Тороидальные и полоидальные координаты

Система координат относительно тора

Диаграмма, изображающая полоидальное ( θ ) направление, представленное красной стрелкой, и тороидальное ( ζ или φ ) направление, представленное синей стрелкой.

Термины тороидальный и полоидальный относятся к направлениям относительно тора отсчета. Они описывают трехмерную систему координат , в которой полоидальное направление следует за небольшим круговым кольцом вокруг поверхности, а тороидальное направление следует за большим круговым кольцом вокруг тора, окружающим центральную пустоту.

Самое раннее использование этих терминов, цитируемое Оксфордским словарем английского языка, принадлежит Уолтеру М. Эльзассеру (1946) в контексте генерации магнитного поля Земли токами в ядре, при этом «тороидальность» параллельна линиям широты и «тороидальность». полоидальный» находится в направлении магнитного поля (т.е. к полюсам ).

OED также фиксирует более позднее использование этих терминов в контексте тороидально удерживаемой плазмы, которая встречается при термоядерном синтезе с магнитным удержанием . В контексте плазмы тороидальное направление — это длинный путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается z в приближении плиты или ζ или φ в магнитных координатах; полоидальное направление - это короткий путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается y в приближении плиты или θ в магнитных координатах. (Третье направление, нормальное к магнитным поверхностям, часто называют «радиальным направлением», обозначаемым x в приближении плиты и по-разному ψ , χ , r , ρ или s в магнитных координатах.)

Пример

В качестве простого примера из физики магнитно-удерживаемой плазмы рассмотрим осесимметричную систему с круглыми концентрическими поверхностями магнитного потока радиуса (грубое приближение к геометрии магнитного поля в ранних токамаках, но топологически эквивалентное любой тороидальной системе магнитного удержания с вложенным потоком). поверхности) и обозначим тороидальный угол через и полоидальный угол через . Тогда тороидальная/полоидальная система координат соотносится со стандартными декартовыми координатами следующими правилами преобразования: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

где . ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

Естественный выбор с геометрической точки зрения - взять , задав тороидальное и полоидальное направления, показанные стрелками на рисунке выше, но это дает левостороннюю криволинейную систему координат. Поскольку при задании координат потока для описания магнитно удерживаемой плазмы обычно предполагается, что набор образует правую систему координат, мы должны либо обратить полоидальное направление, приняв , либо обратить тороидальное направление, приняв . Оба варианта используются в литературе. ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$ ${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$

Кинематика

Для изучения движения одиночной частицы в плазменных устройствах с тороидальным удержанием необходимо знать векторы скорости и ускорения. Учитывая естественный выбор , единичные векторы тороидальной и полоидальной системы координат можно выразить как: ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

по декартовым координатам. Вектор положения выражается как:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

Тогда вектор скорости определяется выражением:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

а вектор ускорения равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Тороидальные координаты
• Тор
• Зональный и полоидальный
• Полоидально-тороидальный распад
• Зональный поток (плазма)

Рекомендации

• «Оксфордский онлайн-словарь английского языка». полоидальный . Издательство Оксфордского университета . Проверено 10 августа 2007 г.
• Эльзассер, WM (1946). «Эффекты индукции в земном магнетизме, Часть I. Теория». Физ. Преподобный . 69 (3–4): 106–116. дои : 10.1103/PhysRev.69.106 . Проверено 10 августа 2007 г.