Рационализация (математика)

Извлечение квадратных корней из знаменателей

В элементарной алгебре рационализация корня (или рационализация ) — это процесс, посредством которого исключаются радикалы в знаменателе алгебраической дроби .

Если знаменатель является одночленом в некотором радикале, скажем, с k < n , рационализация состоит в умножении числителя и знаменателя на и замене на x (это допускается, так как, по определению, корень n-й степени из x — это число, имеющее x в n- й степени). Если k ≥ n , то записывается k = qn + r с 0 ≤ r < n ( евклидово деление ), а затем выполняется действие, как указано выше, путем умножения на ${\displaystyle a{\sqrt[{n}]{x}}^{k},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{n-k},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{k}=x^{q}{\sqrt[{n}]{x}}^{r};}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{n-r}.}$

Если знаменатель линеен относительно некоторого квадратного корня, то рационализация состоит из умножения числителя и знаменателя на и раскрытия произведения в знаменателе. ${\displaystyle a+b{\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle a-b{\sqrt {x}},}$

Эту технику можно распространить на любой алгебраический знаменатель, умножив числитель и знаменатель на все алгебраические сопряжения знаменателя и расширив новый знаменатель до нормы старого знаменателя. Однако, за исключением особых случаев, полученные дроби могут иметь огромные числители и знаменатели, и поэтому эта техника обычно используется только в указанных выше элементарных случаях.

Рационализация квадратного корня и кубического корня монома

Для фундаментального метода числитель и знаменатель необходимо умножить на один и тот же коэффициент.

Пример 1:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}}$

Чтобы рационализировать этот вид выражения , введем фактор : ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}={\frac {10}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}}$

Квадратный корень исчезает из знаменателя, поскольку по определению квадратного корня: ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}\right)^{2}=5}$

${\displaystyle {\frac {10{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{5}}=2{\sqrt {5}},}$

что является результатом рационализации.

Пример 2:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}}$

Чтобы рационализировать этот радикал, введем фактор : ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}}$

Кубический корень исчезает из знаменателя, потому что он возведен в куб; поэтому

${\displaystyle {\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{a}},}$

что является результатом рационализации.

Работа с большим количеством квадратных корней

Для знаменателя это:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}\,}$

Рационализации можно достичь путем умножения на сопряженное число :

${\displaystyle {\sqrt {2}}\mp {\sqrt {3}}\,}$

и применяя разность двух квадратов тождества, что здесь даст −1. Чтобы получить этот результат, всю дробь следует умножить на

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}=1.}$

Этот метод работает гораздо более широко. Его можно легко адаптировать для удаления одного квадратного корня за раз, т.е. для рационализации

${\displaystyle x\pm {\sqrt {y}}\,}$

умножением на

${\displaystyle x\mp {\sqrt {y}}}$

Пример:

${\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}\pm {\sqrt {5}}}}}$

Дробь необходимо умножить на частное, содержащее . ${\displaystyle {{\sqrt {3}}\mp {\sqrt {5}}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}}$

Теперь мы можем приступить к удалению квадратных корней в знаменателе:

${\displaystyle {\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{3-5}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{-2}}}$

Пример 2:

Этот процесс также работает с комплексными числами с ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\frac {7}{1\pm {\sqrt {-5}}}}}$

Дробь необходимо умножить на частное, содержащее . ${\displaystyle {1\mp {\sqrt {-5}}}}$

${\displaystyle {\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}}$

Обобщения

Рационализацию можно распространить на все алгебраические числа и алгебраические функции (как применение норменных форм ). Например, для рационализации кубического корня следует использовать два линейных множителя, включающих кубические корни из единицы , или, что эквивалентно, квадратичный множитель.

Ссылки

Этот материал содержится в классических текстах по алгебре. Например:

• Джордж Кристал , «Введение в алгебру: для использования в средних школах и технических колледжах» — текст девятнадцатого века, первое издание 1889 г., в печати ( ISBN  1402159072 ); пример трехчлена с квадратными корнями находится на стр. 256, а общая теория рационализирующих множителей для иррациональных чисел — на стр. 189–199.