Фотонная сфера

Сферическая область пространства с высокой гравитацией, вокруг которой по орбитам движутся безмассовые частицы.

Анимация того, как лучи света можно гравитационно изгибать, образуя фотонную сферу.

Фотонная сфера ^[1] или фотонный круг ^[2] — это область или область пространства, где гравитация настолько сильна, что фотоны вынуждены перемещаться по орбитам, которые также иногда называют последней фотонной орбитой . ^[3] Радиус фотонной сферы, который также является нижней границей любой стабильной орбиты , для черной дыры Шварцшильда равен

${\displaystyle r={\frac {3GM}{c^{2}}}={\frac {3r_{\text{s}}}{2}},}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса черной дыры , c — скорость света в вакууме, а _rs — радиус Шварцшильда (радиус горизонта событий ); см. ниже вывод этого результата.

Из этого уравнения следует, что фотонные сферы могут существовать только в пространстве, окружающем чрезвычайно компактный объект ( черную дыру или, возможно, «сверхкомпактную» нейтронную звезду ^[4] ).

Фотонная сфера расположена дальше от центра черной дыры, чем горизонт событий. Внутри фотонной сферы можно представить себе фотон , который испускается из затылка человека, вращается вокруг черной дыры и только затем перехватывается глазами человека, позволяя ему увидеть затылок. Для невращающихся черных дыр фотонная сфера представляет собой сферу радиуса 3/2  r _s . Не существует стабильных орбит свободного падения, существующих внутри фотонной сферы или пересекающих ее. Любая орбита свободного падения, пересекающая его снаружи, превращается в черную дыру. Любая орбита, пересекающая ее изнутри, уходит в бесконечность или падает обратно и по спирали попадает в черную дыру. Никакая неускоренная орбита с большой полуосью меньше этого расстояния невозможна, но внутри фотонной сферы постоянное ускорение позволит космическому кораблю или зонду зависать над горизонтом событий.

Еще одним свойством фотонной сферы является обращение центробежной силы (примечание: не центростремительной ). ^[5] Чем быстрее человек вращается за пределами фотонной сферы, тем большую внешнюю силу он ощущает. Центробежная сила падает до нуля на фотонной сфере, включая орбиты несвободного падения на любой скорости, т.е. объект весит одинаково, независимо от того, как быстро он вращается, и становится отрицательным внутри него. Внутри фотонной сферы более быстрое вращение по орбите приводит к увеличению веса или внутренней силы. Это имеет серьезные последствия для гидродинамики входящего потока жидкости.

Вращающаяся черная дыра имеет две фотонные сферы. Когда черная дыра вращается, она увлекает за собой пространство. Фотонная сфера, которая находится ближе к черной дыре, движется в том же направлении, что и вращение, тогда как фотонная сфера, расположенная дальше, движется против нее. Чем больше угловая скорость вращения черной дыры, тем больше расстояние между двумя фотонными сферами. Поскольку у черной дыры есть ось вращения, это справедливо только при приближении к черной дыре в направлении экватора. На полярной орбите находится только одна фотонная сфера. Это связано с тем, что при приближении под таким углом не существует возможности движения по вращению или против него. Вместо этого вращение вызовет прецессию орбиты . ^[6]

Вывод для черной дыры Шварцшильда

Поскольку черная дыра Шварцшильда обладает сферической симметрией, все возможные оси круговой орбиты фотона эквивалентны, и все круговые орбиты имеют одинаковый радиус.

Этот вывод предполагает использование метрики Шварцшильда , определяемой формулой

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+d\theta ^{2}).}$

Для фотона, движущегося с постоянным радиусом r (т.е. в направлении координаты φ ), . Так как это фотон, («светоподобный интервал»). Мы всегда можем повернуть систему координат так , чтобы она была постоянной (например, ). ${\displaystyle dr=0}$ ${\displaystyle ds=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Приравняв ds , dr и dθ к нулю, мы имеем

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}=r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Перестановка дает

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r\sin \theta }}{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}.}$

Чтобы продолжить, нам нужно отношение . Для его нахождения воспользуемся уравнением радиальных геодезических ${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.}$

Неисчезающие коэффициенты -связности равны ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {c^{2}BB'}{2}},\quad \Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {B^{-1}B'}{2}},\quad \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-rB,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta ,}$

где . ${\displaystyle B'={\frac {dB}{dr}},\ B=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

Мы рассматриваем фотонные радиальные геодезические с постоянными r и , поэтому ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}={\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}={\frac {d\theta }{d\tau }}=0.}$

Подставив все это в уравнение радиальной геодезической (уравнение геодезической с радиальной координатой в качестве зависимой переменной), получим

${\displaystyle \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}.}$

Сравнивая его с тем, что было получено ранее, имеем

${\displaystyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}},}$

где мы вставили радианы (представьте, что центральная масса, вокруг которой вращается фотон, расположена в центре координатных осей. Тогда, когда фотон движется вдоль -координатной линии, чтобы масса находилась непосредственно в центр орбиты фотона, мы должны иметь радианы). ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Следовательно, перестановка этого окончательного выражения дает

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}r_{\text{s}},}$

что и является результатом, который мы намеревались доказать.

Фотон вращается вокруг черной дыры Керра

Виды сбоку (слева) и сверху на столб (справа). Вращающаяся черная дыра имеет 9 радиусов, между которыми свет может вращаться по постоянной координате r . В этой анимации показаны все орбиты фотонов для a = M.

В отличие от черной дыры Шварцшильда, черная дыра Керра (вращающаяся) не имеет сферической симметрии, а имеет только ось симметрии, что имеет глубокие последствия для орбит фотонов, подробности и моделирование орбит фотонов см., например, в Крамере ^[2]. и фотонные круги. В экваториальной плоскости существуют две круговые фотонные орбиты (прямая и ретроградная) с разными радиусами Бойера – Линдквиста :

${\displaystyle r_{\pm }^{\circ }=r_{\text{s}}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {\pm |a|}{M}}\right)\right],}$

где - угловой момент единицы массы черной дыры. ^[7] Существуют и другие орбиты постоянного радиуса, но они имеют более сложные траектории и колеблются по широте вокруг экватора. ^[7] ${\displaystyle a=J/M}$

Рекомендации

1. Беннетт, Джей (10 апреля 2019 г.). «Астрономы впервые получили изображение сверхмассивной черной дыры». Смитсоновский институт.com . Смитсоновский институт. Архивировано из оригинала 13 апреля 2021 года . Проверено 15 апреля 2019 г.
2. Крамер, Клаас Р. (1997). «Использование незаряженной черной дыры Керра в качестве гравитационного зеркала». Общая теория относительности и гравитация . 29 (4): 445–454. arXiv : gr-qc/9510053 . Бибкод : 1997GReGr..29..445C. дои : 10.1023/А: 1018878515046. S2CID  9517046.
3. «Что означает вид черной дыры для физика черной дыры». Архивировано 14 мая 2021 г. в Wayback Machine , Quanta Magazine , 10 апреля 2019 г.: «область, определяемая ближайшим к черной дыре местом, где находится луч свет может вращаться по кругу, известному как «орбита последнего фотона».
4. Свойства ультракомпактных нейтронных звезд. Архивировано 6 мая 2021 г. в Wayback Machine .
5. Абрамович, Марек (1990). «Обращение центробежной силы возле черной дыры Шварцшильда». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 245 : 720. Бибкод : 1990MNRAS.245..720A.
6. Хирата, Кристофер М. (декабрь 2011 г.). «Лекция XXVII: Черные дыры Керра: II. Прецессия, круговые орбиты и стабильность» (PDF) . Калтех . Проверено 5 марта 2018 г.
7. Тео, Эдвард (2003). «Сферические фотоны вращаются вокруг черной дыры Керра» (PDF) . Общая теория относительности и гравитация . 35 (11): 1909–1926. Бибкод : 2003GReGr..35.1909T. дои : 10.1023/А: 1026286607562. ISSN  0001-7701. S2CID  117097507. Архивировано (PDF) из оригинала 3 июня 2020 г. Проверено 24 августа 2010 г.

Внешние ссылки

• Шаг за шагом в черную дыру
• Виртуальные путешествия к черным дырам и нейтронным звездам
• Путеводитель по черным дырам
• Сферические фотоны вращаются вокруг черной дыры Керра