Реализация (системы)

В теории систем реализация модели пространства состояний является реализацией заданного поведения ввода-вывода . То есть, учитывая отношение ввода-вывода, реализация является четверкой ( изменяющихся во времени ) матриц, таких что ${\displaystyle [A(t),B(t),C(t),D(t)]}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$

с описанием входа и выхода системы в момент времени . ${\displaystyle (u(t),y(t))}$ ${\displaystyle t}$

Система LTI

Для линейной стационарной системы, заданной матрицей перехода , реализацией является любая четверка матриц такая, что . ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle (A,B,C,D)}$ ${\displaystyle H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D}$

Канонические реализации

Любая заданная передаточная функция, которая является строго правильной, может быть легко перенесена в пространство состояний с помощью следующего подхода (этот пример приведен для 4-мерной системы с одним входом и одним выходом)):

Дана передаточная функция, разверните ее, чтобы выявить все коэффициенты как в числителе, так и в знаменателе. Это должно привести к следующей форме:

${\displaystyle H(s)={\frac {n_{3}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{1}s+n_{0}}{s^{4}+d_{3}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{1}s+d_{0}}}}$.

Теперь коэффициенты можно вставить непосредственно в модель пространства состояний с помощью следующего подхода:

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}&-d_{0}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{3}&n_{2}&n_{1}&n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}$.

Такая реализация пространства состояний называется управляемой канонической формой (также известной как каноническая форма с фазовой переменной), поскольку полученная модель гарантированно является управляемой (т. е. поскольку управление входит в цепочку интеграторов, оно имеет возможность перемещать каждое состояние).

Коэффициенты передаточной функции также могут быть использованы для построения другого типа канонической формы.

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{1}&0&0&1\\-d_{0}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\\n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}$.

Эта реализация пространства состояний называется наблюдаемой канонической формой , поскольку полученная модель гарантированно является наблюдаемой (т. е. поскольку выходной сигнал выходит из цепочки интеграторов, каждое состояние оказывает влияние на выходной сигнал).

Общая система

Д= 0

Если у нас есть вход , выход и шаблон взвешивания , то реализация — это любая тройка матриц, такая что где — матрица перехода состояний, связанная с реализацией. ^[1] ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle T(t,\sigma )}$ ${\displaystyle [A(t),B(t),C(t)]}$ ${\displaystyle T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )}$ ${\displaystyle \phi }$

Системная идентификация

Методы идентификации системы берут экспериментальные данные из системы и выводят реализацию. Такие методы могут использовать как входные, так и выходные данные (например, алгоритм реализации собственной системы ) или могут включать только выходные данные (например, разложение в частотной области ). Обычно метод ввода-вывода будет более точным, но входные данные не всегда доступны.

Смотрите также

• Математический портал

• Модель серого ящика
• Статистическая модель
• Системная идентификация

Ссылки

1. Брокетт, Роджер В. (1970). Конечномерные линейные системы . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.