Плоская волна

Тип волны, распространяющейся в 3-х измерениях

В физике плоская волна — это частный случай волны или поля : физическая величина, значение которой в любой момент времени постоянно в любой плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению в пространстве. ^[1]

Для любого положения в пространстве и любого времени значение такого поля можно записать как , где — вектор единичной длины , а — функция, которая задает значение поля как зависящее только от двух действительных параметров: времени и скалярного смещения точки вдоль направления . Смещение постоянно в каждой плоскости, перпендикулярной . ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t),}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle G(d,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Значения поля могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть комплексными числами , как в комплексной экспоненциальной плоской волне . ${\displaystyle F}$

Когда значения являются векторами, волна называется продольной, если векторы всегда коллинеарны вектору , и поперечной, если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ему. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Специальные типы

Бегущая плоская волна

Волновые фронты плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве

Часто термин «плоская волна» относится конкретно к бегущей плоской волне , эволюция которой во времени может быть описана как простое перемещение поля с постоянной скоростью волны вдоль направления, перпендикулярного волновым фронтам. Такое поле можно записать как , где теперь является функцией одного действительного параметра , который описывает «профиль» волны, а именно значение поля во времени , для каждого смещения . В этом случае называется направлением распространения . Для каждого смещения движущаяся плоскость, перпендикулярная на расстоянии от начала координат, называется « волновым фронтом ». Эта плоскость движется вдоль направления распространения со скоростью ; и значение поля тогда одинаково и постоянно во времени в каждой из его точек. ^[2] ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G\left({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct\right)\,}$$ ${\displaystyle G(u)}$ ${\displaystyle u=d-ct}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle d+ct}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Синусоидальная плоская волна

Термин также используется, даже более конкретно, для обозначения «монохроматической» или синусоидальной плоской волны : бегущей плоской волны, профиль которой является синусоидальной функцией. То есть, параметр , который может быть скаляром или вектором, называется амплитудой волны ; скалярный коэффициент — это ее «пространственная частота»; а скаляр — это ее « фазовый сдвиг ». ${\displaystyle G(u)}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$

Истинная плоская волна физически не может существовать, поскольку она должна была бы заполнить все пространство. Тем не менее, модель плоской волны важна и широко используется в физике. Волны, испускаемые любым источником с конечной протяженностью в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами, если рассматривать любую часть этой области, которая достаточно мала по сравнению с ее расстоянием от источника. Так обстоит дело, например, со световыми волнами от далекой звезды, которые достигают телескопа.

Плоская стоячая волна

Стоячая волна — это поле, значение которого можно выразить как произведение двух функций, одна из которых зависит только от положения, а другая — только от времени. Плоская стоячая волна, в частности, может быть выражена как , где — функция одного скалярного параметра (смещение ) со скалярными или векторными значениями, а — скалярная функция времени. $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle S}$

Это представление не является уникальным, поскольку одни и те же значения поля получаются, если и масштабируются обратными множителями. Если ограничено в интересующем интервале времени (что обычно имеет место в физических контекстах), и может быть масштабировано так, что максимальное значение равно 1. Тогда будет максимальной величиной поля, наблюдаемой в точке . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|S(t)\right|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|S(t)\right|}$ ${\displaystyle \left|G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Характеристики

Плоскую волну можно изучать, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления ; то есть рассматривая функцию как волну в одномерной среде. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)}$

Любой локальный оператор, линейный или нет, примененный к плоской волне, дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с тем же нормальным вектором также является плоской волной. ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению ; в частности, , где — частная производная по первому аргументу. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \nabla F({\vec {x}},t)={\vec {n}}\partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$ ${\displaystyle \partial _{1}G}$ ${\displaystyle G}$

Расходимость векторнозначной плоской волны зависит только от проекции вектора в направлении . В частности, В частности, поперечная плоская волна удовлетворяет для всех и . ${\displaystyle G(d,t)}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

Смотрите также

• Расширение плоской волны
• Прямолинейное распространение
• Волновое уравнение
• Расширение Вейля

Ссылки

1. Бреховских, Л. (1980). Волны в слоистых средах (2-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press . С. 1–3. ISBN 9780323161626.
2. Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley . С. 296. ISBN 9780471309321.