Устранимая особенность

Неопределенная точка голоморфной функции, которую можно сделать регулярной

График параболы с устранимой особенностью в точке x = 2

В комплексном анализе устранимая особенность голоморфной функции — это точка, в которой функция не определена , но можно переопределить функцию в этой точке таким образом, чтобы результирующая функция была регулярной в окрестности этой точки.

Например, (ненормализованная) функция sinc , определенная формулой

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

имеет особенность в точке z = 0 . Эту особенность можно устранить, определив, что является пределом функции sinc при стремлении z к 0. Полученная функция голоморфна. В данном случае проблема была вызвана тем, что sinc была придана неопределенная форма . Разложение в степенной ряд вокруг особой точки показывает, что ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1,}$ ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Формально, если – открытое подмножество комплексной плоскости , точка , и – голоморфная функция , то называется устранимой особенностью , если существует голоморфная функция , совпадающая с на . Мы говорим, что оно голоморфно продолжаемо, если такое существует. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$

Теорема Римана

Теорема Римана об устранимых особенностях такова:

Теорема. Пусть  —  открытое подмножество комплексной плоскости, точка и голоморфная функция, определенная на множестве . Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

1. ${\displaystyle f}$голоморфно продолжаема по . ${\displaystyle a}$
2. ${\displaystyle f}$непрерывно продолжается по . ${\displaystyle a}$
3. Существует окрестность , на которой ограничено . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
4. ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$.

Импликации 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 тривиальны. Чтобы доказать 4 ⇒ 1, сначала напомним, что голоморфность функции at эквивалентна тому, что она аналитична в точке ( доказательство ), т. е. имеет представление в степенном ряду. Определять ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Очевидно, h голоморфен на и существует ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

на 4, следовательно, h голоморфен на D и имеет ряд Тейлора относительно a :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Имеем c ₀ = h ( a ) = 0 и c ₁ = h ' ( a ) = 0; поэтому

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

Следовательно, где имеем: ${\displaystyle z\neq a}$

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

Однако,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

голоморфен на D и, таким образом, является расширением . ${\displaystyle f}$

Другие виды особенностей

В отличие от функций действительной переменной, голоморфные функции достаточно жесткие, поэтому их изолированные особенности могут быть полностью классифицированы. Особенность голоморфной функции либо вообще не является особенностью, т. е. устранимой особенностью, либо относится к одному из следующих двух типов:

1. В свете теоремы Римана, учитывая неустранимую особенность, можно было бы задаться вопросом, существует ли натуральное число такое, что . Если это так, то называется полюсом и наименьшим является порядок . Таким образом, устранимые особенности — это в точности полюсы нулевого порядка. Голоморфная функция равномерно разрушается вблизи остальных своих полюсов. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$
2. Если изолированная особенность не является ни устранимой, ни полюсом, то она называется существенной особенностью . Великая теорема Пикара показывает, что такая система отображает каждую проколотую открытую окрестность на всю комплексную плоскость, за исключением, возможно, не более одной точки. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

Смотрите также

• Аналитический потенциал
• Устранимый разрыв

Внешние ссылки

• Съемная особая точка в Математической энциклопедии