Стандартное вероятностное пространство

Тип вероятностного пространства

В теории вероятностей стандартное вероятностное пространство , также называемое вероятностным пространством Лебега–Рохлина или просто пространством Лебега (последний термин неоднозначен) — это вероятностное пространство, удовлетворяющее определенным предположениям, введенным Владимиром Рохлиным в 1940 году. Неформально, это вероятностное пространство, состоящее из интервала и/или конечного или счетного числа атомов .

Теория стандартных вероятностных пространств была начата фон Нейманом в 1932 году и сформирована Владимиром Рохлиным в 1940 году. Рохлин показал, что единичный интервал, наделенный мерой Лебега, имеет важные преимущества по сравнению с общими вероятностными пространствами, но может быть эффективно заменен многими из них в теории вероятностей. Размерность единичного интервала не является препятствием, как было ясно еще Норберту Винеру . Он построил винеровский процесс (также называемый броуновским движением ) в виде измеримого отображения единичного интервала в пространство непрерывных функций .

Краткая история

Теория стандартных вероятностных пространств была начата фон Нейманом в 1932 году ^[1] и сформирована Владимиром Рохлиным в 1940 году. ^[2] Для модернизированных изложений см. (Haezendonck 1973), (de la Rue 1993), (Itô 1984, Sect. 2.4) и (Rudolph 1990, Chapter 2).

В настоящее время стандартные вероятностные пространства могут (и часто так и есть) рассматриваться в рамках дескриптивной теории множеств , через стандартные борелевские пространства , см. например (Kechris 1995, Sect. 17). Этот подход основан на теореме об изоморфизме для стандартных борелевских пространств (Kechris 1995, Theorem (15.6)). Альтернативный подход Рохлина, основанный на теории меры , игнорирует нулевые множества , в отличие от дескриптивной теории множеств. Стандартные вероятностные пространства обычно используются в эргодической теории . ^{[3] [4]}

Определение

Одно из нескольких известных эквивалентных определений стандартности приведено ниже, после некоторых приготовлений. Все вероятностные пространства предполагаются полными .

Изоморфизм

Изоморфизм между двумя вероятностными пространствами — это обратимое отображение, такое что и оба являются (измеримыми и) сохраняющими меру отображениями . ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$

Два вероятностных пространства изоморфны, если между ними существует изоморфизм.

Изоморфизм по модулю ноль

Два вероятностных пространства изоморфны , если существуют нулевые множества , такие, что вероятностные пространства изоморфны (будучи естественным образом наделены сигма-полями и вероятностными мерами). ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ ${\displaystyle \textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}}$

Стандартное вероятностное пространство

Вероятностное пространство является стандартным , если оно изоморфно интервалу с мерой Лебега, конечному или счетному множеству атомов или их комбинации (несвязному объединению). ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$

См. (Rokhlin 1952, Sect. 2.4 (p. 20)), (Haezendonck 1973, Proposition 6 (p. 249) и Remark 2 (p. 250)), и (de la Rue 1993, Theorem 4-3). См. также (Kechris 1995, Sect. 17.F) и (Itô 1984, особенно Sect. 2.4 и Exercise 3.1(v)). В (Petersen 1983, Definition 4.5 на странице 16) мера предполагается конечной, не обязательно вероятностной. В (Sinai 1994, Definition 1 на странице 16) атомы не допускаются.

Примеры нестандартных вероятностных пространств

Наивный белый шум

Пространство всех функций можно рассматривать как произведение континуума копий действительной линии . Можно наделить вероятностной мерой, скажем, стандартное нормальное распределение , и рассматривать пространство функций как произведение континуума идентичных вероятностных пространств . Мера произведения является вероятностной мерой на . Наивно может показаться, что описывает белый шум . ${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma =N(0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$

Однако интеграл функции белого шума от 0 до 1 должен быть случайной величиной, распределенной N (0, 1). Напротив, интеграл (от 0 до 1) от не определен. ƒ также не может быть почти наверняка измеримой, и вероятность того, что ƒ будет измеримой, не определена. Действительно, если X — случайная величина, распределенная (скажем) равномерно на (0, 1) и независимая от ƒ , то ƒ ( X ) вообще не является случайной величиной (она не измерима). ${\displaystyle \textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$

Перфорированный интервал

Пусть будет множеством , внутренняя мера Лебега которого равна 0, а внешняя мера Лебега равна 1 (таким образом, неизмеримо до экстремума ) . Существует вероятностная мера на , такая что для каждого измеримого по Лебегу . (Вот мера Лебега.) События и случайные величины на вероятностном пространстве (рассматриваемом ) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с событиями и случайными величинами на вероятностном пространстве . Может показаться, что вероятностное пространство так же хорошо, как . ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle Z}$ ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle Z}$ ${\displaystyle \textstyle m(Z\cap A)=\operatorname {mes} (A)}$ ${\displaystyle \textstyle A\subset (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mes} }$ ${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$ ${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$ ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$

Однако это не так. Случайная величина, определенная как , распределена равномерно на . Условная мера, заданная , является всего лишь одним атомом (при ), при условии, что является базовым вероятностным пространством. Однако, если вместо этого используется , то условная мера не существует, когда . ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle X(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle \textstyle (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle X=x}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$ ${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$ ${\displaystyle \textstyle x\notin Z}$

Аналогично строится перфорированный круг. Его события и случайные величины те же, что и на обычном круге. Группа вращений действует на них естественным образом. Однако на перфорированный круг она не действует.

См. также (Рудольф 1990, стр. 17).

Избыточное измеримое множество

Пусть будет как в предыдущем примере. Множества вида где и — произвольные измеримые по Лебегу множества, являются σ-алгеброй она содержит σ-алгебру Лебега и Формула ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \textstyle Z.}$

${\displaystyle \displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

дает общую форму вероятностной меры на , которая расширяет меру Лебега; здесь есть параметр. Для определенности мы выбираем Может показаться, что такое расширение меры Лебега по крайней мере безвредно. ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}}$ ${\displaystyle \textstyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle \textstyle p=0.5.}$

Однако это замаскированный перфорированный интервал. Карта

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}}$

является изоморфизмом между и перфорированным интервалом, соответствующим множеству ${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}}$

${\displaystyle \displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,}$

другой набор внутренней меры Лебега 0, но внешней меры Лебега 1.

См. также (Рудольф 1990, упражнение 2.11 на стр. 18).

Критерий стандартности

Стандартность данного вероятностного пространства эквивалентна определенному свойству измеримого отображения из в измеримое пространство Ответ (стандартный или нет) не зависит от выбора и . Этот факт весьма полезен; можно адаптировать выбор и к данному Нет необходимости рассматривать все случаи. Может быть удобно рассматривать случайную величину случайный вектор случайную последовательность или последовательность событий, рассматриваемых как последовательность двузначных случайных величин, ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty },}$ ${\displaystyle \textstyle (A_{1},A_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }.}$

На (быть инъективным и порождающим) будут наложены два условия . Ниже предполагается, что таковое дано. Вопрос о его существовании будет рассмотрен позже. ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle f}$

Предполагается, что вероятностное пространство является полным (иначе оно не может быть стандартным). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Одна случайная величина

Измеримая функция индуцирует меру продвижения вперед – меру вероятности , определяемую формулой ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{*}P}$ ${\displaystyle \textstyle \mu }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}}$    для борелевских множеств ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} .}$

т.е. распределение случайной величины . Изображение всегда представляет собой набор полной внешней меры, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

но его внутренняя мера может отличаться (см. перфорированный интервал ). Другими словами, не обязательно должен быть набором полной меры ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle \mu .}$

Измеримая функция называется порождающей , если является пополнением относительно σ-алгебры прообразов , где пробегает все борелевские множества. ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}(B),}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$

Внимание.   Следующее условие недостаточно для того, чтобы быть порождающим: для каждого существует борелевское множество такое, что ( означает симметричную разность ). ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$

Теорема. Пусть измеримая функция инъективна и порождает, тогда следующие два условия эквивалентны: ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \mu (\textstyle f(\Omega ))=1}$(т.е. внутренняя мера имеет также полную меру, а образ измерим относительно завершенности); ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$— стандартное вероятностное пространство.

См. также (Ито 1984, раздел 3.1).

Случайный вектор

Та же теорема справедлива для любого (вместо ). Измеримая функция может рассматриваться как конечная последовательность случайных величин и является генерирующей тогда и только тогда, когда является пополнением σ-алгебры, генерируемой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}.\,}$

Случайная последовательность

Теорема по-прежнему верна для пространства бесконечных последовательностей. Измеримая функция может рассматриваться как бесконечная последовательность случайных величин и является генерирующей тогда и только тогда, когда является завершением σ-алгебры, генерируемой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots .\,}$

Последовательность событий

В частности, если случайные величины принимают только два значения 0 и 1, мы имеем дело с измеримой функцией и последовательностью множеств Функция является генерирующей тогда и только тогда, когда является пополнением σ-алгебры, генерируемой ${\displaystyle X_{n}\,}$ ${\displaystyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots .\,}$

В пионерской работе (Рохлин 1952) последовательности , соответствующие инъективным, порождающим, называются базисами вероятностного пространства (см. Рохлин 1952, разд. 2.1). Базис называется полным по модулю 0, если имеет полную меру см. (Рохлин 1952, разд. 2.2). В том же разделе Рохлин доказал, что если вероятностное пространство полно по модулю 0 относительно некоторого базиса, то оно полно по модулю 0 относительно любого другого базиса, и определяет пространства Лебега этим свойством полноты. См. также (Хаезендонк 1973, предложение 4 и определение 7) и (Рудольф 1990, разд. 2.3, особенно теорема 2.2). ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$ ${\displaystyle f(\Omega )\,}$ ${\displaystyle \mu ,\,}$

Дополнительные замечания

Четыре случая, рассмотренные выше, взаимно эквивалентны и могут быть объединены, поскольку измеримые пространства и взаимно изоморфны; все они являются стандартными измеримыми пространствами (другими словами, стандартными борелевскими пространствами). ${\displaystyle \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{\infty }\,}$

Существование инъективной измеримой функции из в стандартное измеримое пространство не зависит от выбора Принимая , мы получаем свойство, хорошо известное как счетно разделяемое (но названное разделяемым в работе Ито 1984 г.). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

Существование порождающей измеримой функции из в стандартное измеримое пространство также не зависит от выбора Принимая мы получаем свойство, хорошо известное как счетно порождаемое (mod 0), см. (Durrett 1996, Exer. I.5). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

Каждая инъективная измеримая функция из стандартного вероятностного пространства в стандартное измеримое пространство является порождающей. См. (Rokhlin 1952, Sect. 2.5), (Haezendonck 1973, Corollary 2 на стр. 253), (de la Rue 1993, Theorems 3-4 and 3-5). Это свойство не выполняется для нестандартного вероятностного пространства, рассмотренного в подразделе «Избыточное измеримое множество» выше.

Внимание.   Свойство быть счетно порожденным инвариантно относительно изоморфизмов mod 0, но свойство быть счетно разделенным — нет. Фактически, стандартное вероятностное пространство счетно разделено тогда и только тогда, когда мощность не превышает континуума (см. Itô 1984, Exer. 3.1(v)). Стандартное вероятностное пространство может содержать нулевое множество любой мощности, таким образом, оно не обязательно счетно разделено. Однако оно всегда содержит счетно разделенное подмножество полной меры. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Эквивалентные определения

Пусть – полное вероятностное пространство, такое, что мощность не превышает континуума (общий случай сводится к этому частному случаю, см. предостережение выше). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Через абсолютную измеримость

Определение   является стандартным, если оно счетно разделяется, счетно порождается и абсолютно измеримо. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

См. (Рохлин 1952, конец раздела 2.3) и (Хаезендонк 1973, замечание 2 на стр. 248). «Абсолютно измеримый» означает: измеримый в каждом счетно разделенном, счетно порожденном вероятностном пространстве, содержащем его.

Через совершенство

Определение.   является стандартным, если оно счетно-раздельное и совершенное. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

См. (Itô 1984, Sect. 3.1). «Идеальный» означает, что для каждой измеримой функции от до мера изображения является регулярной . (Здесь мера изображения определена на всех множествах, чьи прообразы принадлежат , независимо от борелевской структуры ). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

Через топологию

Определение.   является стандартным, если существует топология на такая, что ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \tau }$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

• топологическое пространство метризуемо ; ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$
• ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$является пополнением σ-алгебры, порожденной (то есть всеми открытыми множествами); ${\displaystyle \textstyle \tau }$
• для каждого существует компактное множество в такое, что ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$ ${\displaystyle \textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .}$

См. (де ла Рю, 1993, разд. 1).

Проверка стандартности

Каждое распределение вероятностей в пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство. (Здесь распределение вероятностей означает вероятностную меру, изначально определенную на сигма-алгебре Бореля и дополненную.) ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

То же самое справедливо для любого польского пространства , см. (Рохлин 1952, раздел 2.7 (стр. 24)), (Хаезендонк 1973, пример 1 (стр. 248)), (де ла Рю 1993, теорема 2-3) и (Ито 1984, теорема 2.4.1).

Например, мера Винера превращает польское пространство (всех непрерывных функций, наделенных топологией локальной равномерной сходимости ) в стандартное вероятностное пространство. ${\displaystyle \textstyle C[0,\infty )}$ ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$

Другой пример: для каждой последовательности случайных величин их совместное распределение превращает польское пространство (последовательностей, наделенное топологией произведения ) в стандартное вероятностное пространство. ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

(Таким образом, идея размерности , весьма естественная для топологических пространств , совершенно не подходит для стандартных вероятностных пространств.)

Произведение двух стандартных вероятностных пространств представляет собой стандартное вероятностное пространство.

То же самое справедливо для произведения счетного числа пространств, см. (Рохлин 1952, раздел 3.4), (Хаезендонк 1973, предложение 12) и (Ито 1984, теорема 2.4.3).

Измеримое подмножество стандартного вероятностного пространства является стандартным вероятностным пространством. Предполагается, что множество не является нулевым множеством и наделено условной мерой. См. (Рохлин 1952, раздел 2.3 (стр. 14)) и (Хаезендонк 1973, предложение 5).

Каждая вероятностная мера в стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство.

Используя стандартность

Регулярные условные вероятности

В дискретной установке условная вероятность является другой мерой вероятности, а условное ожидание может рассматриваться как (обычное) ожидание по отношению к условной мере, см. условное ожидание . В недискретной установке обусловленность часто рассматривается косвенно, поскольку условие может иметь вероятность 0, см. условное ожидание . В результате, ряд известных фактов имеют специальные «условные» аналоги. Например: линейность ожидания; неравенство Йенсена (см. условное ожидание ); неравенство Гёльдера ; теорема о монотонной сходимости и т. д.

При наличии случайной величины на вероятностном пространстве естественно попытаться построить условную меру , то есть условное распределение заданного . В общем случае это невозможно (см. Durrett 1996, Sect. 4.1(c)). Однако для стандартного вероятностного пространства это возможно и хорошо известно как каноническая система мер (см. Rokhlin 1952, Sect. 3.1), которая в основном совпадает с условными вероятностными мерами (см. Itô 1984, Sect. 3.5), распадом меры (см. Kechris 1995, Exercise (17.35)) и регулярными условными вероятностями (см. Durrett 1996, Sect. 4.1(c)). ${\displaystyle \textstyle Y}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle P_{y}}$ ${\displaystyle \textstyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle Y(\omega )=y}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Условное неравенство Йенсена — это просто (обычное) неравенство Йенсена, примененное к условной мере. То же самое справедливо и для многих других фактов.

Мера сохраняющих преобразований

При наличии двух вероятностных пространств и карты, сохраняющей меру , изображение не обязательно должно покрывать все , оно может пропустить нулевое множество. Может показаться, что должно быть равно 1, но это не так. Внешняя мера равна 1, но внутренняя мера может отличаться. Однако, если вероятностные пространства , являются стандартными , то , см. (de la Rue 1993, теорема 3-2). Если также является взаимно однозначным, то каждое удовлетворяет , . Следовательно, является измеримым (и сохраняет меру). См. (Rokhlin 1952, раздел 2.5 (стр. 20)) и (de la Rue 1993, теорема 3-5). См. также (Haezendonck 1973, предложение 9 (и замечание после него)). ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))}$ ${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$

"Существует последовательный способ игнорировать множества меры 0 в пространстве с мерой" (Petersen 1983, стр. 15). Стремясь избавиться от нулевых множеств, математики часто используют классы эквивалентности измеримых множеств или функций. Классы эквивалентности измеримых подмножеств вероятностного пространства образуют нормированную полную булеву алгебру, называемую алгеброй мер (или метрической структурой). Каждое сохраняющее меру отображение приводит к гомоморфизму алгебр мер; в основном, для . ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle F}$ ${\displaystyle \textstyle F(B)=f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$

Может показаться, что каждый гомоморфизм алгебр мер должен соответствовать некоторому сохраняющему меру отображению, но это не так. Однако для стандартных вероятностных пространств каждый соответствует некоторому . См. (Рохлин 1952, раздел 2.6 (стр. 23) и 3.2), (Кехрис 1995, раздел 17.F), (Петерсен 1983, теорема 4.7 на стр. 17). ${\displaystyle \textstyle F}$ ${\displaystyle \textstyle f}$

Смотрите также

«Стандартное вероятностное пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Примечания

1. (фон Нейман, 1932) и (Халмош и фон Нейман, 1942) цитируются в (Рохлин, 1952, стр. 2) и (Петерсен, 1983, стр. 17).
2. Опубликовано вкратце в 1947 г., подробно в 1949 г. на русском языке и в 1952 г. (Рохлин 1952) на английском языке. Неопубликованный текст 1940 г. упоминается в (Рохлин 1952, стр. 2). "Теория пространств Лебега в ее нынешнем виде была построена В. А. Рохлиным" (Синай 1994, стр. 16).
3. «В этой книге мы будем иметь дело исключительно с пространствами Лебега» (Петерсен, 1983, стр. 17).
4. «Эргодическая теория на пространствах Лебега» — подзаголовок книги (Рудольф, 1990).

Ссылки

• Рохлин, В.А. (1952), Об основных идеях теории меры (PDF) , Переводы, т. 71, Американское математическое общество, стр. 1–54. В переводе с русского: Рохлин, В. А. (1949), «Об основных понятиях меры», Математический Сборник (Новая Серия) , 25 (67): 107–150..
• фон Нейман, Дж. (1932), «Einige Sätze übermessbare Abbildungen», Annals of Mathematics , Second Series, 33 (3): 574–586, doi : 10.2307/1968536, JSTOR  1968536.
• Халмош, П. Р.; фон Нейман, Дж. (1942), «Операторные методы в классической механике, II», Annals of Mathematics , вторая серия, 43 (2): 332–350, doi :10.2307/1968872, JSTOR  1968872.
• Хаэзендонк, Дж. (1973), «Абстрактные пространства Лебега – Ролина», Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 25 : 243–258.
• де ла Рю, Т. (1993), «Espaces de Lebesgue», Séminaire de Probabilités XXVII , Конспекты лекций по математике, том. 1557, Шпрингер, Берлин, стр. 15–21.{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
• Петерсен, К. (1983), Эргодическая теория , Cambridge Univ. Press.
• Ито, К. (1984), Введение в теорию вероятностей , Cambridge Univ. Press.
• Рудольф, DJ (1990), Основы измеримой динамики: эргодическая теория на пространствах Лебега , Оксфорд: Clarendon Press.
• Синай, Я. Г. (1994), Темы эргодической теории , Princeton Univ. Press.
• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Springer.
• Дарретт, Р. (1996), Вероятность: теория и примеры (Второе издание).
• Винер, Н. (1958), Нелинейные проблемы в теории случайностей , MIT Press.