Теория руин

Теория актуарной науки и прикладной вероятности

В актуарной науке и прикладной вероятности теория краха (иногда теория риска ^[1] или теория коллективного риска ) использует математические модели для описания уязвимости страховщика к неплатежеспособности/краху. В таких моделях ключевыми величинами, представляющими интерес, являются вероятность краха, распределение излишка непосредственно перед крахом и дефицит во время краха.

Классическая модель

Пример пути сложного процесса риска Пуассона

Теоретическая основа теории разорения, известная как модель Крамера–Лундберга (или классическая модель сложного пуассоновского риска, классический процесс риска ^[2] или процесс пуассоновского риска) была введена в 1903 году шведским актуарием Филиппом Лундбергом . ^[3] Работа Лундберга была переиздана в 1930-х годах Харальдом Крамером . ^[4]

Модель описывает страховую компанию, которая испытывает два противоположных денежных потока: входящие денежные премии и исходящие претензии. Премии поступают с постоянной ставкой от клиентов, а претензии поступают в соответствии с процессом Пуассона с интенсивностью и являются независимыми и одинаково распределенными неотрицательными случайными величинами с распределением и средним значением (они образуют сложный процесс Пуассона ). Таким образом, для страховщика, который начинает с начального излишка , совокупные активы определяются как: ^[5] ${\textstyle c>0}$ ${\displaystyle N_{t}}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.}$

Центральным объектом модели является исследование вероятности того, что уровень излишка страховщика в конечном итоге упадет ниже нуля (что сделает фирму банкротом). Эта величина, называемая вероятностью окончательного краха, определяется как

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$,

где время разорения с соглашением, что . Это можно вычислить точно, используя формулу Поллачека–Хинчина как ^[6] (функция разорения здесь эквивалентна хвостовой функции стационарного распределения времени ожидания в очереди M/G/1 ^[7] ) ${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

где — преобразование хвостового распределения , ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

и обозначает -кратную свертку . В случае, когда размеры претензий распределены экспоненциально, это упрощается до ^[7] ${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

Модель Спарре Андерсена

Э. Спарре Андерсен расширил классическую модель в 1957 году ^[8], разрешив произвольные функции распределения времени между поступлениями заявок. ^[9]

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,}$

где процесс номера претензии является процессом возобновления и являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Модель также предполагает, что почти наверняка и что и являются независимыми. Модель также известна как модель риска возобновления. ${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \xi _{i}>0}$ ${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

Ожидаемая дисконтированная функция штрафа

Майкл Р. Пауэрс ^[10] и Гербер и Шиу ^[11] проанализировали поведение излишка страховщика через ожидаемую дисконтированную штрафную функцию , которая обычно упоминается как функция Гербера-Шиу в литературе о разорении и названа в честь актуарных ученых Элиаса С. В. Шиу и Ганса-Ульриха Гербера. Можно поспорить, следовало ли называть функцию функцией Пауэрса-Гербера-Шиу из-за вклада Пауэрса. ^[10]

В нотации Пауэрса это определяется как

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$,

где - дисконтирующая сила процента, - общая штрафная функция, отражающая экономические издержки страховщика в момент разорения, а ожидание соответствует вероятностной мере . Функция называется Пауэрсом ожидаемой дисконтированной стоимостью неплатежеспособности. ^[10] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle K_{\tau }}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

В обозначениях Гербера и Шиу это задается как

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$,

где — дисконтирующая сила процента, а — штрафная функция, учитывающая экономические издержки страховщика в момент краха (предполагается, что она зависит от излишка до краха и дефицита при крахе ), а ожидание соответствует вероятностной мере . Здесь индикаторная функция подчеркивает, что штраф применяется только тогда, когда происходит крах. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$ ${\displaystyle X_{\tau -}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$

Интерпретировать ожидаемую дисконтированную штрафную функцию довольно интуитивно. Поскольку функция измеряет актуарную текущую стоимость штрафа, который возникает в , штрафная функция умножается на коэффициент дисконтирования , а затем усредняется по распределению вероятностей времени ожидания до . В то время как Гербер и Шиу ^[11] применили эту функцию к классической модели сложного пуассоновского уравнения, Пауэрс ^[10] утверждал, что излишек страховщика лучше моделируется семейством диффузионных процессов. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

Существует большое разнообразие величин, связанных с разорением, которые попадают в категорию ожидаемой дисконтированной штрафной функции.

Другие финансовые величины, принадлежащие к классу ожидаемой дисконтированной штрафной функции, включают в себя бессрочный американский опцион пут, ^[12] условное требование в оптимальное время исполнения и многое другое.

Последние события

• Модель сложного пуассоновского риска с постоянными процентами
• Модель риска «сложный Пуассон» со стохастическим процентом
• Модель риска броуновского движения
• Общая модель диффузионного процесса
• Марковско-модулированная модель риска
• Калькулятор фактора вероятности несчастного случая (APF) – модель анализа риска (@SBH)

Смотрите также

• Финансовый риск
• Интегральное уравнение Вольтерра § Приложение: Теория руин
• Выбор портфеля с ограничениями по шансам

Ссылки

1. Эмбрехтс, П.; Клюппельберг, К .; Микош, Т. (1997). "1 Теория риска". Моделирование экстремальных событий . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. Том 33. стр. 21. doi :10.1007/978-3-642-33483-2_2. ISBN 978-3-540-60931-5.
2. Delbaen, F.; Haezendonck, J. (1987). "Классическая теория риска в экономической среде". Страхование: Математика и экономика . 6 (2): 85. doi :10.1016/0167-6687(87)90019-9.
3. Лундберг, Ф. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Уппсала.
4. Блом, Г. (1987). «Харальд Крамер 1893-1985». Анналы статистики . 15 (4): 1335–1350. doi : 10.1214/aos/1176350596 . JSTOR  2241677.
5. Киприану, А.Е. (2006). «Процессы Леви и их применение». Вводные лекции по флуктуациям процессов Леви с применением . Springer Berlin Heidelberg. стр. 1–32. doi :10.1007/978-3-540-31343-4_1. ISBN 978-3-540-31342-7.
6. Гузак, Мильенко; Перман, Михаэль; Шикич, Хрвое; Вондрачек, Зоран (2004). «Вероятность банкротства для конкурирующих процессов претензий». Журнал прикладной вероятности . 41 (3). Прикладное вероятностное доверие : 679–690. дои : 10.1239/яп/1091543418. JSTOR  4141346. S2CID  14499808.
7. Rolski, Tomasz; Schmidli, Hanspeter; Schmidt, Volker; Teugels, Jozef (2008). "Процессы риска". Стохастические процессы в страховании и финансах . Wiley Series in Probability and Statistics. стр. 147–204. doi :10.1002/9780470317044.ch5. ISBN 9780470317044.
8. Андерсен, Э. Спарре. «О коллективной теории риска в случае заражения между претензиями». Труды XV Международного конгресса актуариев . Т. 2. № 6. 1957.
9. Торин, Олоф. «Некоторые комментарии к модели Спарре-Андерсена в теории риска» Бюллетень ASTIN: международный журнал актуарных исследований в области страхования, не связанного со страхованием жизни, и теории риска (1974): 104.
10. Powers, MR (1995). «Теория риска, доходности и платежеспособности». Страхование: Математика и экономика . 17 (2): 101–118. doi :10.1016/0167-6687(95)00006-E.
11. Gerber, HU; Shiu, ESW (1998). «О временной стоимости разорения». North American Actuarial Journal . 2 : 48–72. doi : 10.1080/10920277.1998.10595671. S2CID  59054002.
12. Gerber, HU; Shiu, ESW (1997). "От теории разорения к ценообразованию опционов" (PDF) . Коллоквиум AFIR, Кэрнс, Австралия, 1997 .

Дальнейшее чтение

• Gerber, HU (1979). Введение в математическую теорию риска . Филадельфия: Серия монографий Фонда SS Heubner, 8.
• Асмуссен С., Альбрехер Х. (2010). Вероятности разорения, 2-е издание . Сингапур: World Scientific Publishing Co.