p-компактная группа

В математике , в частности в алгебраической топологии , p - компактная группа является гомотопической версией компактной группы Ли , но со всей локальной структурой, сосредоточенной в одном простом числе p . Это понятие было введено в работе Дуайера и Вилкерсона (1994), уточняющей более ранние понятия пространства конечных петель mod p. P-компактная группа обладает многими свойствами типа Ли, такими как максимальные торы и группы Вейля , которые определяются чисто гомотопически в терминах классифицирующего пространства, но с важным отличием, что группа Вейля , вместо того чтобы быть конечной группой отражений над целыми числами, теперь является конечной p -адической группой отражений. Они допускают классификацию в терминах корневых данных, которая отражает классификацию компактных групп Ли, но с заменой целых чисел на p -адические целые числа .

Определение

P - компактная группа - это выделенное пространство BG , которое локально относительно гомологии mod p , и такое выделенное пространство петель G = ΩBG имеет конечную гомологию mod p . Иногда p -компактную группу также называют G , но тогда нужно иметь в виду , что структура пространства петель является частью данных (что затем позволяет восстановить BG ).

Говорят, что p -компактная группа связна , если G — связное пространство (в общем случае группа компонент G будет конечной p-группой). Ранг p -компактной группы — это ранг ее максимального тора.

Примеры

• P-пополнение, в смысле теории гомотопий, (классифицирующего пространства) компактной связной группы Ли определяет связную p-компактную группу. (Группа Вейля — это просто ее обычная группа Вейля, теперь рассматриваемая как p-адическая группа отражений путем тензорного умножения решетки ковесов на .) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

• В более общем случае p-пополнение связного конечного петлевого пространства определяет p-компактную группу. (Здесь Вейль будет -рефлекторной группой, которая может не происходить от -рефлекторной группы.) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Связная 2- компактная группа ранга 1 является либо 2 -пополнением SU(2) , либо SO(3) . Связная p-компактная группа ранга 1, для нечетного p, является " сферой Салливана ", т. е. p -пополнением 2n-1 - сферы S ^2n-1 , где n делит p − 1 . Эти сферы оказываются имеющими уникальную структуру пространства петель. Впервые они были построены Деннисом Салливаном в его заметках MIT 1970 года. (Группа Вейля является циклической группой порядка n , действующей на посредством корня n- й степени из единицы.) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

• Обобщая случай ранга 1, любую конечную комплексную группу отражений можно реализовать как группу Вейля p -компактной группы для бесконечного числа простых чисел, при этом простые числа определяются тем, сопряжены ли W и с или нет, с некоторым вложением в . Построение p -компактной группы с этой группой Вейля тогда относительно просто для больших простых чисел, где p не делит порядок W (осуществлено уже в работе Кларка и Юинга (1974) с использованием теоремы Шевалле–Шепарда–Тодда ), но требует более сложных методов для «модулярных простых чисел» p , которые делят порядок W . ${\displaystyle W\leq GL_{r}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle GL_{r}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Классификация

Классификация p -компактных групп от Andersen & Grodal (2009) утверждает, что существует соответствие 1-1 между связными p -компактными группами, с точностью до гомотопической эквивалентности, и корневыми данными над p -адическими целыми числами , с точностью до изоморфизма. Это аналогично классической классификации связных компактных групп Ли, в которой p -адические целые числа заменяют рациональные целые числа .

Из классификации следует, что любая p -компактная группа может быть записана как BG = BH × BK, где BH - p -пополнение компактной связной группы Ли, а BK - конечное прямое произведение простых экзотических p -компактных групп, т.е. простых p -компактных групп, чья группа Вейля не является -группой отражений. Простые экзотические p -компактные группы снова находятся в 1-1-соответствии с неприводимыми комплексными группами отражений, поле характеров которых может быть вложено в , но не является . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Например, когда p=2, это означает, что каждая связная 2-компактная группа может быть записана как BG = BH × BDI(4) ^s , где BH — 2-пополнение классифицирующего пространства связной компактной группы Ли, а BDI(4) ^s обозначает s копий « 2-компактной группы Дуайера — Вилкерсона» BDI(4) ранга 3, построенной в работе Дуайера и Вилкерсона (1993) с группой Вейля, соответствующей группе номер 24 в перечислении Шепарда — Тодда комплексных групп отражений . Для p=3 аналогичное утверждение справедливо, но новая экзотическая 3-компактная группа теперь является группой номер 12 в списке Шепарда — Тодда ранга 2. Для простых чисел больше 3 семейство 2 в списке Шепарда — Тодда будет содержать бесконечно много экзотических p-компактных групп.

Некоторые следствия классификации

Конечное пространство петель — это точечное пространство BG, такое что пространство петель ΩBG гомотопически эквивалентно конечному CW-комплексу. Классификация связных p-компактных групп подразумевает классификацию связных пространств конечных петель : если для каждого простого числа задана связная p-компактная группа, все с тем же рациональным типом, то существует явное двойное смежное пространство возможных связных пространств конечных петель с p-пополнением, что дает p-компактные группы. Поскольку связные p-компактные группы классифицируются комбинаторно, это также подразумевает классификацию связных пространств петель.

Используя классификацию, можно идентифицировать компактные группы Ли внутри конечных пространств петель, давая гомотопическую характеристику компактных связных групп Ли : это именно те конечные пространства петель, которые допускают целочисленный максимальный тор; это была так называемая гипотеза максимального тора . (См. Andersen & Grodal (2009) и Grodal (2010).)

Классификация также подразумевает классификацию того, какие градуированные кольца многочленов могут встречаться в качестве кольца когомологий пространства, так называемая проблема Стинрода . (См. Andersen & Grodal (2008).)

Ссылки

• Андерсен, ККС; Гродаль, Й.; Мёллер, Й.; Вируэль, А. (2008), «Классификация p-компактных групп для нечетного p», Ann. of Math. (2) , 167 : 95–210, arXiv : math/0302346 , doi : 10.4007/annals.2008.167.95, S2CID  119168267
• Андерсен, ККС; Гродаль, Дж. (2009), «Классификация 2-компактных групп», J. Amer. Math. Soc. , 22 (2): 387–436, arXiv : math/0611437 , doi :10.1090/S0894-0347-08-00623-1, S2CID  17542829
• Андерсен, ККС; Гродал, Дж. (2008), «Проблема Стинрода реализации полиномиальных когомологических колец», J. Topol. , 1 (4): 747–760, arXiv : 0704.4002 , doi :10.1112/jtopol/jtn021, S2CID  1583621
• Кларк, А.; Юинг, Дж. (1974), «Реализация полиномиальных алгебр как колец когомологий», Pacific J. Math. , 50 (2): 425–434, doi : 10.2140/pjm.1974.50.425
• Дуайер, В. Г.; Вилкерсон, К. В. (1994), «Гомотопические методы неподвижной точки для групп Ли и пространств конечных петель», Ann. of Math. (2) , 139 : 395–442, doi : 10.2307/2946585, JSTOR  2946585
• Дуайер, WG; Вилкерсон, CW (1993), "Новое конечное пространство петель в простом числе 2", J. Amer. Math. Soc. , 6 : 37–64, doi : 10.1090/S0894-0347-1993-1161306-9
• Grodal, J. (2010), "Классификация p-компактных групп и гомотопическая теория групп", Труды Международного конгресса математиков 2010 г. , arXiv : 1003.4010
• Гомотопические группы Ли: обзор (PDF)
• Гомотопические группы Ли и их классификация (PDF)