Правильная карта

Отображение топологических пространств со свойством, что прообраз каждого компакта компактен.

В математике функция между топологическими пространствами называется собственной , если прообразы компактных подмножеств компактны. ^[1] В алгебраической геометрии аналогичное понятие называется собственным морфизмом .

Определение

Существует несколько конкурирующих определений «правильной функции ». Некоторые авторы называют функцию между двумя топологическими пространствами собственной , если прообраз каждого компакта в компактен. Другие авторы называют отображение правильным , если оно непрерывно и замкнуто с компактными слоями ; то есть, если это непрерывное замкнутое отображение и прообраз каждой точки в нем компактен . Эти два определения эквивалентны, если локально компактен и хаусдорфов . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Если хаусдорфов и локально компактен, то собственный эквивалентен универсально замкнутому . Отображение называется универсально замкнутым, если для любого топологического пространства оно замкнуто. В случае Хаусдорфа это эквивалентно требованию, чтобы для любого отображения обратный образ был замкнутым, как следует из того факта, что это замкнутое подпространство в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle X\times Z.}$

Эквивалентное, возможно, более интуитивное определение, когда и являются метрическими пространствами, состоит в следующем: мы говорим, что бесконечная последовательность точек в топологическом пространстве убегает на бесконечность , если для каждого компактного множества находится только конечное число точек . Тогда непрерывное отображение является правильным, если и только если для каждой последовательности точек , уходящей в бесконечность в последовательности, уходящей в бесконечность в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Характеристики

• Всякое непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство является одновременно собственным и замкнутым .
• Всякое сюръективное собственное отображение является компактным накрывающим отображением.
  • Отображение называется компактным накрытием , если для любого компактного подмножества существует такое компактное подмножество, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle f(C)=K.}$
• Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда отображение этого пространства в одну точку является правильным.
• Если — собственное непрерывное отображение и компактно порождённое хаусдорфово пространство ( сюда входят хаусдорфовы пространства, которые либо счетны , либо локально компактны ), то замкнуто. ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Обобщение

Понятие собственных отображений топологических пространств можно обобщить на локали и топосы , см. (Johnstone 2002).

Смотрите также

• Почти открытая карта  — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
• Открытые и закрытые карты  — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.
• Совершенное отображение  - непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый слой которого также является компактным множеством.
• Глоссарий топологии  - Глоссарий математикиPages displaying short descriptions of redirect targets

Цитаты

1. Ли 2012, с. 610, выше Положение А.53.
2. Пале, Ричард С. (1970). «Когда правильные карты закрыты». Труды Американского математического общества . 24 (4): 835–836. дои : 10.1090/s0002-9939-1970-0254818-x . МР  0254818.

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1998). Общая топология. Главы 5–10 . Элементы математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64563-4. МР  1726872.
• Джонстон, Питер (2002). Зарисовки слона: сборник теории топоса . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851598-7., особ. раздел С3.2 «Правильные карты»
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Северная Каролина: Книжный поток . ISBN 1-4196-2722-8., особ. п. 90 «Правильные карты» и упражнения к разделу 3.6.
• Браун, Рональд (1973). «Секвенциально правильные отображения и секвенциальная компактификация». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 7 (3): 515–522. дои : 10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 218 (Второе изд.). Нью-Йорк Лондон: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771.