Понятие, которое не определено в терминах ранее определенных понятий
В математике , логике , философии и формальных системах примитивное понятие — это понятие, которое не определяется в терминах ранее определенных понятий. Часто оно мотивируется неформально, обычно апелляцией к интуиции и повседневному опыту. В аксиоматической теории отношения между примитивными понятиями ограничиваются аксиомами . [1] Некоторые авторы называют последнее «определяющим» примитивные понятия с помощью одной или нескольких аксиом, но это может вводить в заблуждение. Формальные теории не могут обойтись без примитивных понятий под страхом бесконечного регресса (согласно проблеме регресса ).
Например, в современной геометрии точка , линия и содержит некоторые примитивные понятия. Вместо того, чтобы пытаться определить их, [2] их взаимодействие регулируется (в системе аксиом Гильберта ) такими аксиомами, как «Для каждых двух точек существует линия, которая содержит их обе». [3]
Подробности
Альфред Тарский объяснил роль примитивных понятий следующим образом: [4]
- Когда мы приступаем к построению данной дисциплины, мы выделяем, прежде всего, некоторую небольшую группу выражений этой дисциплины, которые кажутся нам непосредственно понятными; Выражения этой группы мы называем ПРИМИТИВНЫМИ ТЕРМИНАМИ или НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ТЕРМИНАМИ и используем их, не объясняя их значения. В то же время мы принимаем принцип: не употреблять никаких других выражений рассматриваемой дисциплины, если только их значение не будет предварительно определено с помощью примитивных терминов и таких выражений дисциплины, значения которых были объяснены ранее. Предложение, определяющее таким образом значение термина, называется ОПРЕДЕЛЕНИЕМ,...
Неизбежный возврат к примитивным представлениям в теории познания объяснил Гилберт де Б. Робинсон :
- Нематематика часто удивляет тот факт, что невозможно дать явное определение всем используемым терминам. Это не поверхностная проблема, она лежит в основе всего знания; необходимо с чего-то начинать, и чтобы добиться прогресса, необходимо ясно указать те элементы и отношения, которые не определены, и те свойства, которые принимаются как нечто само собой разумеющееся. [5]
Примеры
Необходимость примитивных понятий иллюстрируется несколькими аксиоматическими основаниями математики:
- Теория множеств : Понятие множества является примером примитивного понятия. Как пишет Мэри Тайлз : [6] «Определение» «множества» — это не столько определение, сколько попытка объяснения чего-то, чему придается статус примитивного, неопределенного термина. В качестве доказательства она цитирует Феликса Хаусдорфа : «Набор образуется путем группировки отдельных объектов в целое. Набор — это множество, мыслимое как единое целое».
- Наивная теория множеств : Пустое множество — это примитивное понятие. Утверждать, что оно существует, было бы неявной аксиомой .
- Арифметика Пеано : функция-преемник и число ноль — примитивные понятия. Поскольку арифметика Пеано полезна в отношении свойств чисел, объекты, которые представляют примитивные понятия, могут не иметь строгого значения. [7]
- Арифметика действительных чисел . Обычно примитивными понятиями являются: вещественное число, две двоичные операции : сложение и умножение , числа 0 и 1, упорядочивание <.
- Аксиоматические системы : примитивные понятия будут зависеть от набора аксиом, выбранного для системы. Алессандро Падоа обсуждал этот выбор на Международном философском конгрессе в Париже в 1900 году. [8] Сами понятия, возможно, не обязательно должны быть сформулированы; Сьюзен Хаак (1978) пишет: «Иногда говорят, что набор аксиом дает неявное определение своих примитивных терминов». [9]
- Евклидова геометрия . В системе аксиом Гильберта примитивными понятиями являются точка, линия, плоскость, конгруэнтность, промежуток и инцидентность .
- Евклидова геометрия . В системе аксиом Пеано примитивными понятиями являются точка, сегмент и движение .
Примитивы Рассела
В своей книге по философии математики « Принципы математики» Бертран Рассел использовал следующие понятия: для исчисления классов ( теории множеств ) он использовал отношения , принимая членство во множестве как примитивное понятие. Чтобы установить множества, он также устанавливает пропозициональные функции как примитивные, а также фразу «такой, что», используемую в обозначениях построителя множеств . (стр. 18,9) Что касается отношений, Рассел принимает в качестве примитивных понятий обратное отношение и дополнительное отношение данного xRy . Более того, логические продукты отношений и относительные продукты отношений примитивны. (стр. 25) Что касается обозначения объектов посредством описания, Рассел признает, что здесь задействовано примитивное понятие. (стр. 27) Тезис книги Рассела таков: «Чистая математика использует лишь несколько понятий, и это логические константы». (р XXI)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ В более общем смысле, в формальной системе правила ограничивают использование примитивных понятий. См., например, головоломку MU для нелогической формальной системы.
- ^ Евклид (300 г. до н. э.) все еще давал определения в своих « Началах» , например: «Линия имеет длину без ширины».
- ^ Эту аксиому можно формализовать в логике предикатов как « ∀ x 1 , x 2 ∈ P . ∃ y ∈ L . C ( y , x 1 ) ∧ C ( y , x 2 )», где P , L и C обозначают набор точек, линий и отношение «содержит» соответственно.
- ^ Альфред Тарский (1946) Введение в логику и методологию дедуктивных наук , с. 118, Издательство Оксфордского университета .
- ^ Гилберт де Б. Робинсон (1959) Основы геометрии , 4-е изд., стр. 8, Университет Торонто Пресс
- ^ Мэри Тайлз (2004) Философия теории множеств , с. 99
- ^ Фил Скотт (2008). Механизация основ геометрии Гильберта в «Изабель» (см. ссылку 16, касательно взглядов Гильберта) (магистерская диссертация). Эдинбургский университет. CiteSeerX 10.1.1.218.9262 .
- ^ Алессандро Падоа (1900) «Логическое введение в любую дедуктивную теорию» в Жане ван Хейеноорте (1967) Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, 118–23
- ^ Хаак, Сьюзен (1978), Философия логики , Cambridge University Press , стр. 245, ISBN 9780521293297
