q-аналоговый

Тип математического обобщения, при котором исходная версия является пределом при приближении q к 1.

В математике q -аналог теоремы , тождества или выражения — это обобщение, включающее новый параметр q , который возвращает исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q → 1 . Обычно математиков интересуют q -аналоги, возникающие естественным путем, а не произвольно придуманные q -аналоги известных результатов. Самым ранним подробно изученным q -аналогом является базовый гипергеометрический ряд , который был введен в XIX веке. ^[1]

q -аналоги чаще всего изучаются в математических областях комбинаторики и специальных функций . В этих условиях предел q → 1 часто является формальным, поскольку q часто имеет дискретное значение (например, оно может представлять степень простого числа ).q -аналоги находят применение в ряде областей, включая изучение фракталов и мультифрактальных мер, а также выражений для энтропии хаотических динамических систем . Связь с фракталами и динамическими системами обусловлена ​​тем, что многие фрактальные узоры обладают симметрией фуксовых групп вообще (см., например, жемчуг Индры и аполлоническую прокладку ) и модулярной группы в частности. Связь проходит через гиперболическую геометрию и эргодическую теорию , где выдающуюся роль играют эллиптические интегралы и модулярные формы ; сами q -ряды тесно связаны с эллиптическими интегралами .

q -аналоги появляются также при изучении квантовых групп и в q -деформированных супералгебрах . Связь здесь аналогична, поскольку большая часть теории струн изложена на языке римановых поверхностей , что приводит к связям с эллиптическими кривыми , которые, в свою очередь, относятся к q -рядам.

«Классическая» q -теория

Классическая q -теория начинается с q -аналогов целых неотрицательных чисел. ^[2] Равенство

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

предполагает, что мы определяем q -аналог n , также известный как q -скобка или q -число n , как

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

Сам по себе выбор именно этого q -аналога среди множества возможных вариантов немотивирован. Однако оно естественным образом проявляется в нескольких контекстах. Например, решив использовать [ n ] _q в качестве q -аналога n , можно определить q - аналог факториала , известный как q -факториал , по формуле

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

Этот q -аналог естественным образом появляется в нескольких контекстах. Примечательно, что в то время как n ! подсчитывает количество перестановок длины n , [ n ] _q ! подсчитывает перестановки, отслеживая при этом количество инверсий . То есть, если inv( w ) обозначает количество инверсий перестановки w , а Sn _{обозначает} множество перестановок длины n , мы имеем

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}$

В частности, можно восстановить обычный факториал, приняв предел за . ${\displaystyle q\rightarrow 1}$

q - факториал также имеет краткое определение в терминах символа q -похгаммера , основного строительного блока всех q -теорий:

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов , также известных как коэффициенты Гаусса, полиномы Гаусса или биномиальные коэффициенты Гаусса :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

q - экспонента определяется как:

${\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

В этом контексте были определены q -тригонометрические функции вместе с q -преобразованием Фурье.

Комбинаторные q -аналоги

Коэффициенты Гаусса подсчитывают подпространства конечного векторного пространства . Пусть q — число элементов в конечном поле . (Тогда число q является степенью простого числа , q = p ^e , поэтому использование буквы q особенно уместно.) Тогда количество k -мерных подпространств n -мерного векторного пространства над полем q -элемента равно

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

Приближая q к 1, мы получаем биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$

или, другими словами, количество подмножеств из k -элементов в наборе из n -элементов.

Таким образом, конечное векторное пространство можно рассматривать как q -обобщение множества, а подпространства — как q -обобщение подмножеств этого множества. Это была плодотворная точка зрения в поиске новых интересных теорем. Например, существуют q -аналоги теоремы Спернера и теории Рамсея . ^{[ нужна цитата ]}

Циклическое просеивание

Пусть q = ( e ^{2 π i / n} ) ^d — d -я степень примитивного корня n -й степени из единицы. Пусть C — циклическая группа порядка n, порожденная элементом c . Пусть X — множество k -элементных подмножеств n -элементного множества {1, 2, ..., n }. Группа C имеет каноническое действие на X , заданное отправкой c в циклическую перестановку (1, 2, ..., n ). Тогда число неподвижных точек c ^d на X равно

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

д → 1

И наоборот, позволяя q изменяться и рассматривая q -аналоги как деформации, можно рассматривать комбинаторный случай q  = 1 как предел q -аналогов при q  → 1 (часто нельзя просто указать q  = 1 в формулах, следовательно, нужно брать лимит).

Это можно формализовать в поле с одним элементом , что восстанавливает комбинаторику как линейную алгебру над полем с одним элементом: например, группы Вейля — это простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

Приложения в физических науках

q -аналоги часто встречаются в точных решениях задач многих тел. ^{[ нужна цитата ]} В таких случаях предел q → 1 обычно соответствует относительно простой динамике, например, без нелинейных взаимодействий, тогда как q <1 дает представление о сложном нелинейном режиме с обратными связями.

Примером из атомной физики является модель образования молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного атомного газа при прохождении внешнего магнитного поля через резонанс Фешбаха . ^[3] Этот процесс описывается моделью с q -деформированной версией SU(2)-алгебры операторов, а его решение описывается q -деформированными экспоненциальным и биномиальным распределениями.

Смотрите также

• Список q -аналогов
• Число Стирлинга
• Молодая картина

Рекомендации

• Эндрюс, Дж. Е. , Аски, Р. А. и Рой, Р. (1999), Специальные функции , издательство Кембриджского университета, Кембридж.
• Гаспер, Г. и Рахман, М. (2004), Базовая гипергеометрическая серия , издательство Кембриджского университета, ISBN  0521833574 .
• Исмаил, МЭ (2005), Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной , Издательство Кембриджского университета.
• Кукук Р. и Сварттоу Р.Ф. (1998), Схема Аски гипергеометрических ортогональных полиномов и ее q-аналог , 98-17, Делфтский технологический университет, факультет информационных технологий и систем, факультет технической математики и информатики.

1. Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
2. Эрнст, Томас (2003). «Метод q-исчисления» (PDF) . Журнал нелинейной математической физики . 10 (4): 487–525. Бибкод : 2003JNMP...10..487E. дои : 10.2991/jnmp.2003.10.4.5 . Проверено 27 июля 2011 г.
3. К. Солнце; Н.А. Синицын (2016). «Расширение Ландау-Зинера модели Тэвиса-Каммингса: структура решения». Физ. Преподобный А. 94 (3): 033808. arXiv : 1606.08430 . Бибкод : 2016PhRvA..94c3808S. doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808.

Внешние ссылки

• «Теневое исчисление», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• q-аналог из MathWorld
• q-скобка из MathWorld
• q-факториал из MathWorld
• q-биномиальный коэффициент из MathWorld