Периодическая функция

Функция, которая повторяет свои значения через регулярные интервалы или периоды

Иллюстрация периодической функции с периодом ${\displaystyle P.}$

Периодическая функция , также называемая периодической волной (или просто периодической волной ), — это функция , которая повторяет свои значения через регулярные интервалы или периоды . Повторяющаяся часть функции или волновой формы называется циклом . ^[1] Например, тригонометрические функции , которые повторяются через интервалы радиан , являются периодическими функциями. Периодические функции используются в науке для описания колебаний , волн и других явлений, которые проявляют периодичность . Любая функция, которая не является периодической, называется апериодической . ${\displaystyle 2\pi }$

Определение

Функция f называется периодической , если для некоторой ненулевой константы P выполняется следующее:

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

для всех значений x в области определения. Ненулевая константа P , для которой это так, называется периодом функции. Если существует наименьшая положительная ^[2] константа P с этим свойством, она называется фундаментальным периодом (также примитивным периодом , базовым периодом или простым периодом ). Часто «период» функции используется для обозначения ее фундаментального периода. Функция с периодом P будет повторяться на интервалах длины P , и эти интервалы иногда также называют периодами функции.

Геометрически периодическая функция может быть определена как функция, график которой демонстрирует трансляционную симметрию , т. е. функция f является периодической с периодом P , если график f инвариантен относительно трансляции в направлении x на расстояние P. Это определение периодичности может быть распространено на другие геометрические фигуры и узоры, а также обобщено на более высокие измерения, такие как периодические мозаики плоскости. Последовательность также можно рассматривать как функцию, определенную на натуральных числах , и для периодической последовательности эти понятия определяются соответствующим образом.

Примеры

График синусоидальной функции, показывающий два полных периода

Примеры действительных чисел

Функция синуса является периодической с периодом , так как ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}$

для всех значений . Эта функция повторяется на интервалах длины (см. график справа). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Повседневные примеры можно увидеть, когда переменной является время ; например, стрелки часов или фазы луны демонстрируют периодическое поведение. Периодическое движение — это движение, в котором положение(я) системы выражаются как периодические функции, все с тем же периодом.

Для функции действительных чисел или целых чисел это означает, что весь график может быть сформирован из копий одной конкретной части, повторяющихся через равные промежутки времени.

Простым примером периодической функции является функция , которая дает " дробную часть " своего аргумента. Ее период равен 1. В частности, ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}$

График функции представляет собой пилообразную волну . ${\displaystyle f}$

График и ; обе функции периодические с периодом . ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle g(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Тригонометрические функции синус и косинус являются обычными периодическими функциями с периодом (см. рисунок справа). Предмет рядов Фурье исследует идею о том, что «произвольная» периодическая функция является суммой тригонометрических функций с совпадающими периодами. ${\displaystyle 2\pi }$

Согласно определению выше, некоторые экзотические функции, например функция Дирихле , также являются периодическими; в случае функции Дирихле любое ненулевое рациональное число является периодом.

Примеры комплексных чисел

Используя комплексные переменные, мы имеем общую периодическую функцию:

${\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.}$

Поскольку функции косинуса и синуса являются периодическими с периодом , комплексная экспонента состоит из волн косинуса и синуса. Это означает, что формула Эйлера (выше) обладает свойством, таким что если — период функции, то ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {2\pi }{k}}.}$

Двойнопериодические функции

Функция, областью определения которой являются комплексные числа, может иметь два несоизмеримых периода, не будучи постоянной. Эллиптические функции являются такими функциями. («Несоизмеримые» в этом контексте означает не действительные кратные друг другу.)

Характеристики

Периодические функции могут принимать значения много раз. Более конкретно, если функция периодична с периодом , то для всех в области определения и всех положительных целых чисел , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x+nP)=f(x)}$

Если — функция с периодом , то , где — ненулевое действительное число, такое что находится в области определения , является периодической с периодом . Например, имеет период и, следовательно, будет иметь период . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(ax)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\frac {P}{a}}}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \sin(5x)}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$

Некоторые периодические функции можно описать рядами Фурье . Например, для функций L2 теорема Карлесона утверждает , что они имеют поточечно ( по Лебегу ) почти всюду сходящийся ряд Фурье . Ряды Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале. Если — периодическая функция с периодом , который можно описать рядом Фурье, то коэффициенты ряда можно описать интегралом по интервалу длины . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Любая функция, состоящая только из периодических функций с одинаковым периодом, также является периодической (с периодом, равным или меньшим), в том числе:

• сложение, вычитание, умножение и деление периодических функций, а также
• взятие степени или корня периодической функции (при условии, что она определена для всех ). ${\displaystyle x}$

Обобщения

Антипериодические функции

Одним из подмножеств периодических функций является подмножество антипериодических функций . Это функция такая, что для всех . Например, функции синуса и косинуса являются -антипериодическими и -периодическими. В то время как -антипериодическая функция является -периодической функцией, обратное не обязательно верно. ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+P)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 2P}$

Блох-периодические функции

Дальнейшее обобщение появляется в контексте теорем Блоха и теории Флоке , которые управляют решением различных периодических дифференциальных уравнений. В этом контексте решение (в одном измерении) обычно является функцией вида

${\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,}$

где — действительное или комплексное число ( волновой вектор Блоха или показатель Флоке ). Функции этой формы иногда называются в этом контексте периодическими по Блоху . Периодическая функция — это частный случай , а антипериодическая функция — частный случай . Всякий раз, когда — рационально, функция также является периодической. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=\pi /P}$ ${\displaystyle kP/\pi }$

Факторные пространства как домены

При обработке сигналов вы сталкиваетесь с проблемой, что ряды Фурье представляют периодические функции и что ряды Фурье удовлетворяют теоремам свертки (т.е. свертка рядов Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот), но периодические функции не могут быть свернуты с помощью обычного определения, поскольку задействованные интегралы расходятся. Возможным выходом из положения является определение периодической функции на ограниченной, но периодической области. Для этого вы можете использовать понятие факторпространства :

${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}$.

То есть, каждый элемент в является классом эквивалентности действительных чисел , которые разделяют одну и ту же дробную часть . Таким образом, функция подобная является представлением 1-периодической функции. ${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R} }$

Расчетный период

Рассмотрим реальную форму волны, состоящую из наложенных друг на друга частот, выраженных в наборе как отношения к основной частоте f: F = 1 ⁄ f  [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ], где все ненулевые элементы ≥1 и по крайней мере один из элементов набора равен 1. Чтобы найти период T, сначала найдите наименьший общий знаменатель всех элементов в наборе. Период можно найти как T = LCD ⁄ f . Предположим, что для простой синусоиды T = 1 ⁄ f . Следовательно, LCD можно рассматривать как множитель периодичности.

• Для набора, представляющего все ноты западной мажорной гаммы: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] ЖК-дисплей равен 24, поэтому T = 24 ⁄ f .
• Для набора, представляющего все ноты мажорного трезвучия: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] ЖК-дисплей равен 4, поэтому T = 4 ⁄ f .
• Для набора, представляющего все ноты минорного трезвучия: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] ЖКД равен 10, поэтому T = 10 ⁄ f .

Если наименьшего общего знаменателя не существует, например, если один из вышеуказанных элементов иррационален, то волна не будет периодической. ^[4]

Смотрите также

• Почти периодическая функция
• Амплитуда
• Непрерывная волна
• Определенный шаг
• Метод двойной сферы Фурье
• Двоякопериодическая функция
• Преобразование Фурье для вычисления периодичности в равномерно распределенных данных
• Частота
• Спектр частот
• Дифференциальное уравнение Хилла
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодичности в неравномерно распределенных данных
• Периодическая последовательность
• Периодическое суммирование
• Периодическая бегущая волна
• Квазипериодическая функция
• Сезонность
• Светская вариация
• Длина волны
• Список периодических функций

Ссылки

1. "IEC 60050 — Подробности для номера IEV 103-05-08: "цикл"". Международный электротехнический словарь . Получено 20 ноября 2023 г.
2. Для некоторых функций, таких как постоянная функция или функция Дирихле ( индикаторная функция рациональных чисел ), наименьший положительный период может не существовать ( инфимум всех положительных периодов P равен нулю).
3. Weisstein, Eric W. "Антипериодическая функция". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-06-06 .
4. Саммерсон, Саманта Р. (5 октября 2009 г.). «Периодичность, действительные ряды Фурье и преобразования Фурье» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2019-08-25 . Получено 2018-03-24 .

• Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. Том. 19. Берлин: Шпрингер-Верлаг. стр. х+247. ISBN 3-540-50613-6. МР  1051888.

Внешние ссылки

• «Периодическая функция». Энциклопедия математики . Издательство EMS . 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Периодическая функция». MathWorld .