Размеры упаковки

Размерность подмножества метрического пространства

В математике размерность упаковки является одним из ряда понятий, которые могут быть использованы для определения размерности подмножества метрического пространства . Размерность упаковки в некотором смысле двойственна размерности Хаусдорфа , поскольку размерность упаковки строится путем «упаковки» маленьких открытых шаров внутри данного подмножества , тогда как размерность Хаусдорфа строится путем покрытия данного подмножества такими маленькими открытыми шарами. Размерность упаковки была введена К. Трико-младшим в 1982 году.

Определения

Пусть ( X ,  d ) — метрическое пространство с подмножеством S  ⊆  X , и пусть s  ≥ 0 — действительное число. Предмера упаковки S размерности s определяется как

${\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.}$

К сожалению, это всего лишь предварительная мера , а не истинная мера на подмножествах X , как можно увидеть, рассматривая плотные счетные подмножества . Однако предварительная мера приводит к добросовестной мере: s - мерная мера упаковки S определяется как

${\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},}$

т.е. мера упаковки S является инфимумом предмер упаковки счетных покрытий S.

Сделав это, размерность упаковки dim _P ( S ) множества S определяется аналогично размерности Хаусдорфа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}}$

Пример

Следующий пример представляет собой простейшую ситуацию, в которой размеры Хаусдорфа и упаковки могут различаться.

Зафиксируем последовательность, такую ​​что и . Определим индуктивно вложенную последовательность компактных подмножеств действительной прямой следующим образом: Пусть . Для каждой связной компоненты (которая обязательно будет интервалом длины ) удалите средний интервал длины , получив два интервала длины , которые будут взяты как связные компоненты . Далее, определим . Тогда является топологически канторовым множеством (т. е. компактным полностью несвязным совершенным пространством). Например, будет обычным средним третичным канторовым множеством, если . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ ${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$ ${\displaystyle K=\bigcap _{n}E_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$

Можно показать, что размерность Хаусдорфа и упаковочная размерность множества определяются соответственно следующим образом: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

Отсюда легко следует, что, если заданы числа , можно выбрать последовательность , как указано выше, так, что соответствующее (топологическое) множество Кантора будет иметь размерность Хаусдорфа и размерность упаковки . ${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

Обобщения

Можно рассматривать функции размерности более общие, чем «диаметр к s »: для любой функции h  : [0, +∞) → [0, +∞], пусть предмера упаковки S с функцией размерности h задается выражением

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}}$

и определить меру упаковки S с функцией размерности h как

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.}$

Говорят, что функция h является точной ( упаковочной ) функцией размерности для S, если P ^h ( S ) является как конечной, так и строго положительной.

Характеристики

• Если S является подмножеством n -мерного евклидова пространства R ⁿ с его обычной метрикой, то размерность упаковки S равна верхней модифицированной размерности ящика S : Этот результат интересен, поскольку он показывает, как размерность, полученная из меры (размерность упаковки), согласуется с размерностью, полученной без использования меры (модифицированная размерность ящика). $${\displaystyle \dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).}$$

Однако следует отметить, что размерность упаковки не равна размерности ящика. Например, множество рациональных чисел Q имеет размерность ящика один и размерность упаковки ноль.

Смотрите также

• Размерность Хаусдорфа
• Размерность Минковского–Булигана

Ссылки

• Трико, Клод младший (1982). «Два определения дробной размерности». Математические труды Кембриджского философского общества . 91 (1): 57–74. doi :10.1017/S0305004100059119. S2CID  122740665. МР 633256