Трюк с репликой

Математический предел, применяемый в статистической физике

В статистической физике спиновых стекол и других систем с подавленным беспорядком метод реплики представляет собой математический метод, основанный на применении формулы: или: где чаще всего — это статистическая сумма или аналогичная термодинамическая функция. $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}}$$ $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}}$$ ${\displaystyle Z}$

Обычно он используется для упрощения расчета , ожидаемого значения , сводя проблему к расчету среднего беспорядка , где предполагается, что это целое число. Это физически эквивалентно усреднению по копиям или репликам системы, отсюда и название. ${\displaystyle {\overline {\ln Z}}}$ ${\displaystyle \ln Z}$ ${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Суть трюка с репликой заключается в том, что в то время как усреднение беспорядка выполняется в предположении, что это целое число, для восстановления логарифма с усреднением беспорядка необходимо непрерывно отправлять к нулю. Это кажущееся противоречие в основе трюка с репликой никогда не было формально разрешено, однако во всех случаях, когда метод реплики можно сравнить с другими точными решениями, методы приводят к тем же результатам. (Естественным достаточно строгим доказательством того, что трюк с репликой работает, была бы проверка того, что предположения теоремы Карлсона верны, особенно того, что отношение имеет экспоненциальный тип меньше π .) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (Z^{n}-1)/n}$

Иногда для получения физических результатов необходимо требовать дополнительного свойства нарушения симметрии реплики (RSB), что связано с нарушением эргодичности .

Общая формулировка

Обычно он используется для вычислений, включающих аналитические функции (могут быть разложены в степенной ряд).

Разложим с помощью его степенного ряда : по степеням или, другими словами, по копиям , и выполним те же вычисления, которые должны быть выполнены с , используя степени . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z}$

Частным случаем, который очень полезен в физике, является усреднение термодинамической свободной энергии ,

${\displaystyle F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],}$

над значениями с определенным распределением вероятностей, обычно гауссовым. ^[1] ${\displaystyle J_{ij}}$

Тогда функция распределения определяется как

${\displaystyle Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.}$

Обратите внимание, что если бы мы вычисляли просто (или, в более общем смысле, любую степень ), а не ее логарифм, который мы хотели бы усреднить, то полученный интеграл (предполагая гауссово распределение) равен просто ${\displaystyle Z[J_{ij}]}$ ${\displaystyle J_{ij}}$

${\displaystyle \int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},}$

стандартный гауссовский интеграл , который можно легко вычислить (например, дополнить квадрат).

Для вычисления свободной энергии мы используем трюк с репликой: который сводит сложную задачу усреднения логарифма к решению относительно простого гауссовского интеграла, при условии, что — целое число. ^[2] Трюк с репликой постулирует, что если можно вычислить для всех положительных целых чисел , то этого может быть достаточно, чтобы позволить вычислить предельное поведение a . $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to 0}$

Очевидно, что такой аргумент ставит много математических вопросов, и полученный формализм для выполнения предела обычно вносит много тонкостей. ^[3] ${\displaystyle n\to 0}$

При использовании теории среднего поля для выполнения расчетов принятие этого предела часто требует введения дополнительных параметров порядка, свойства, известного как «нарушение симметрии реплики», которое тесно связано с нарушением эргодичности и медленной динамикой в ​​неупорядоченных системах.

Физические приложения

Метод реплики используется для определения основных состояний статистических механических систем в приближении среднего поля . Обычно для систем, в которых определение основного состояния является простым, можно анализировать флуктуации вблизи основного состояния. В противном случае используется метод реплики. ^{[статьи о спиновых стеклах 1]} Примером может служить случай погашенного беспорядка в системе, подобной спиновому стеклу с различными типами магнитных связей между спинами, что приводит к множеству различных конфигураций спинов, имеющих одинаковую энергию.

В статистической физике систем с подавленным беспорядком любые два состояния с одинаковой реализацией беспорядка (или в случае спиновых стекол с одинаковым распределением ферромагнитных и антиферромагнитных связей) называются копиями друг друга. ^{[статьи о спиновых стеклах 2]} Для систем с подавленным беспорядком обычно ожидается, что макроскопические величины будут самоусредняющимися , в результате чего любая макроскопическая величина для конкретной реализации беспорядка будет неотличима от той же величины, вычисленной путем усреднения по всем возможным реализациям беспорядка. Введение реплик позволяет выполнить это усреднение по различным реализациям беспорядка.

В случае спинового стекла мы ожидаем, что свободная энергия на спин (или любая самоусредняющаяся величина) в термодинамическом пределе не будет зависеть от конкретных значений ферромагнитных и антиферромагнитных связей между отдельными узлами по всей решетке. Таким образом, мы явно находим свободную энергию как функцию параметра беспорядка (в данном случае параметров распределения ферромагнитных и антиферромагнитных связей) и усредняем свободную энергию по всем реализациям беспорядка (всем значениям связи между узлами, каждое со своей соответствующей вероятностью, заданной функцией распределения). Поскольку свободная энергия принимает вид:

${\displaystyle F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}}$

где описывает беспорядок (для спиновых стекол он описывает природу магнитного взаимодействия между каждым из отдельных участков и ), и мы берем среднее значение по всем значениям связей, описанных в , взвешенным с заданным распределением. Для выполнения усреднения по логарифмической функции пригодится трюк с репликой, при котором логарифм заменяется его предельной формой, упомянутой выше. В этом случае величина представляет собой совместную функцию распределения идентичных систем. ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Z^{n}}$ ${\displaystyle n}$

REM: самая простая проблема с репликой

Модель случайной энергии (REM) является одной из простейших моделей статистической механики неупорядоченных систем и, вероятно, самой простой моделью для демонстрации значения и мощности трюка с репликой на уровне 1 нарушения симметрии реплики. Модель особенно подходит для этого введения, поскольку известен точный результат другой процедуры, и можно доказать, что трюк с репликой работает, путем перекрестной проверки результатов.

Альтернативные методы

Метод полости является альтернативным методом, часто более простым в использовании, чем метод реплики, для изучения неупорядоченных проблем среднего поля. Он был разработан для работы с моделями на локально древовидных графах .

Другим альтернативным методом является метод суперсимметрии . Использование метода суперсимметрии обеспечивает математически строгую альтернативу трюку с репликой, но только в невзаимодействующих системах. См., например, книгу: ^{[другие подходы 1]}

Кроме того, было продемонстрировано ^{[другие подходы 2]} , что формализм Келдыша представляет собой жизнеспособную альтернативу подходу с использованием реплик.

Замечания

Первое из приведенных выше тождеств легко понять с помощью разложения Тейлора :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Для второго тождества просто используется определение производной

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}(1+n\ln Z+\cdots )\ln Z\\[5pt]&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Ссылки

• S Edwards (1971), "Статистическая механика резины". В Полимерные сети: структурные и механические свойства , (ред. AJ Chompff & S. Newman). Нью-Йорк: Plenum Press, ISBN 978-1-4757-6210-5.
• Mézard, Marc; Parisi, Giorgio; Virasoro, Miguel Ángel (1987). Теория спинового стекла и не только: введение в метод реплик и его применение . World Scientific lecture notes in physics. Teaneck, NJ, USA: World scientific. ISBN 978-9971-5-0116-7.
• Шарбонно, Патрик (2022-11-03). «От трюка с репликой к технике нарушения симметрии реплики». arXiv : 2211.01802 [physics.hist-ph].

Статьи о спиновых стеклах

1. Паризи, Джорджио (17 января 1997 г.). «О подходе реплик к спиновым стеклам». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
2. Томмазо Кастеллани, Андреа Каванья (май 2005 г.). "Теория спинового стекла для пешеходов". Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2005 (5): P05012. arXiv : cond-mat/0505032 . Bibcode : 2005JSMTE..05..012C. doi : 10.1088/1742-5468/2005/05/P05012. S2CID  118903982.

Книги о спиновых стеклах

Ссылки на другие подходы

1. Суперсимметрия в беспорядке и хаосе , Константин Ефетов, Cambridge University Press, 1997.
2. А. Каменев и А. Андреев, cond-mat/9810191; C. Chamon, AWW Ludwig и C. Nayak, cond-mat/9810282.

1. Нисимори, Хидетоши (2001). Статистическая физика спиновых стекол и обработка информации: введение . Оксфорд [ua]: Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-850940-5. См. стр. 13, Глава 2.
2. Герц, Джон (март–апрель 1998 г.). «Физика спинового стекла». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
3. Мезард, М; Паризи, Г; Вирасоро, М (1986-11-01). Теория спинового стекла и не только . World Scientific Lecture Notes in Physics. Том 9. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/0271. ISBN 9789971501167.