Нигде не непрерывная функция

Функция, которая не является непрерывной ни в одной точке своей области определения

В математике нигде не непрерывная функция , также называемая всюду разрывной функцией , — это функция , которая не является непрерывной ни в одной точке своей области определения . Если — функция от действительных чисел до действительных чисел, то нигде не непрерывна, если для каждой точки существует такая , что для каждой мы можем найти точку, такую ​​что и . Поэтому, как бы близко она ни приближалась к любой фиксированной точке, существуют еще более близкие точки, в которых функция принимает неблизкие значения. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon }$

Более общие определения такого рода функций можно получить, заменив абсолютное значение функцией расстояния в метрическом пространстве или используя определение непрерывности в топологическом пространстве .

Примеры

Функция Дирихле

Одним из примеров такой функции является индикаторная функция рациональных чисел , также известная как функция Дирихле . Эта функция обозначается как и имеет область определения и область значений , равные действительным числам . По определению, равна , если — рациональное число , и равна , если в противном случае. ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$

В более общем случае, если есть любое подмножество топологического пространства, такое, что и дополнение к являются плотными в, то вещественная функция, которая принимает значение на и на дополнении к, не будет нигде непрерывной. Функции этого типа были первоначально исследованы Петером Густавом Леженом Дирихле . ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$

Нетривиальные аддитивные функции

Функция называется аддитивной, если она удовлетворяет функциональному уравнению Коши : Например, всякое отображение вида , где — некоторая константа, является аддитивным (фактически, оно линейно и непрерывно). Более того, всякое линейное отображение имеет этот вид (принимая ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle x\mapsto cx,}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c:=L(1)}$

Хотя каждое линейное отображение является аддитивным, не все аддитивные отображения линейны. Аддитивное отображение является линейным тогда и только тогда, когда существует точка, в которой оно непрерывно, в этом случае оно непрерывно всюду. Следовательно, каждая нелинейная аддитивная функция разрывна в каждой точке своей области определения. Тем не менее, ограничение любой аддитивной функции на любое действительное скалярное кратное рациональных чисел непрерывно; явно это означает, что для каждого действительного числа ограничение на множество является непрерывной функцией. Таким образом, если является нелинейной аддитивной функцией, то для каждой точки разрывно в , но также содержится в некотором плотном подмножестве , на котором ограничение непрерывно (в частности, взять , если и взять , если ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\,\mathbb {Q} :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x=0}$

Разрывные линейные отображения

Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами , например, нормированными пространствами , непрерывно (всюду) тогда и только тогда, когда существует точка, в которой оно непрерывно, в этом случае оно даже равномерно непрерывно . Следовательно, каждое линейное отображение либо непрерывно всюду, либо не непрерывно нигде. Каждый линейный функционал является линейным отображением , и на каждом бесконечномерном нормированном пространстве существует некоторый разрывный линейный функционал .

Другие функции

Функция Конвея с основанием 13 разрывна в каждой точке.

Гиперреальная характеристика

Действительная функция нигде не непрерывна, если ее естественное гипердействительное расширение обладает тем свойством, что каждое бесконечно близко к a, так что разница ощутима (то есть не бесконечно мала ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)-f(y)}$

Смотрите также

• Теорема Блумберга  – даже если действительная функция нигде не непрерывна, существует плотное подмножество такое , что ограничение на является непрерывным. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$
• Функция Тома (также известная как функция попкорна) — функция, непрерывная при всех иррациональных числах и разрывная при всех рациональных числах.
• Функция Вейерштрасса  — функция , непрерывная всюду (внутри своей области определения) и нигде не дифференцируемая .

Ссылки

1. Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «Свержение тригонометрических рядов, которые служат представителем произвольной функции между границами доноров». Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.

Внешние ссылки

• «Функция Дирихле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Функция Дирихле — из MathWorld
• Модифицированная функция Дирихле. Архивировано 2019-05-02 на Wayback Machine Джорджем Беком, The Wolfram Demonstrations Project .