В алгебре простой идеал — это подмножество кольца , которое разделяет многие важные свойства простого числа в кольце целых чисел . [1] [2] Простые идеалы целых чисел — это множества, которые содержат все кратные данному простому числу вместе с нулевым идеалом .
Идеал P коммутативного кольца R является простым , если он обладает следующими двумя свойствами:
Если a и b — два элемента R , так что их произведение ab является элементом P , то a находится в P или b находится в P ,
P — это не все кольцо R.
Это обобщает следующее свойство простых чисел, известное как лемма Евклида : если p — простое число и если p делит произведение ab двух целых чисел , то p делит a или p делит b . Поэтому мы можем сказать
Простой пример: в кольце подмножество четных чисел является простым идеалом.
Учитывая область целостности , любой простой элемент порождает главный простой идеал . Критерий Эйзенштейна для областей целостности (следовательно, UFD ) является эффективным инструментом для определения того, является ли элемент в кольце полиномов неприводимым . Например, возьмем неприводимый многочлен в кольце многочленов над некоторым полем .
В кольце всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порожденный 2 и X , является простым идеалом. Он состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четный.
В любом кольце R максимальным идеалом является идеал M , который является максимальным в множестве всех собственных идеалов R , т. е. M содержится ровно в двух идеалах R , а именно в самом M и во всем кольце R. Каждый максимальный идеал на самом деле является простым. В области главных идеалов каждый ненулевой простой идеал является максимальным, но, вообще говоря, это неверно. Для UFD Nullstellensatz Гильберта утверждает , что каждый максимальный идеал имеет вид
Если M — гладкое многообразие , R — кольцо гладких вещественных функций на M , а x — точка в M , то множество всех гладких функций f с f ( x ) = 0 образует простой идеал (даже максимальный идеал ) в Р.
Хотя первые два кольца являются доменами целостности (фактически первое является УФД), последнее не является областью целостности, поскольку оно изоморфно
показывая, что идеал не является простым. (См. первое свойство, указанное ниже.)
Другой непример является идеалом, поскольку мы имеем
но ни то, ни другое не является элементами идеала.
Характеристики
Идеал I в кольце R (с единицей ) является простым тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R / I является областью целостности . В частности, коммутативное кольцо (с единицей) является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) — простой идеал. (Обратите внимание, что нулевое кольцо не имеет простых идеалов, поскольку идеал (0) — это все кольцо.)
Идеал I является простым тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение мультипликативно замкнуто . [3]
Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один простой идеал (фактически оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулла .
В более общем смысле, если S — любое мультипликативно замкнутое множество в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал R , максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с S , и, более того, идеал должен быть простым. Это можно далее обобщить на некоммутативные кольца (см. ниже). [4] В случае { S } = {1} мы имеем теорему Крулла , и это восстанавливает максимальные идеалы R . Другой прототип m - системы — это набор { x , x2 , x3 , x4 , ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента .
Прообраз простого идеала при гомоморфизме колец является простым идеалом. Аналогичный факт не всегда верен для максимальных идеалов , что является одной из причин, по которой алгебраические геометры определяют спектр кольца как множество его простых, а не максимальных идеалов; хочется, чтобы гомоморфизм колец давал отображение между их спектрами.
Множество всех простых идеалов (называемое спектром кольца ) содержит минимальные элементы (называемые минимальными простыми идеалами ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
Сумма двух простых идеалов не обязательно является простой. В качестве примера рассмотрим кольцо с простыми идеалами P = ( x 2 + y 2 − 1) и Q = ( x ) (идеалы, порожденные x 2 + y 2 − 1 и x соответственно). Однако их сумма P + Q = ( x 2 + y 2 − 1, x ) = ( y 2 − 1, x ) не является простой: y 2 − 1 = ( y − 1)( y + 1) ∈ P + Q но два его фактора таковыми не являются. Альтернативно, факторкольцо имеет делители нуля , поэтому оно не является областью целостности и, следовательно, P + Q не может быть простым.
Не всякий идеал, который нельзя разложить на два идеала, является первичным идеалом; например , не может быть факторизован, но не является простым.
В коммутативном кольце R , состоящем не менее чем из двух элементов, если каждый собственный идеал прост, то кольцо является полем. (Если идеал (0) первичен, то кольцо R является областью целостности. Если q — любой ненулевой элемент кольца R и идеал ( q2 ) прост, то он содержит q и тогда q обратим . )
Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом . В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.
Использование
Одно из применений простых идеалов встречается в алгебраической геометрии , где многообразия определяются как нулевые множества идеалов в кольцах полиномов. Оказывается, неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе мы начинаем с произвольного коммутативного кольца и превращаем множество его простых идеалов, также называемое его спектром , в топологическое пространство и, таким образом, можем определить обобщения многообразий, называемых схемами , которые находят приложения не только в геометрии , но и в геометрии. также в теории чисел .
Понятие простого идеала можно обобщить на некоммутативные кольца, используя коммутативное определение «идеально». Вольфганг Крулл выдвинул эту идею в 1928 году. [5] Следующее содержание можно найти в таких текстах, как Гудерл [6] и Лам. [7] Если R — (возможно, некоммутативное) кольцо и P — собственный идеал кольца R , мы говорим, что P является простым, если для любых двух идеалов A и B кольца R :
Если произведение идеалов AB содержится в P , то хотя бы один из идеалов A и B содержится в P.
Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному в коммутативных кольцах. Легко проверить, что если идеал некоммутативного кольца R удовлетворяет коммутативному определению простого числа, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеал P , удовлетворяющий коммутативному определению простого числа, иногда называют полностью простым идеалом , чтобы отличить его от других просто простых идеалов в кольце. Вполне простые идеалы — это простые идеалы, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце матриц размера n × n над полем является простым идеалом, но не является полностью простым.
Это близко к исторической точке зрения на идеалы как на идеальные числа , поскольку для кольца « А содержится в Р » — это еще один способ сказать: « Р делит А », а единичный идеал R представляет единицу.
Эквивалентные формулировки простого идеала P ≠ R включают следующие свойства:
Для всех a и b в R из ( a )( b ) ⊆ P следует, что a ∈ P или b ∈ P.
Для любых двух правых идеалов R AB ⊆ P влечет A ⊆ P или B ⊆ P.
Для любых двух левых идеалов кольца R из AB ⊆ P следует A ⊆ P или B ⊆ P.
Для любых элементов a и b из R , если aRb ⊆ P , то a ∈ P или b ∈ P.
Первичные идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутых дополнений в R , и с небольшими изменениями аналогичную характеристику можно сформулировать для простых идеалов в некоммутативных кольцах. Непустое подмножество S ⊆ R называется m-системой , если для любых a и b из S существует r в R такой, что arb находится в S. [8] Следующий пункт может быть добавлен к приведенному выше списку эквивалентных условий:
Как и в случае с коммутативными кольцами, максимальные идеалы являются простыми, а также простые идеалы содержат минимальные простые идеалы.
Кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является простым идеалом, и, более того, кольцо является областью тогда и только тогда, когда нулевой идеал является вполне первичным идеалом.
Другой факт из коммутативной теории, отраженный в некоммутативной теории, заключается в том, что если A — ненулевой R - модуль , а P — максимальный элемент в частично упорядоченном множестве идеалов -аннуляторов подмодулей A , то P — простое число.
Важные факты
Лемма о простом избегании . Если R — коммутативное кольцо, A — подкольцо (возможно, без единицы) и I 1 , ..., I n — набор идеалов R , в котором не более двух членов не являются простыми, то если A не содержится в любой I j , он также не содержится в объединении I 1 , ..., I n . [9] В частности, A может быть идеалом R .
Если S — любая m-система в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал I в R , максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с S , и, более того, идеал I должен быть простым (простота I может быть доказана следующим образом: если , то существуют такие элементы, что по максимальному свойству I. Теперь, если , то , что является противоречием). [ 4] В случае { S } = {1} мы имеем теорему Крулла , и это восстанавливает максимальные идеалы R. Другой прототип m - системы — это набор { x , x2 , x3 , x4 , ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента .
Для простого идеала P дополнение R ∖ P обладает еще одним свойством, помимо того, что оно является m-системой. Если xy находится в R ∖ P , то и x , и y должны находиться в R ∖ P , поскольку P — идеал. Множество, содержащее делители своих элементов, называется насыщенным .
Для коммутативного кольца R существует своего рода обратное к предыдущему утверждению: если S — любое непустое насыщенное и мультипликативно замкнутое подмножество кольца R , то дополнение R ∖ S является объединением простых идеалов кольца R. [10]
Пересечение членов нисходящей цепочки простых идеалов является простым идеалом, а в коммутативном кольце объединение членов восходящей цепи простых идеалов является простым идеалом . С учетом леммы Цорна из этих наблюдений следует, что ЧУУ простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) имеет максимальные и минимальные элементы.
Подключение к максимуму
Простые идеалы часто могут быть созданы как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:
Идеал, максимальный относительно пустого пересечения с фиксированной m-системой, является простым.
Идеал, максимальный среди аннуляторов подмодулей фиксированного R -модуля M, является простым.
В коммутативном кольце максимальный относительно неглавности идеал является простым. [11]
В коммутативном кольце максимальный относительно несчетно порожденный идеал является простым. [12]
^ Гудерл, Введение в некоммутативные нётеровы кольца
^ Лам, Первый курс некоммутативных колец
^ Очевидно, что мультипликативно замкнутые множества являются m-системами.
^ Основная алгебра Джейкобсона II , с. 390
^ Капланский Коммутативные кольца , с. 2
^ Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 10.
^ Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 11.
дальнейшее чтение
Гудерл, КР; Уорфилд, Р.Б.-младший (2004), Введение в некоммутативные нетеровы кольца , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 61 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xxiv+344, doi : 10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, МР 2080008{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, МР 1009787
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR 0254021.
Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, МР 1838439, Збл 0980.16001
Лам, Тайвань ; Рейес, Мануэль Л. (2008), «Принцип простого идеала в коммутативной алгебре», J. Algebra , 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN 0021-8693, MR 2397420, Збл 1168.13002