В общей топологии предтопологическое пространство является обобщением концепции топологического пространства . Предтопологическое пространство может быть определено в терминах фильтров или оператора предзакрытия . Похожее, но более абстрактное понятие предтопологии Гротендика используется для формирования топологии Гротендика и рассматривается в статье по этой теме.
Пусть будет множеством. Система соседства для предтопологии на — это набор фильтров, по одному для каждого элемента из, такой, что каждое множество в содержит в качестве члена. Каждый элемент из называется окрестностью из Тогда предтопологическое пространство — это множество, снабженное такой системой соседства.
Сеть сходится к точке в , если в конечном итоге находится в каждой окрестности
Претопологическое пространство также может быть определено как множество с оператором предзакрытия ( оператор замыкания Чеха ). Можно показать, что эти два определения эквивалентны следующим образом: определим замыкание множества в как множество всех точек, таких что некоторая сеть, которая сходится к , в конечном итоге находится в Тогда можно показать, что оператор замыкания удовлетворяет аксиомам оператора предзакрытия. Наоборот, пусть множество является окрестностью , если не находится в замыкании дополнения к Можно показать, что множество всех таких окрестностей является системой окрестностей для предтопологии.
Предтопологическое пространство является топологическим пространством, если его оператор замыкания идемпотентен .
Отображение между двумя предтопологическими пространствами является непрерывным , если оно удовлетворяет для всех подмножеств
