Теорема Вигнера

Теорема в математической формулировке квантовой механики

EP Wigner (1902–1995), ForMemRS , первым доказал теорему, носящую его имя. Это был ключевой шаг к современной схеме классификации типов частиц, согласно которой типы частиц частично характеризуются тем, какое представление группы Лоренца при этом преобразуется. Группа Лоренца является группой симметрии каждой релятивистской квантовой теории поля . Ранние работы Вигнера заложили основу для того, что многие физики стали называть болезнью теории групп ^[1] в квантовой механике — или, как выразился Герман Вейль (соответствующий) в своей работе «Теория групп и квантовая механика» (предисловие ко 2-му изданию): «Ходят слухи, что вредитель групп постепенно вытесняется из квантовой механики. Это, конечно, неправда…»

Теорема Вигнера , доказанная Юджином Вигнером в 1931 году, ^[2] является краеугольным камнем математической формулировки квантовой механики . Теорема определяет, как физические симметрии , такие как вращения , трансляции и преобразования CPT, представлены в гильбертовом пространстве состояний .

Физические состояния в квантовой теории представлены единичными векторами в гильбертовом пространстве с точностью до фазового множителя, т. е. комплексной прямой или лучом , охватываемым вектором. Кроме того, по правилу Борна абсолютное значение внутреннего произведения единичного вектора с единичным собственным вектором или, что эквивалентно, квадрат косинуса угла между прямыми, охватываемыми векторами, соответствует вероятности перехода. Лучевое пространство , в математике известное как проективное гильбертово пространство , является пространством всех единичных векторов в гильбертовом пространстве с точностью до отношения эквивалентности, отличающегося на фазовый множитель. По теореме Вигнера любое преобразование лучевого пространства, сохраняющее абсолютное значение внутренних произведений, может быть представлено унитарным или антиунитарным преобразованием гильбертова пространства, которое является уникальным с точностью до фазового множителя. Как следствие, представление группы симметрии в лучевом пространстве может быть поднято до проективного представления или иногда даже до обычного представления в гильбертовом пространстве.

Лучи и лучевое пространство

Это постулат квантовой механики , что векторы состояния в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве , которые являются скалярными ненулевыми кратными друг другу, представляют одно и то же чистое состояние , т.е. векторы и , при этом представляют одно и то же состояние. ^[3] Умножая векторы состояния на фазовый множитель , получаем набор векторов, называемых лучом ^{[4] [5]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda \Psi }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\}.}$

Два ненулевых вектора определяют один и тот же луч, тогда и только тогда, когда они отличаются некоторым ненулевым комплексным числом: . В качестве альтернативы, мы можем рассматривать луч как набор векторов с нормой 1, единичный луч , пересекающий линию с единичной сферой ^[6] ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

${\displaystyle SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}}$.

Два единичных вектора тогда определяют один и тот же единичный луч , если они отличаются на фазовый множитель: . Это более обычная картина в физике. Набор лучей находится во взаимно однозначном соответствии с набором единичных лучей, и мы можем их идентифицировать. Существует также взаимно однозначное соответствие между физическими чистыми состояниями и (единичными) лучами, заданное как ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}=e^{i\alpha }\Psi _{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$

${\displaystyle \rho =P_{\Phi }={\frac {|\Phi \rangle \langle \Phi |}{\langle \Phi |\Phi \rangle }}}$

где - ортогональная проекция на линию . В любой интерпретации, если или , то является представителем . [ ^{nb 1]} ${\displaystyle P_{\Phi }}$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle P_{\Phi }=P_{\Psi }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

Пространство всех лучей — это проективное гильбертово пространство, называемое лучевым пространством . ^[7] Его можно определить несколькими способами. Можно определить отношение эквивалентности на с помощью ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle H\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \Psi \sim \Phi \Leftrightarrow \Psi =\lambda \Phi ,\quad \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

и определим лучевое пространство как фактор-множество

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }}$.

В качестве альтернативы, для отношения эквивалентности на сфере единичное лучевое пространство является воплощением лучевого пространства, определяемого (без каких-либо обозначений, отличающих его от лучевого пространства) как множество классов эквивалентности ${\displaystyle SH}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=SH/\sim }$.

Третье эквивалентное определение лучевого пространства — это чистое лучевое пространство состояний , т.е. матрицы плотности , которые являются ортогональными проекциями ранга 1 ^{[ необходимо разъяснение ]}

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}}$.

Если n -мерно, т.е. , то изоморфно комплексному проективному пространству . Например , ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{n}:=H}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \lambda _{1}|+\rangle +\lambda _{2}|-\rangle ,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$

генерируют точки на сфере Блоха ; изоморфной сфере Римана . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

Пространство лучей (т.е. проективное пространство ) не является векторным пространством, а скорее набором векторных линий (векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве размерности n + 1. Например, для каждых двух векторов и отношения комплексных чисел (т.е. элемента ) существует хорошо определенный луч . Таким образом, для различных лучей (т.е. линейно независимых линий) существует проективная линия лучей вида в : все 1-мерные комплексные линии в 2-мерной комплексной плоскости, натянутой на и . Однако, в отличие от случая векторных пространств, независимого охватывающего множества недостаточно для определения координат (см.: проективная рамка ). ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1}:\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{1},{\underline {\Psi }}_{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$ ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$

Структура пространства Гильберта определяет дополнительную структуру в пространстве лучей. Определить корреляцию лучей (или произведение лучей ) ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}={\frac {\left|\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle \right|}{\|\Phi \|\|\Psi \|}}={\sqrt {\mathrm {tr} (P_{\Psi }P_{\Phi })}},}$

где — внутренний продукт гильбертова пространства , а — представители и . Обратите внимание, что правая часть не зависит от выбора представителей. Физическое значение этого определения состоит в том, что согласно правилу Борна , другому постулату квантовой механики, вероятности перехода между нормированными состояниями и в гильбертовом пространстве определяются как ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$ ${\displaystyle \Psi ,\Phi }$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle P(\Psi \rightarrow \Phi )=|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}}$

т.е. мы можем определить правило Борна в лучевом пространстве следующим образом.

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\to {\underline {\Phi }}):=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}.}$

Геометрически мы можем определить угол между прямыми и с помощью . Тогда оказывается, что угол удовлетворяет неравенству треугольника и определяет метрическую структуру на пространстве лучей, которая происходит из римановой метрики, метрики Фубини-Штуди . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )=({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }})}$

Симметричные преобразования

Грубо говоря, преобразование симметрии — это изменение, при котором «ничего не происходит» ^[8] или «изменение нашей точки зрения» ^[9] , которое не меняет результаты возможных экспериментов. Например, перевод системы в однородной среде не должен иметь качественного эффекта на результаты экспериментов, проводимых над системой. Аналогично и для вращения системы в изотропной среде. Это становится еще яснее, если рассмотреть математически эквивалентные пассивные преобразования , то есть просто изменения координат и оставить систему в покое. Обычно гильбертовы пространства домена и диапазона совпадают. Исключением будет (в нерелятивистской теории) гильбертово пространство электронных состояний, которое подвергается преобразованию сопряжения зарядов . В этом случае электронные состояния отображаются в гильбертово пространство позитронных состояний и наоборот. Однако это означает, что симметрия действует на прямую сумму гильбертовых пространств.

Преобразование физической системы есть преобразование состояний, следовательно, математически преобразование не гильбертова пространства, а его лучевого пространства. Следовательно, в квантовой механике преобразование физической системы приводит к биективному лучевому преобразованию ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (H)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto T{\underline {\Psi }}.\\\end{aligned}}}$

Поскольку композиция двух физических преобразований и обращение физического преобразования также являются физическими преобразованиями, множество всех полученных таким образом лучевых преобразований представляет собой группу , действующую на . Однако не все биекции допустимы как преобразования симметрии. Физические преобразования должны сохранять правило Борна. ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$

При физическом преобразовании вероятности переходов в преобразованной и непреобразованной системах должны сохраняться:

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\rightarrow {\underline {\Phi }})=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right)^{2}=P\left(T\Psi \rightarrow T\Phi \right)}$

Биективное лучевое преобразование называется преобразованием симметрии тогда и только тогда ^[10] : . Геометрическая интерпретация состоит в том, что преобразование симметрии является изометрией лучевого пространства. ${\displaystyle \mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)}$

Некоторые факты о преобразованиях симметрии, которые можно проверить с помощью определения:

• Произведение двух преобразований симметрии, т.е. двух преобразований симметрии, примененных последовательно, является преобразованием симметрии.
• Любое преобразование симметрии имеет обратное.
• Тождественное преобразование является преобразованием симметрии.
• Умножение преобразований симметрии ассоциативно.

Набор преобразований симметрии, таким образом, образует группу , группу симметрии системы. Некоторые важные часто встречающиеся подгруппы в группе симметрии системы являются реализациями

• Симметрическая группа с ее подгруппами. Это важно при обмене метками частиц.
• Группа Пуанкаре . Она кодирует фундаментальные симметрии пространства-времени [ NB: симметрия определена выше как отображение на лучевом пространстве, описывающее данную систему, понятие симметрии пространства-времени не было определено и не является ясным ].
• Группы внутренней симметрии, такие как SU(2) и SU(3) . Они описывают так называемые внутренние симметрии , такие как изоспин и цветовой заряд, свойственные квантово-механическим системам.

Эти группы также называются группами симметрии системы.

Формулировка теоремы Вигнера

Предварительные

Для формулировки теоремы необходимы некоторые предварительные определения. Преобразование между гильбертовыми пространствами является унитарным, если оно биективно и ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle \langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$

Если то сводится к унитарному оператору , обратный которому равен своему сопряженному . ${\displaystyle H=K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$

Аналогично, преобразование является антиунитарным, если оно биективно и ${\displaystyle A:H\to K}$

${\displaystyle \langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .}$

Дано унитарное преобразование между пространствами Гильберта, определим ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{U}:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (K)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }}\\\end{aligned}}}$

Это преобразование симметрии, поскольку $${\displaystyle T_{U}{\underline {\Psi }}\cdot T_{U}{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.}$$

Точно так же антиунитарное преобразование между гильбертовыми пространствами индуцирует преобразование симметрии. Говорят, что преобразование между гильбертовыми пространствами совместимо с преобразованием между лучевыми пространствами, если или эквивалентно ${\displaystyle U:H\to K}$ ${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)}$ ${\displaystyle T=T_{U}}$

${\displaystyle U\Psi \in T{\underline {\Psi }}}$

для всех . ^[11] ${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$

Заявление

Теорема Вигнера утверждает обратное утверждение: ^[12]

Теорема Вигнера (1931)  —  Если и являются гильбертовыми пространствами и если является преобразованием симметрии, то существует унитарное или антиунитарное преобразование , которое совместимо с . Если , является либо унитарным, либо антиунитарным. Если (и и состоят из одной точки), все унитарные преобразования и все антиунитарные преобразования совместимы с . Если и оба совместимы с , то для некоторого ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)}$$ ${\displaystyle V:H\to K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim(H)\geq 2}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(H)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (K)}$ ${\displaystyle U:H\to K}$ ${\displaystyle A:H\to K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V_{1}=e^{i\alpha }V_{2}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Доказательства можно найти у Вигнера (1931, 1959), Баргмана (1964) и Вайнберга (2002). Антиунитарные преобразования менее заметны в физике. Все они связаны с изменением направления течения времени на противоположное. ^[13]

Замечание 1 : Значение части теоремы об уникальности состоит в том, что она определяет степень уникальности представления на . Например, можно было бы подумать, что ${\displaystyle H}$

${\displaystyle V\Psi =Ue^{i\alpha (\Psi )}\Psi ,\alpha (\Psi )\in \mathbb {R} ,\Psi \in H\quad ({\text{wrong unless }}\alpha (\Psi ){\text{ is const.}})}$

было бы допустимо, с условием для , но это не так согласно теореме. ^{[nb 2] [14]} Фактически такое не было бы аддитивным. ${\displaystyle \alpha (\Psi )\neq \alpha (\Phi )}$ ${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle =0}$ ${\displaystyle V}$

Замечание 2 : То, должно ли быть представлено унитарным или антиунитарным оператором, определяется топологией. Если , вторая когомология имеет единственный генератор, такой что для (эквивалентно для каждой) комплексной проективной прямой , имеем . Поскольку является гомеоморфизмом, также порождает и поэтому мы имеем . Если является унитарным, то в то время как если является антилинейным, то . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$ ${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} H}$ ${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$ ${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}=\pm c_{\mathbb {P} H}}$ ${\displaystyle U:H\to K}$ ${\displaystyle T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}}$ ${\displaystyle A:H\to K}$ ${\displaystyle T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}}$

Замечание 3 : Теорема Вигнера тесно связана с основной теоремой проективной геометрии ^[15]

Представления и проективные представления

Если G является группой симметрии (в этом последнем смысле, будучи вложенной как подгруппа группы симметрии системы, действующей в лучевом пространстве), и если f , g , h ∈ G с fg = h , то

${\displaystyle T(f)T(g)=T(h),}$

где T — лучевые преобразования. Из части теоремы Вигнера, касающейся единственности, для совместимых представителей U имеем :

${\displaystyle U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),}$

где ω ( f , g ) — фазовый множитель. ^{[nb 3]}

Функция ω называется 2 -коциклом или множителем Шура . Отображение U : G → GL( V ), удовлетворяющее указанному выше соотношению для некоторого векторного пространства V, называется проективным представлением или лучевым представлением . Если ω ( f , g ) = 1 , то оно называется представлением .

Следует отметить, что терминология в математике и физике различается. В связанной статье термин проективное представление имеет немного иное значение, но термин, представленный здесь, входит как ингредиент, и математика per se, конечно, та же самая. Если реализация группы симметрии g → T ( g ) , задана в терминах действия на пространстве единичных лучей S = PH , то это проективное представление G → PGL( H ) в математическом смысле, тогда как его представитель в гильбертовом пространстве является проективным представлением G → GL( H ) в физическом смысле.

Применяя последнее соотношение (несколько раз) к произведению fgh и апеллируя к известной ассоциативности умножения операторов на H , находим

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}}$

Они также удовлетворяют

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g).\\\end{aligned}}}$

После переопределения фаз,

${\displaystyle U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),}$

что допускается последней теоремой, можно найти ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}}$

где шляпные величины определяются как

${\displaystyle {\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).}$

Полезность фазовой свободы

Следующие довольно технические теоремы и многие другие с доступными доказательствами можно найти в работе Баргмана (1954).

Свобода выбора фаз может быть использована для упрощения фазовых множителей. Для некоторых групп фазу можно вообще исключить.

Теорема  —  Если G полупрост и односвязен, то возможно ω ( g , h ) = 1. ^[18]

В случае группы Лоренца и ее подгруппы группы вращений SO(3) фазы для проективных представлений можно выбрать так, что ω ( g , h ) = ± 1. Для их соответствующих универсальных накрывающих групп SL (2,C) и Spin(3) согласно теореме возможно иметь ω ( g , h ) = 1 , т.е. они являются собственными представлениями.

Изучение переопределения фаз включает групповые когомологии . Две функции, связанные как версии ω со шляпкой и без шляпки, называются когомологичными . Они принадлежат к одному и тому же второму классу когомологий , т. е . они представлены одним и тем же элементом в H ² ( G ) , второй группе когомологий G . Если элемент H ² ( G ) содержит тривиальную функцию ω = 0 , то он называется тривиальным . ^[17] Тему можно изучать на уровне алгебр Ли и когомологий алгебр Ли . ^{[19] [20]}

Предполагая, что проективное представление g → T ( g ) слабо непрерывно, можно сформулировать две соответствующие теоремы. Непосредственным следствием (слабой) непрерывности является то, что компонент тождества представлен унитарными операторами. ^{[nb 4]}

Теорема: (Вигнер 1939)  —  Фазовая свобода может быть использована таким образом, что в некоторой окрестности единицы отображение g → U ( g ) будет сильно непрерывным. ^[21]

Теорема (Баргманн)  —  В достаточно малой окрестности e выбор ω ( g ₁ , g ₂ ) ≡ 1 возможен для полупростых групп Ли (таких как SO( n ) , SO(3,1) и аффинных линейных групп (в частности, группы Пуанкаре). Точнее, это как раз тот случай, когда вторая группа когомологий H ² ( g , R ) алгебры Ли g группы G тривиальна. ^[21]

Модификации и обобщения

Теорема Вигнера применима к автоморфизмам в гильбертовом пространстве чистых состояний. Теоремы Кадисона ^[22] и Саймона ^[23] применимы к пространству смешанных состояний (положительные операторы следового класса) и используют немного иные понятия симметрии. ^{[24] [25]}

Смотрите также

• Физика элементарных частиц и теория представлений

Замечания

1. Здесь возможность правил суперотбора игнорируется. Может быть так, что система не может быть приготовлена ​​в определенных состояниях. Например, суперпозиция состояний с разным спином обычно считается невозможной. Аналогично, состояния, являющиеся суперпозициями состояний с разным зарядом, считаются невозможными. Незначительные осложнения, вызванные этими проблемами, рассматриваются в Bogoliubov, Logunov & Todorov (1975)
2. Из этого правила есть исключение. Если действует правило суперотбора, то фаза может зависеть от того, в каком секторе находится элемент , см. Weinberg 2002, стр. 53 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Psi }$
3. Опять же есть исключение. Если действует правило суперотбора, то фаза может зависеть от того, в каком секторе H h находится, на который действуют операторы, см. Weinberg 2002, стр. 53
4. Это становится правдоподобным следующим образом. В открытой окрестности в окрестности тождества все операторы могут быть выражены как квадраты. Является ли оператор унитарным или антиунитарным, его квадрат унитарен. Следовательно, они все унитарны в достаточно малой окрестности. Такая окрестность порождает тождество.

Примечания

1. Зейтц, Фогт и Вайнберг 2000
2. Wigner 1931, стр. 251–254 (на немецком языке),
   Wigner 1959, стр. 233–236 (английский перевод).
3. Бойерле и де Керф 1990, с. 330.
4. Вайнберг 2002, стр. 49.
5. Бауэрле и де Керф 1990, с. 341.
6. Саймон и др. 2008
7. Страница 1987.
8. Бойерле и де Керф 1990.
9. Вайнберг 2002, стр. 50
10. Бойерле и де Керф 1990, с. 342.
11. Баргманн 1964.
12. Бауэрле и де Керф 1990, с. 343.
13. Вайнберг 2002, стр. 51
14. Bäuerle & de Kerf 1990, стр. 330 Это утверждается, но не доказано.
15. Форе 2002
16. Bäuerle & de Kerf 1990, стр. 346 В этой формуле в книге есть ошибка.
17. Weinberg 2002, стр. 82
18. Вайнберг 2002, Приложение B, Глава 2
19. Бойерле и де Керф 1990, стр. 347–349.
20. Вайнберг 2002, Раздел 2.7.
21. Straumann 2014
22. Кадисон, Ричард В. (1 февраля 1965 г.). «Преобразования состояний в теории операторов и динамике». Топология . 3 : 177–198. doi : 10.1016/0040-9383(65)90075-3 . ISSN  0040-9383.
23. Саймон, Барри (8 марта 2015 г.). «Квантовая динамика: от автоморфизма к гамильтониану». Исследования по математической физике: эссе в честь Валентина Баргмана . Princeton University Press. стр. 327–350. doi :10.1515/9781400868940-016. ISBN 978-1-4008-6894-0– через www.degruyter.com.
24. Моретти, Вальтер (октябрь 2016 г.). «Математические основы квантовой механики: расширенный краткий курс». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (Дополнение 1): 1630011–1630843. arXiv : 1508.06951 . Bibcode :2016IJGMM..1330011M. doi :10.1142/S0219887816300117.
25. "(Исходя из теоремы Вигнера): Что такое симметрия в КТП?". Physics Stack Exchange . Получено 2023-10-18 .

Ссылки

• Баргманн, В. (1954). «Об унитарном лучевом представлении непрерывных групп». Ann. of Math . 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Bargmann, V. (1964). «Заметка о теореме Вигнера об операциях симметрии». Журнал математической физики . 5 (7). AIP Publishing: 862–868. Bibcode : 1964JMP.....5..862B. doi : 10.1063/1.1704188. ISSN  0022-2488.
• Боголюбов, НН ; Логунов, АА; Тодоров, ИТ (1975). Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля . Серия монографий по математической физике. Т. 18. Перевод на английский язык Стефана А. Фуллинга и Людмилы Г. Поповой. Нью-Йорк: Benjamin. ASIN  B000IM4HLS.
• Бойерле, Жерар ГА; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, часть 1: Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
• Фор, Клод-Ален (2002). «Элементарное доказательство основной теоремы проективной геометрии». Геометрии посвященные . 90 : 145–151. дои : 10.1023/А: 1014933313332. S2CID  115770315.
• Page, Don N. (1987). «Геометрическое описание фазы Берри». Physical Review A. 36 ( 7). Американское физическое общество (APS): 3479–3481. Bibcode : 1987PhRvA..36.3479P. doi : 10.1103/physreva.36.3479. ISSN  0556-2791. PMID  9899276.
• Seitz, F.; Vogt, E.; Weinberg, AM (2000). "Юджин Пол Вигнер. 17 ноября 1902 г. -- 1 января 1995 г.". Biogr. Mem. Fellows R. Soc . 46 : 577–592. doi : 10.1098/rsbm.1999.0102 .
• Simon, R.; Mukunda, N .; Chaturvedi, S.; Srinivasan, V.; Hamhalter, J. (2008). «Два элементарных доказательства теоремы Вигнера о симметрии в квантовой механике». Phys. Lett. A. 372 ( 46): 6847–6852. arXiv : 0808.0779 . Bibcode : 2008PhLA..372.6847S. doi : 10.1016/j.physleta.2008.09.052. S2CID  53858196.
• Straumann, N. (2014). "Унитарные представления неоднородной группы Лоренца и их значение в квантовой физике". В A. Ashtekar; V. Petkov (ред.). Springer Handbook of Spacetime . Springer Handbooks. стр. 265–278. arXiv : 0809.4942 . Bibcode :2014shst.book..265S. CiteSeerX  10.1.1.312.401 . doi :10.1007/978-3-642-41992-8_14. ISBN 978-3-642-41991-1. S2CID  18493194.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , т. I, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Вигнер, EP (1931). Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten mechanik der Atomspektren (на немецком языке). Брауншвейг, Германия: Фридрих Видег и Зон. стр. 251–254. АСИН  B000K1MPEI.
• Вигнер, Э. П. (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . перевод с немецкого Дж. Дж. Гриффина. Нью-Йорк: Academic Press. стр. 233–236. ISBN 978-0-1275-0550-3.

Дальнейшее чтение

• Холл, Брайан С. (2013). «Квантовая теория для математиков». Graduate Texts in Mathematics . Vol. 267. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. ISSN  0072-5285. S2CID  117837329.
• Mouchet, Amaury (2013). «Альтернативное доказательство теоремы Вигнера о квантовых преобразованиях на основе элементарного комплексного анализа». Physics Letters A . 377 (39): 2709–2711. arXiv : 1304.1376 . Bibcode :2013PhLA..377.2709M. doi :10.1016/j.physleta.2013.08.017. S2CID  42994708.
• Molnar, Lajos (1999). "Алгебраический подход к унитарно-антиунитарной теореме Вигнера" ​​(PDF) . J. Austral. Math. Soc. Ser. A . 65 (3): 354–369. arXiv : math/9808033 . Bibcode :1998math......8033M. doi :10.1017/s144678870003593x. S2CID  119593689. Архивировано из оригинала (PDF) 24.04.2019 . Получено 07.02.2015 .