Пространство Коши

Концепция общей топологии и анализа

В общей топологии и анализе пространство Коши является обобщением метрических пространств и равномерных пространств , для которых понятие сходимости Коши все еще имеет смысл. Пространства Коши были введены Х. Х. Келлером в 1968 году как аксиоматический инструмент, полученный из идеи фильтра Коши , для изучения полноты в топологических пространствах . Категория пространств Коши и непрерывных отображений Коши является декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости .

Определение

Везде в тексте есть множество, обозначает множество мощности и все фильтры предполагаются правильными/невырожденными (т.е. фильтр не может содержать пустое множество). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X,}$

Пространство Коши — это пара, состоящая из набора вместе семейства (собственных) фильтров, обладающих всеми следующими свойствами: ${\displaystyle (X,C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle X}$

1. Для каждого дискретного ультрафильтра , обозначенного как , находится в ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U(x),}$ ${\displaystyle C.}$
2. Если — правильный фильтр, и — подмножество, то ${\displaystyle F\in C,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G\in C.}$
3. Если и если каждый член пересекает каждый член тогда ${\displaystyle F,G\in C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle F\cap G\in C.}$

Элемент называется фильтром Коши , а отображение между пространствами Коши и является непрерывным по Коши , если ; то есть образ каждого фильтра Коши в является базой фильтра Коши в ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,C)}$ ${\displaystyle (Y,D)}$ ${\displaystyle \uparrow f(C)\subseteq D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Свойства и определения

Любое пространство Коши также является пространством сходимости , где фильтр сходится к, если является Коши. В частности, пространство Коши несет естественную топологию . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\cap U(x)}$

Примеры

• Любое равномерное пространство (следовательно, любое метрическое пространство , топологическое векторное пространство или топологическая группа ) является пространством Коши; определения см. в фильтре Коши .
• Решетчато -упорядоченная группа имеет естественную структуру Коши.
• Любое направленное множество может быть преобразовано в пространство Коши путем объявления фильтра пространством Коши, если для любого заданного элемента существует элемент такой, что является либо синглтоном , либо подмножеством хвоста Тогда для любого другого заданного пространства Коши функции , непрерывные по Коши, от до совпадают с сетями Коши в , индексированными по Если является полным , то такая функция может быть расширена до завершения, которое может быть записано, значение расширения в будет пределом сети. В случае, когда — множество натуральных чисел ( так что сеть Коши, индексированная по , совпадает с последовательностью Коши ), то получает ту же структуру Коши, что и метрическое пространство ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\in A,}$ ${\displaystyle U\in F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{m:m\geq n\}.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A\cup \{\infty \};}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\ldots \}.}$

Категория пространств Коши

Естественным понятием морфизма между пространствами Коши является понятие функции, непрерывной по Коши , концепция, которая ранее изучалась для однородных пространств.

Смотрите также

• Характеристика категории топологических пространств
• Пространство сходимости  – обобщение понятия сходимости, встречающегося в общей топологии.
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Предтопологическое пространство  – Обобщенное топологическое пространство
• Пространство близости  – структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.

Ссылки

• Ева Лоуэн-Колебандерс (1989). Классы функций непрерывных отображений Коши . Dekker, Нью-Йорк, 1989.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.