Внешняя мера

Математическая функция

В математической области теории меры внешняя мера или внешняя мера — это функция , определенная на всех подмножествах заданного множества со значениями в расширенных действительных числах, удовлетворяющих некоторым дополнительным техническим условиям. Теория внешних мер была впервые введена Константином Каратеодори для предоставления абстрактной основы для теории измеримых множеств и счетно-аддитивных мер. ^{[1] [2]} Работа Каратеодори по внешним мерам нашла множество приложений в теории множеств с мерой (внешние меры, например, используются в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о расширении ), и была существенно использована Хаусдорфом для определения размерно-подобного метрического инварианта , который теперь называется размерностью Хаусдорфа . Внешние меры обычно используются в области геометрической теории меры .

Меры являются обобщениями длины, площади и объема, но полезны для гораздо более абстрактных и нерегулярных множеств, чем интервалы в или шары в . Можно было бы ожидать определения обобщенной измерительной функции на , которая удовлетворяет следующим требованиям: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. Любой интервал действительных чисел имеет меру ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b-a}$
2. Измерительная функция — это неотрицательная расширенная вещественная функция, определенная для всех подмножеств . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Инвариантность переноса: для любого множества и любого действительного числа множества и имеют одинаковую меру ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$
4. Счетная аддитивность : для любой последовательности попарно непересекающихся подмножеств ${\displaystyle (A_{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

Оказывается, эти требования являются несовместимыми условиями; см. неизмеримое множество . Целью построения внешней меры на всех подмножествах является выбор класса подмножеств (которые будут называться измеримыми ) таким образом, чтобы удовлетворять свойству счетной аддитивности. ${\displaystyle X}$

Внешние меры

Для данного множества обозначим совокупность всех подмножеств , включая пустое множество. Внешняя мера на — это функция множества, такая что ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$

• нулевой пустой набор : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• счетно субаддитивный : для произвольных подмножеств ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Обратите внимание, что в этом определении нет тонкости бесконечного суммирования. Поскольку предполагается, что все слагаемые неотрицательны, последовательность частичных сумм может расходиться только путем неограниченного увеличения. Таким образом, бесконечная сумма, появляющаяся в определении, всегда будет четко определенным элементом Если бы вместо этого внешняя мера могла принимать отрицательные значения, ее определение пришлось бы изменить, чтобы учесть возможность несходящихся бесконечных сумм. ${\displaystyle [0,\infty ].}$

Альтернативное и эквивалентное определение. ^[3] Некоторые учебники, такие как Halmos (1950), вместо этого определяют внешнюю меру как функцию , такую ​​что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$

• нулевой пустой набор : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• монотонно : если и являются подмножествами с тогда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• для произвольных подмножеств ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Измеримость множеств относительно внешней меры

Пусть будет множеством с внешней мерой Говорят, что подмножество из является измеримым по Каратеодори (иногда его называют измеримым по Каратеодори относительно , ​​в честь математика Каратеодори ) тогда и только тогда, когда для любого подмножества из ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Неформально это означает, что -измеримое подмножество - это то, которое может быть использовано в качестве строительного блока, разбивая любое другое подмножество на части (а именно, часть, которая находится внутри измеримого множества вместе с частью, которая находится снаружи измеримого множества). С точки зрения мотивации теории меры можно было бы ожидать, что площадь , например, должна быть внешней мерой на плоскости. Тогда можно было бы ожидать, что каждое подмножество плоскости будет считаться "измеримым", следуя ожидаемому принципу, что всякий раз, когда и являются непересекающимися подмножествами плоскости. Однако формальное логическое развитие теории показывает, что ситуация более сложная. Формальное следствие аксиомы выбора состоит в том, что для любого определения площади как внешней меры, которое включает в себя в качестве особого случая стандартную формулу для площади прямоугольника, должны быть подмножества плоскости, которые не могут быть измерены. В частности, приведенный выше "ожидаемый принцип" ложен, при условии, что принимается аксиома выбора. ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Пространство меры, связанное с внешней мерой

Легко использовать приведенное выше определение измеримости, чтобы увидеть, что ${\displaystyle \mu }$

• если является -измеримым, то его дополнение также является -измеримым. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$

Следующее условие известно как «счетная аддитивность измеримых подмножеств». ${\displaystyle \mu }$

• если являются -измеримыми попарно-непересекающимися ( для ) подмножествами , то имеем ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

Аналогичное доказательство показывает, что:

• если являются -измеримыми подмножествами, то объединение и пересечение также являются -измеримыми. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Приведенные здесь свойства можно обобщить с помощью следующей терминологии:

Для любой внешней меры на множестве совокупность всех -измеримых подмножеств является σ-алгеброй . Ограничение на эту -алгебру является мерой. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Таким образом, мы имеем структуру пространства мер, естественным образом возникающую из спецификации внешней меры на Это пространство мер обладает дополнительным свойством полноты , которое содержится в следующем утверждении: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

• Каждое подмножество такое, что является -измеримым. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

Это легко доказать, используя второе свойство в «альтернативном определении» внешней меры.

Ограничение и продвижение внешней меры

Пусть будет внешней мерой на множестве . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Продвигаться вперед

Учитывая другой набор и карту, определяемую как ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.}$

Из определений можно непосредственно убедиться, что это внешняя мера . ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle Y}$

Ограничение

Пусть B — подмножество X. Определим μ _B  : 2 ^X →[0,∞] как

${\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).}$

Из определений можно непосредственно убедиться, что μ B _— это еще одна внешняя мера на X.

Измеримость множеств относительно проталкивания или ограничения

Если подмножество A множества X является μ - измеримым , то оно также является μ _B -измеримым для любого подмножества B множества X.

Если задано отображение f  : X → Y и подмножество A из Y , то если f ⁻¹ ( A ) является μ -измеримым, то A является f _# μ -измеримым. В более общем случае, f ⁻¹ ( A ) является μ -измеримым тогда и только тогда, когда A является f _# ( μ _B ) -измеримым для любого подмножества B из X .

Регулярные внешние меры

Определение обычной внешней меры

При заданном множестве X внешняя мера μ на X называется регулярной , если любое подмножество может быть приближено «извне» множествами, измеримыми μ . Формально это требует выполнения любого из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}}$
• Существует μ -измеримое подмножество B множества X , содержащее A и такое, что . ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

Второе условие автоматически подразумевает первое; первое подразумевает второе, взяв счетное пересечение с ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle \mu (B_{i})\to \mu (A)}$

Обычная внешняя мера, связанная с внешней мерой

Для данной внешней меры μ на множестве X определим ν  : 2 ^X →[0,∞] как

${\displaystyle \nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.}$

Тогда ν является регулярной внешней мерой на X , которая назначает ту же меру, что и μ , всем μ -измеримым подмножествам X. Каждое μ -измеримое подмножество также ν -измеримо, и каждое ν -измеримое подмножество конечной ν -меры также μ -измеримо.

Таким образом, пространство меры, связанное с ν, может иметь большую σ-алгебру, чем пространство меры, связанное с μ . Ограничения ν и μ на меньшую σ-алгебру идентичны. Элементы большей σ-алгебры, которые не содержатся в меньшей σ-алгебре, имеют бесконечную ν -меру и конечную μ -меру.

С этой точки зрения ν можно рассматривать как расширение μ .

Внешняя мера и топология

Предположим, что (X, d) — метрическое пространство , а φ — внешняя мера на X. Если φ обладает свойством, что

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

в любое время

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

тогда φ называется метрической внешней мерой .

Теорема . Если φ — метрическая внешняя мера на X , то каждое борелевское подмножество X является φ -измеримым. ( Борелевские множества X являются элементами наименьшей σ -алгебры, порожденной открытыми множествами.)

Строительство внешних мер

Существует несколько процедур для построения внешних мер на множестве. Классическая ссылка Манро ниже описывает две особенно полезные процедуры, которые называются Метод I и Метод II .

Метод 1

Пусть X — множество, C — семейство подмножеств X , содержащее пустое множество, а p — неотрицательная расширенная вещественная функция на C , которая обращается в нуль на пустом множестве.

Теорема . Предположим, что семейство C и функция p такие же, как указано выше, и определяют

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

То есть, инфимум распространяется на все последовательности {A _i } элементов C , которые покрывают E , с соглашением, что инфимум бесконечен, если такой последовательности не существует. Тогда φ является внешней мерой на X .

Метод 2

Вторая техника больше подходит для построения внешних мер на метрических пространствах, поскольку она дает метрические внешние меры. Предположим, что (X, d) — метрическое пространство. Как и выше, C — семейство подмножеств X , содержащее пустое множество, а p — неотрицательная расширенная вещественная функция на C , которая обращается в нуль на пустом множестве. Для каждого δ > 0 пусть

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

и

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

Очевидно, φ _δ ≥ φ _δ' при δ ≤ δ', поскольку нижняя грань берется по меньшему классу при уменьшении δ . Таким образом

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

существует (возможно, бесконечно).

Теорема . φ ₀ — метрическая внешняя мера на X.

Это конструкция, используемая при определении мер Хаусдорфа для метрического пространства.

Смотрите также

• Внутренняя мера

Примечания

1. Каратеодори 1968
2. Aliprantis & Border 2006, стр. S379.
3. Оригинальное определение, данное выше, следует широко цитируемым текстам Федерера и Эванса и Гариепи. Обратите внимание, что обе эти книги используют нестандартную терминологию в определении «меры» как того, что здесь называется «внешней мерой».

Ссылки

• Aliprantis, CD; Border, KC (2006). Анализ бесконечных измерений (3-е изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0.
• Каратеодори, К. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (на немецком языке) (3-е изд.). Издательство Челси . ISBN 978-0828400381.
• Эванс, Лоуренс К.; Гариепи, Рональд Ф. (2015). Теория меры и тонкие свойства функций. Пересмотренное издание . Учебники по математике. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида. С. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6.
• Федерер, Х. (1996) [1969]. Геометрическая теория меры . Классика математики (1-е изд. переиздание). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3540606567.
• Halmos, P. (1978) [1950]. Теория меры. Graduate Texts in Mathematics (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
• Манро, М. Э. (1953). Введение в измерение и интеграцию (1-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN 978-1124042978.
• Колмогоров, АН ; Фомин, СВ (1970). Вводный реальный анализ. Перевод Ричарда А. Сильвермана. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-61226-0.

Внешние ссылки

• Внешняя мера в Энциклопедии математики
• Мера Каратеодори в Encyclopedia of Mathematics