Метод частиц

Класс численных методов в научных вычислениях

Методы частиц — это широко используемый класс численных алгоритмов в научных вычислениях. Его применение варьируется от вычислительной гидродинамики (CFD) до молекулярной динамики (MD) и методов дискретных элементов .

История

Одним из самых ранних методов частиц является гидродинамика сглаженных частиц , представленная в 1977 году. ^[1] Либерский и др. ^[2] первыми применили СПГ в механике твердого тела. Основными недостатками SPH являются неточные результаты вблизи границ и нестабильность натяжения, которая впервые была исследована Свеглом. ^[3]

В 1990-х годах появился новый класс методов частиц. Появился метод воспроизводящих ядерных частиц ^[4] (RKPM), аппроксимация которого частично мотивировала корректировку оценки ядра в SPH: для обеспечения точности вблизи границ, при неравномерной дискретизации и точности более высокого порядка в целом. Примечательно, что параллельно с этим примерно в то же время были разработаны методы материальных точек ^[5] , которые предлагают аналогичные возможности. В течение 1990-х годов и впоследствии было выведено несколько других сортов, в том числе перечисленные ниже.

Список методов и сокращений

Следующие численные методы обычно считаются относящимися к общему классу методов «частиц». Сокращения приведены в скобках.

• Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) (1977)
• Диссипативная динамика частиц (DPD) (1992)
• Метод воспроизводства ядерных частиц (РКПМ) (1995)
• Полунеявное движение движущихся частиц (MPS)
• Частица в ячейке (PIC)
• Метод конечных элементов движущихся частиц (MPFEM)
• Метод крекинг-частиц (МКП) (2004 г.)
• Метод погруженных частиц (IPM) (2006 г.)

Определение

Математическое определение методов частиц отражает структурные сходства всех методов частиц. ^[6] Таким образом, это позволяет проводить формальные рассуждения в разных областях применения. Определение разделено на три части: во-первых, структура алгоритма метода частиц, включая структурные компоненты, а именно структуры данных и функции. Во-вторых, определение экземпляра метода частиц. Экземпляр метода частиц описывает конкретную проблему или ситуацию, которую можно решить или смоделировать с помощью алгоритма метода частиц. В-третьих, определение функции перехода состояний частицы. Функция перехода состояний описывает, как метод частиц переходит от экземпляра к конечному состоянию, используя структуры данных и функции из алгоритма метода частиц. ^[6]

Алгоритм метода частиц представляет собой кортеж из семи элементов , состоящий из двух структур данных. ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&P:=A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}&&{\text{the particle space,}}\\&G:=B_{1}\times B_{2}\times ...\times B_{m}&&{\text{the global variable space,}}\end{aligned}}}$

таково пространство состояний метода частиц и пять функций: ${\displaystyle [G\times P^{*}]}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&u:[G\times P^{*}]\times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ^{*}&&{\text{the neighborhood function,}}\\&f:G\rightarrow \{\top ,\bot \}&&{\text{the stopping condition,}}\\&i:G\times P\times P\rightarrow P\times P&&{\text{the interact function,}}\\&e:G\times P\rightarrow G\times P^{*}\ &&{\text{the evolve function,}}\\&{\overset {\circ }{e}}:G\rightarrow G&&{\text{the evolve function of the global variable.}}\end{aligned}}}$

Начальное состояние определяет экземпляр метода частиц для данного алгоритма метода частиц : ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$

${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]\in [G\times P^{*}].}$

Экземпляр состоит из начального значения глобальной переменной и начального кортежа частиц . ${\displaystyle g^{1}\in G}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}\in P^{*}}$

В конкретном методе частиц необходимо указать элементы кортежа . Учитывая конкретную отправную точку, определенную экземпляром , алгоритм продолжается итерациями. Каждая итерация соответствует одному шагу перехода между состояниями , который переводит текущее состояние метода частиц в следующее состояние . Переход между состояниями использует функции для определения следующего состояния. Функция перехода состояний генерирует серию шагов перехода состояний, пока функция остановки не станет . Так рассчитанное конечное состояние является результатом функции перехода состояний. Функция перехода состояний идентична для каждого метода частиц. ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$ ${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [g^{t},\mathbf {p} ^{t}]}$ ${\displaystyle [g^{t+1},\mathbf {p} ^{t+1}]}$ ${\displaystyle u,i,e,{\overset {\circ }{e}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle true}$

Функция перехода состояний определяется как

${\displaystyle S:[G\times P^{*}]\rightarrow [G\times P^{*}]}$

с

${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]:=S([g^{1},\mathbf {p} ^{1}])}$.

Псевдокод иллюстрирует функцию перехода состояний метода частиц:

1 2 а 3 от до 4 5 от до 6 7 8 от до 9
10
11
12
13 ${\displaystyle [g,\mathbf {p} ]=[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$  ${\displaystyle f(g)=false}$  ${\displaystyle j=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =u([g,\mathbf {p} ],j)}$  ${\displaystyle l=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle (p_{j},p_{k_{j}})=i(g,p_{j},p_{k_{j}})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =()}$  ${\displaystyle j=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle (g,{\overline {\mathbf {q} }})=e(g,p_{j})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} \circ {\overline {\mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {q} }$ ${\displaystyle g={\overset {\circ }{e}}(g)}$ ${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]=[g,\mathbf {p} ]}$

Жирные символы представляют собой кортежи, кортежи частиц и кортежи индексов. это пустой кортеж. Оператор представляет собой объединение кортежей частиц, например . И это количество элементов в кортеже , например . ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})\circ (p_{3},p_{4},p_{5})=(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5})}$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle |(p_{1},p_{2})|=2}$

Смотрите также

• Механика сплошных сред
• Метод граничных элементов
• Метод погруженных границ
• Код трафарета
• Бессеточные методы

Рекомендации

1. Джингольд Р.А., Монаган Дж.Дж. (1977). Гидродинамика сглаженных частиц – теория и применение к несферическим звездам. Пн Не Р Astron Soc 181:375–389
2. Либерски, Л.Д., Петчек, А.Г., Карни, Т.К., Хипп, младший, Аллахдади, Ф.А. (1993). Лагранжева гидродинамика высоких напряжений. Журнал вычислительной физики .
3. Свегл, Дж.В., Хикс, Д.Л., Аттауэй, SW (1995). Анализ гидродинамической устойчивости сглаженных частиц. Журнал вычислительной физики . 116(1), 123-134
4. Лю, В.К., Цзюнь, С., Чжан, Ю.Ф. (1995), Методы воспроизведения ядерных частиц, Международный журнал численных методов в жидкостях . 20, 1081–1106.
5. Д. Сульский, З., Чен, Х. Шрейер (1994). Метод частиц для материалов, зависящих от истории. Компьютерные методы в прикладной механике и технике (118) 1, 179-196.
6. Пальке, Йоханнес; Сбальцарини, Иво Ф. (март 2023 г.). «Единое математическое определение методов частиц». Открытый журнал IEEE Компьютерного общества . 4 : 97–108. дои : 10.1109/OJCS.2023.3254466 . S2CID  257480034.  В эту статью включен текст, доступный по лицензии CC BY 4.0.

дальнейшее чтение

• Лю МБ, Лю Г.Р., Цзун Цзы, ОБЗОР СГЛАЖЕННОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ЧАСТИЦ, МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ Vol. 5 Выпуск: 1, 135–188, 2008.
• Лю, Г.Р., Лю, М.Б. (2003). Гидродинамика сглаженных частиц, бессеточный метод и метод частиц , World Scientific, ISBN 981-238-456-1 . 

Внешние ссылки

• Методы частиц