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• конечно субаддитивно , еслидля всех конечных последовательностей, удовлетворяющих ${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• счетно субаддитивный илиσ-субаддитивным, еслидля всех последовательностейв, удовлетворяющих ${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • Если замкнуто относительно конечных объединений, то это условие выполняется тогда и только тогда, когда для всех Если неотрицательно, то абсолютные значения можно удалить. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • Если — мера, то это условие выполняется тогда и только тогда, когда для всех из ^[3] Если — вероятностная мера , то это неравенство является неравенством Буля . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • Если счетно субаддитивно и при этом конечно субаддитивно. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$
• супераддитивный, есливсякий раз, когдаони не пересекаются с ${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• непрерывно сверху, еслидля всехневозрастающих последовательностеймножествизтаких, чтоприи всеконечные. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$
  • Мера Лебега непрерывна сверху, но она не была бы таковой, если бы из определения было исключено предположение о том, что все в конечном итоге конечны, как показывает этот пример: Для каждого целого числа пусть будет открытым интервалом, так что где ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (i,\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• непрерывно снизу, еслидля всехнеубывающих последовательностеймножестввтаких, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• бесконечность приближается снизу, если всякий раз, когдаудовлетворяет, то для каждого действительногочисла существует такое, чтои ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (F)=\infty }$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$ ${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• внешняя мера, если она неотрицательна, счетно-субаддитивна, имеет пустое множество, равное нулю, и имеет множество мощности в качестве своей области определения. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• авнутренняя мера, еслиона неотрицательна, супераддитивна, непрерывна сверху, имеет пустое множество, областьюопределениякоторого является степенное множество, и к + ∞ {\displaystyle +\infty } приближаются снизу. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• атомарным, если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом .

Если определена бинарная операция , то говорят, что функция множества ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \mu }$

• трансляционно инвариантный, еслидля всехитаких, что ${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

Определения, связанные с топологией

Если есть топология , то говорят, что функция множества есть: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$

• аМера Бореля , если она является мерой, определенной на σ-алгебре всехборелевских множеств, которая является наименьшей σ-алгеброй, содержащей все открытые подмножества (то есть содержащей). ${\displaystyle \tau }$
• аМера Бэра, если это мера, определенная на σ-алгебре всехмножеств Бэра.
• локально конечным , если для каждой точкисуществует некоторая окрестностьэтой точки такая, чтоявляется конечным. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$ ${\displaystyle \mu (U)}$
  • Если является конечно аддитивным, монотонным и локально конечным, то обязательно является конечным для любого компактного измеримого подмножества ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)}$ ${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$-аддитивный ,есливсякий раз, когданаправленотносительнои удовлетворяет ${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$направлено относительно тогда и только тогда, когда оно не пусто и для всех существует некоторое такое, что и ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C.}$
• внутренний регулярный илиплотно, если для каждого ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• внешний регулярный если для каждого ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• регулярный, если он является как внутренним регулярным, так и внешним регулярным.
• аБорелевская регулярная мера, если это борелевская мера, которая такжерегулярна.
• аМера Радона, если она является регулярной и локально конечной мерой.
• строго положительно , если каждое непустое открытое подмножество имеет (строго) положительную меру.
• аоценка, если она неотрицательна, монотонна, модульна, имеет пустое множество и имеет область определения ${\displaystyle \tau .}$

Отношения между функциями множеств

Если и — две функции множеств, то: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \mu }$говорят, что этоабсолютно непрерывен относительно ${\displaystyle \nu }$илидоминируется ${\displaystyle \nu }$, записанный, если для каждого множества, принадлежащего области определения обоихиеслитогда ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu (F)=0}$ ${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • Если и являются -конечными мерами на одном и том же измеримом пространстве и если то производная Радона–Никодима существует и для любого измеримого ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
  • ${\displaystyle \mu }$и называются ${\displaystyle \nu }$эквивалентны, если каждый из них абсолютно непрерывен относительно другого. называется ${\displaystyle \mu }$поддерживающая мера меры,еслиявляется-конечнойи они эквивалентны.^[4] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \mu }$и есть ${\displaystyle \nu }$сингулярно , пишется,если существуют непересекающиеся множестваив областяхитакие, чтодля всехв областиидля всехв области ${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$ ${\displaystyle \mu (F)=0}$ ${\displaystyle F\subseteq M}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \nu (F)=0}$ ${\displaystyle F\subseteq N}$ ${\displaystyle \nu .}$

Примеры

Примеры функций множеств включают в себя:

• Функция, присваивающая плотности достаточно хорошо ведущим себя подмножествам, является функцией множеств. $${\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\ldots ,n\}|}{n}},}$$ ${\displaystyle A\subseteq \{1,2,3,\ldots \},}$
• Вероятностная мера присваивает вероятность каждому набору в σ-алгебре . В частности, вероятность пустого набора равна нулю, а вероятность выборочного пространства равна вероятности других наборов между и ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$
• Мера возможности присваивает число от нуля до единицы каждому множеству в powerset некоторого заданного множества. См. теорию возможностей .
• Случайный набор — это случайная величина со значением множества . См. статью случайный компактный набор .

Мера Жордана на — это функция множества, определенная на множестве всех его измеримых по Жордану подмножеств, которая переводит измеримое по Жордану множество в его меру Жордана. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$

мера Лебега

Мера Лебега на — это функция множества, которая присваивает неотрицательное действительное число каждому набору действительных чисел, принадлежащему алгебре Лебега. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$

Его определение начинается с множества всех интервалов действительных чисел, которое является полуалгеброй на Функция, которая назначает каждому интервалу его, является конечно-аддитивной функцией множества (явно, если имеет конечные точки , то ). Эта функция множества может быть расширена до внешней меры Лебега на , на которой является трансляционно-инвариантной функцией множества , которая отправляет подмножество в инфимум Внешняя мера Лебега не является счетно-аддитивной (и, следовательно, не является мерой), хотя ее ограничение на 𝜎-алгебру всех подмножеств , которые удовлетворяют критерию Каратеодори : является мерой, которая называется мерой Лебега . Множества Витали являются примерами неизмеримых множеств действительных чисел. ${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$ ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$

Бесконечномерное пространство

Как подробно описано в статье о бесконечномерной мере Лебега , единственной локально конечной и инвариантной относительно трансляции мерой Бореля на бесконечномерном сепарабельном нормированном пространстве является тривиальная мера . Однако возможно определить гауссовские меры на бесконечномерных топологических векторных пространствах . Структурная теорема для гауссовских мер показывает, что конструкция абстрактного пространства Винера по сути является единственным способом получить строго положительную гауссовскую меру на сепарабельном банаховом пространстве .

Конечно-аддитивные функции множества, инвариантные относительно трансляции

Единственная трансляционно-инвариантная мера на с областью определения , которая конечна на каждом компактном подмножестве, — это тривиальная функция множеств , которая тождественно равна (то есть она переводит каждое в ) ^[6] Однако, если счетную аддитивность ослабить до конечной аддитивности, то нетривиальная функция множеств с этими свойствами действительно существует, и, более того, некоторые из них даже имеют значения в Фактически, такие нетривиальные функции множеств будут существовать, даже если заменить любой другой абелевой группой ^[7] ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G.}$

Теорема ^[8]  —  Если — любая абелева группа , то существует конечно-аддитивная и инвариантная относительно трансляции ^{[примечание 1]} функция множества массы ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle \mu :\wp (G)\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu (G)=1.}$

Расширение функций множеств

Расширение от полуалгебр до алгебр

Предположим, что — функция множества на полуалгебре над и пусть , которая является алгеброй на , порожденной Типичным примером полуалгебры, которая также не является алгеброй, является семейство на , где для всех ^[9] Важно отметить, что два нестрогих неравенства в не могут быть заменены строгими неравенствами , поскольку полуалгебры должны содержать все базовое множество , то есть это является требованием полуалгебр (как и есть ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$ ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$

Если конечно аддитивно, то оно имеет единственное расширение до функции множества на, определяемой путем отправки (где указывает, что они попарно не пересекаются ) на: ^[9] Это расширение также будет конечно аддитивным: для любого попарно не пересекающегося ^[9] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

Если в дополнение является расширенно вещественнозначным и монотонным (что, в частности, будет иметь место, если является неотрицательным), то будет монотонным и конечно субаддитивным: для любого такого, что ^[9] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

Расширение от колец до σ-алгебр

Если является предмерой на кольце множеств (например, алгебре множеств ) над , то имеет расширение до меры на σ-алгебре, порожденной . Если является σ-конечным , то это расширение единственно. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$

Чтобы определить это расширение, сначала расширим его до внешней меры на , а затем ограничим его множеством -измеримых множеств (то есть, измеримых по Каратеодори множеств ), которое является множеством всех таких, что Оно является -алгеброй и является сигма-аддитивным на ней по лемме Каратеодори. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle 2^{\Omega }=\wp (\Omega )}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{M}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Ограничительные внешние меры

Если — внешняя мера на множестве , где (по определению) область определения обязательно является множеством мощности , то подмножество называется измеримым или измеримым по Каратеодори, если оно удовлетворяет следующему критерию Каратеодори : где — дополнение к ${\displaystyle \mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,}$$ ${\displaystyle M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M}$ ${\displaystyle M.}$

Семейство всех измеримых подмножеств является σ-алгеброй , а ограничение внешней меры на это семейство является мерой . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Смотрите также

• Абсолютная непрерывность (теория меры)  – Форма непрерывности для функцийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Булево кольцо  – математическая концепцияPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Измерение набора цилиндров  – способ создания измерения по пространствам продуктаPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Поле множеств  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Теорема Хадвигера  – Теорема интегральной геометрии
• Теорема разложения Хана  – Теорема измеримости
• Инвариантная мера
• Теорема разложения Лебега
• Положительные и отрицательные множества
• Теорема Радона–Никодима  – Выражение меры как интеграла другой меры
• Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани  – Утверждение о линейных функционалах и мерах
• Кольцо множеств  – Семья, замкнутая относительно союзов и относительных дополнений
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• Теорема Витали–Хана–Сакса

Примечания

1. Durrett 2019, стр. 1–37, 455–470.
2. Дарретт 2019, стр. 466–470.
3. Ройден и Фитцпатрик 2010, с. 30.
4. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Т. 77. Швейцария: Springer. С. 21. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
5. Колмогоров и Фомин 1975
6. Рудин 1991, стр. 139.
7. Рудин 1991, стр. 139–140.
8. Рудин 1991, стр. 141–142.
9. Дарретт 2019, стр. 1–9.

1. Функция , инвариантная относительно трансляции, означает, что для каждого подмножества ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=\mu (g+S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G.}$

Доказательства

1. Предположим, что сеть сходится к некоторой точке в метризуемом топологическом векторном пространстве (таком как или нормированное пространство ), где напомним, что область определения этой сети является направленным множеством Как и любая сходящаяся сеть, эта сходящаяся сеть частичных сумм является сетью Коши , что для этой конкретной сети означает (по определению), что для каждой окрестности начала отсчета в существует конечное подмножество из такое, что для всех конечных надмножеств это подразумевает, что для каждого (взяв и ). Поскольку метризуемо, оно имеет счетный базис окрестностей в начале отсчета, пересечение которого обязательно (так как является хаусдорфовым TVS). Для каждого положительного целого числа выберите конечное подмножество такое, что для каждого Если принадлежит то принадлежит Таким образом, для каждого индекса , который не принадлежит счетному множеству ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {Finite} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\operatorname {Finite} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Серия Кембридж по статистической и вероятностной математике. Том 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Получено 5 ноября 2020 г. .
• Колмогоров, Андрей ; Фомин, Сергей В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Dover Books on Mathematics. Нью-Йорк: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC  912495626.
• А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин (1975), Вводный вещественный анализ , Довер. ISBN 0-486-61226-0 
• Ройден, Хэлси ; Фицпатрик, Патрик (15 января 2010 г.). Real Analysis (4-е изд.). Бостон: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-143747-0. OCLC  456836719.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

Дальнейшее чтение

• Соболев, В.И. (2001) [1994], "Функция множества", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Регулярная функция множества в Encyclopedia of Mathematics