Радикал целого числа

В теории чисел радикал натурального числа n определяется как произведение различных простых чисел , делящих n . Каждый простой множитель числа n встречается ровно один раз как множитель этого произведения:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

Радикал играет центральную роль в формулировке гипотезы abc . ^[1]

Примеры

Радикальные числа для первых нескольких положительных целых чисел равны

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (последовательность A007947 в OEIS ).

Например,

$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

и поэтому

$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

Характеристики

Функция мультипликативна (но не полностью мультипликативна ) . ${\displaystyle \mathrm {rad} }$

Радикал любого целого числа является наибольшим бесквадратным делителем и поэтому также описывается как бесквадратное ядро ​​. ^[2] Не существует известного алгоритма с полиномиальным временем для вычисления свободной от квадратов части целого числа. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Определение обобщается на случай наибольшего -свободного делителя , , которые являются мультипликативными функциями, действующими на простые степени как ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

Случаи и сведены в таблицы OEIS : A007948 и OEIS : A058035 . ${\displaystyle t=3}$ ${\displaystyle t=4}$

Понятие радикала встречается в гипотезе abc , которая утверждает, что для любого существует конечное число такое, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел , , и удовлетворяющих , ^[1] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

Для любого целого числа все нильпотентные элементы конечного кольца кратны . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$

Серия Дирихле — это

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

Рекомендации

1. Гауэрс, Тимоти (2008). «V.1 Гипотеза ABC». Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. п. 681.
2. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007947». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
3. Адлеман, Леонард М .; МакКерли, Кевин С. «Открытые проблемы теоретико-числовой сложности, II». Алгоритмическая теория чисел: Первый международный симпозиум, ANTS-I Итака, Нью-Йорк, США, 6–9 мая 1994 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 877. Спрингер. стр. 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877 . дои : 10.1007/3-540-58691-1_70. МР  1322733.