В математике , в частности в p -адическом анализе , p -адическая показательная функция является p -адическим аналогом обычной показательной функции на комплексных числах . Как и в комплексном случае, она имеет обратную функцию, называемую p -адическим логарифмом .
Обычная показательная функция на C определяется бесконечным рядом
Совершенно аналогично определяется экспоненциальная функция на C p , пополнение алгебраического замыкания Q p , как
Однако, в отличие от exp, который сходится на всем C , exp p сходится только на диске
Это потому, что p -адические ряды сходятся тогда и только тогда, когда слагаемые стремятся к нулю, и поскольку n ! в знаменателе каждого слагаемого стремится сделать их большими p -адически, в числителе необходимо малое значение z . Из формулы Лежандра следует , что если то стремится к , p -адически.
Хотя p -адическая экспонента иногда обозначается как e x , само число e не имеет p -адического аналога. Это происходит потому, что степенной ряд exp p ( x ) не сходится при x = 1 . Можно выбрать число e в качестве корня p -й степени из exp p ( p ) для p ≠ 2 , [a] но таких корней несколько, и канонического выбора среди них нет. [1]
Серия мощности
сходится для x в C p , удовлетворяющего | x | p < 1 и, таким образом, определяет функцию p -адического логарифма log p ( z ) для | z − 1| p < 1, удовлетворяющую обычному свойству log p ( zw ) = log p z + log p w . Функция log p может быть расширена на все C ×
п (множество ненулевых элементов C p ), полагая, что оно продолжает удовлетворять этому последнему свойству, и устанавливая log p ( p ) = 0. В частности, каждый элемент w из C ×
п можно записать как w = p r ·ζ· z , где r — рациональное число, ζ — корень из единицы, а | z − 1| p < 1, [2] в этом случае log p ( w ) = log p ( z ). [b] Эта функция на C ×
п иногда называют логарифмом Ивасавы , чтобы подчеркнуть выбор log p ( p ) = 0. На самом деле, существует расширение логарифма от | z − 1| p < 1 на все C ×
п для каждого выбора log p ( p ) в C p . [3]
Если z и w находятся в радиусе сходимости для exp p , то их сумма тоже находится в радиусе, и мы имеем обычную формулу сложения: exp p ( z + w ) = exp p ( z )exp p ( w ).
Аналогично, если z и w являются ненулевыми элементами C p , то log p ( zw ) = log p z + log p w .
Для z в области exp p имеем exp p (log p (1+ z )) = 1+ z и log p (exp p ( z )) = z .
Корни логарифма Ивасавы log p ( z ) — это в точности элементы C p вида p r ·ζ, где r — рациональное число, а ζ — корень из единицы. [4]
Обратите внимание, что в C p нет аналога тождества Эйлера , e 2 πi = 1. Это следствие теоремы Штрассмана .
Другим важным отличием от ситуации в C является то, что область сходимости exp p намного меньше, чем у log p . Вместо этого можно использовать модифицированную экспоненциальную функцию — экспоненту Артина–Хассе , которая сходится при | z | p < 1.
