формализм Келдыша

В неравновесной физике формализм Келдыша или формализм Келдыша–Швингера представляет собой общую структуру для описания квантово-механической эволюции системы в неравновесном состоянии или систем, подверженных воздействию изменяющихся во времени внешних полей ( электрическое поле , магнитное поле и т. д.). Исторически он был предвосхищен работой Джулиана Швингера и предложен почти одновременно Леонидом Келдышем ^[1] и, отдельно, Лео Кадановым и Гордоном Беймом ^[2] . Он был далее развит более поздними авторами, такими как О. В. Константинов и В. И. Перель. ^[3]

Расширения до управляемо-диссипативных открытых квантовых систем даны не только для бозонных систем, ^[4] но и для фермионных систем. ^[5]

Формализм Келдыша обеспечивает систематический способ изучения неравновесных систем, обычно основанный на двухточечных функциях, соответствующих возбуждениям в системе. Основным математическим объектом в формализме Келдыша является неравновесная функция Грина (NEGF), которая является двухточечной функцией полей частиц. В этом смысле он напоминает формализм Мацубары , который основан на равновесных функциях Грина в мнимом времени и рассматривает только равновесные системы.

Временная эволюция квантовой системы

Рассмотрим общую квантово-механическую систему. Эта система имеет гамильтониан . Пусть начальное состояние системы будет чистым состоянием . Если мы теперь добавим к этому гамильтониану зависящее от времени возмущение, скажем , , полный гамильтониан будет равен и, следовательно, система будет развиваться во времени под действием полного гамильтониана. В этом разделе мы увидим, как на самом деле работает эволюция времени в квантовой механике. ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle H'(t)}$ ${\displaystyle H(t)=H_{0}+H'(t)}$

Рассмотрим эрмитов оператор . В гейзенберговской картине квантовой механики этот оператор зависит от времени, а состояние — нет. Ожидаемое значение оператора определяется как ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{U}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$

где, из-за эволюции операторов во времени в картине Гейзенберга, . Унитарный оператор эволюции во времени является упорядоченной по времени экспонентой интеграла, (Обратите внимание, что если гамильтониан в один момент времени коммутирует с гамильтонианом в разные моменты времени, то это можно упростить до .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=U^{\dagger }(t,0){\mathcal {O}}(0)U(t,0)}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})=T(e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}).}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})=e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}}$

Для пертурбативной квантовой механики и квантовой теории поля часто удобнее использовать картину взаимодействия . Оператор картины взаимодействия имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0}}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U_{0}(t,0),\end{aligned}}}$

где . Тогда, определяя, имеем ${\displaystyle U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}}$ ${\displaystyle S(t_{1},t_{2})=U_{0}^{\dagger }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(t,0){\mathcal {O_{I}}}(t)S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$

Поскольку унитарные операторы эволюции во времени удовлетворяют , приведенное выше выражение можно переписать как ${\displaystyle U(t_{3},t_{2})U(t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(\infty ,0)S(\infty ,t){\mathcal {O_{I}}}(t)\,S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$,

или с заменой на любое значение времени больше . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle t}$

Упорядочение путей по контуру Келдыша

Мы можем записать приведенное выше выражение более кратко, чисто формально заменив каждый оператор на упорядоченный по контуру оператор , такой, который параметризует контурный путь на оси времени, начинающийся в , продолжающийся в , а затем возвращающийся в . Этот путь известен как контур Келдыша. имеет то же операторное действие, что и (где — значение времени, соответствующее ), но также имеет дополнительную информацию (то есть, строго говоря, если , даже если для соответствующих времен ). ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=\infty }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle X(c)}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X(c_{1})\neq X(c_{2})}$ ${\displaystyle c_{1}\neq c_{2}}$ ${\displaystyle X(t_{1})=X(t_{2})}$

Затем мы можем ввести обозначение порядка пути на этом контуре, определив , где — перестановка такая, что , а знаки плюс и минус — для бозонных и фермионных операторов соответственно. Обратите внимание, что это обобщение порядка времени . ${\displaystyle {\mathcal {T_{c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})\ldots X^{(n)}(c_{n}))=(\pm 1)^{\sigma }X^{(\sigma (1))}(c_{\sigma (1)})X^{(\sigma (2))}(c_{\sigma (2)})\ldots X^{(\sigma (n))}(c_{\sigma (n)})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{\sigma (1)}<c_{\sigma (2)}<\ldots c_{\sigma (n)}}$

С помощью этих обозначений приведенная выше временная эволюция записывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}({\mathcal {O(c)}}e^{-i\int dc'H'(c')})|n\rangle \end{aligned}}}$

Где соответствует времени на прямой ветви контура Келдыша, а интеграл по распространяется на весь контур Келдыша. В оставшейся части этой статьи, как это принято, мы обычно будем просто использовать обозначение для , где — время, соответствующее , а находится ли на прямой или обратной ветви, выводится из контекста. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(c)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Диаграммная техника Келдыша для функций Грина

Неравновесная функция Грина определяется как . ${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|T\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle \end{aligned}}}$

Или, в картине взаимодействия, . Мы можем разложить экспоненту в ряд Тейлора, чтобы получить ряд возмущений ${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}(e^{-i\int _{c}H'(t')dt'}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\langle n|{\mathcal {T_{c}}}((-i\int _{t}(H'(t',+)+H'(t',-))dt')^{j}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle /j!}$.

Это та же процедура, что и в равновесной диаграммной теории возмущений, но с важным отличием, заключающимся в том, что учитываются как прямые, так и обратные ветви контура.

Если, как это часто бывает, является полиномом или рядом как функция элементарных полей , мы можем организовать этот ряд возмущений в мономиальные члены и применить все возможные пары Вика к полям в каждом мономе, получив сумму диаграмм Фейнмана . Однако ребра диаграммы Фейнмана соответствуют различным пропагаторам в зависимости от того, исходят ли парные операторы из прямой или обратной ветви. А именно, ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\pm \langle n|\psi (x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {\overline {T}}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

где антивременной порядок упорядочивает операторы противоположным образом, чем временной порядок, и знак в для бозонных или фермионных полей. Обратите внимание, что это пропагатор, используемый в обычной теории основного состояния. ${\displaystyle {\mathcal {\overline {T}}}}$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle G_{0}^{-+}}$ ${\displaystyle G_{0}^{--}}$

Таким образом, диаграммы Фейнмана для корреляционных функций могут быть нарисованы, а их значения вычислены так же, как в теории основного состояния, за исключением следующих изменений правил Фейнмана: каждая внутренняя вершина диаграммы помечена либо , либо , в то время как внешние вершины помечены . Затем каждое (неренормализованное) ребро, направленное от вершины (с позицией , временем и знаком ) к вершине (с позицией , временем и знаком ), соответствует пропагатору . Затем значения диаграммы для каждого выбора знаков (существуют такие выборы, где — количество внутренних вершин) суммируются для нахождения общего значения диаграммы. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle s_{a}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{b}}$ ${\displaystyle t_{b}}$ ${\displaystyle s_{b}}$ ${\displaystyle G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a},x_{b},t_{b})}$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle 2^{v}}$ ${\displaystyle v}$

Смотрите также

• Спиновый эффект Холла
• Эффект Кондо

Ссылки

1. Келдыш, Леонид (1965). «Диаграммная техника для неравновесных процессов». ЖЭТФ . 20 : 1018.
2. Каданофф, Лео; Бейм, Гордон (1962). Квантовая статистическая механика . Нью-Йорк. ISBN 020141046X.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Каменев, Алекс (2011). Теория поля неравновесных систем . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9780521760829. OCLC  721888724.
4. Sieberer, Lukas; Buchhold, M; Diehl, S (2 августа 2016 г.). "Теория поля Келдыша для управляемых открытых квантовых систем". Reports on Progress in Physics . 79 (9): 096001. arXiv : 1512.00637 . Bibcode : 2016RPPh...79i6001S. doi : 10.1088/0034-4885/79/9/096001. PMID  27482736. S2CID  4443570.
5. Мюллер, Томас; Гиверс, Марсель; Фремль, Генрих; Диль, Себастьян; Чиоккетта, Алессио (2021). «Эффекты формы локализованных потерь в квантовых проводах: диссипативные резонансы и неравновесная универсальность». Physical Review B. 104 ( 15): 155431. arXiv : 2105.01059 . Bibcode : 2021PhRvB.104o5431M. doi : 10.1103/PhysRevB.104.155431. S2CID  233481829.

Другой

1. Лифшиц Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). «Физическая кинетика». Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры . 10 .
2. Jauho, AP (5 октября 2006 г.). "Введение в метод неравновесной функции Грина по Келдышу" (PDF) . nanoHUB . Получено 18 июня 2018 г. .
3. Лейк, Роджер (13 января 2018 г.). «Применение формализма Келдыша к моделированию и анализу квантовых устройств» (PDF) . nanoHUB . Получено 18 июня 2018 г. .
4. Каменев, Алекс (11 декабря 2004 г.). "Многочастичная теория неравновесных систем". arXiv : cond-mat/0412296 .
5. Кита, Такафуми (2010). «Введение в неравновесную статистическую механику с квантовым полем». Progress of Theoretical Physics . 123 (4): 581–658. arXiv : 1005.0393 . Bibcode : 2010PThPh.123..581K. doi : 10.1143/PTP.123.581. S2CID  119165404.
6. Ryndyk, DA; Gutiérrez, R.; Song, B.; Cuniberti, G. (2009). "Green Function Techniques in the Treatment of Quantum Transport at the Molecular Scale". Energy Transfer Dynamics in Biomaterial Systems . Springer Series in Chemical Physics. Vol. 93. Springer Verlag. pp. 213–335. arXiv : 0805.0628 . Bibcode :2009SSCP...93..213R. doi :10.1007/978-3-642-02306-4_9. ISBN 9783642023057. S2CID  118343568.
7. Gen, Tattooa; Kohno, Hiroshi; Shibata, Junya (2008). «Микроскопический подход к динамике доменной стенки, управляемой током». Physics Reports . 468 (6): 213–301. arXiv : 0807.2894 . Bibcode :2008PhR...468..213T. doi :10.1016/j.physrep.2008.07.003. S2CID  119257806.
8. Джанлука Стефануччи и Роберт ван Леувен (2013). «Неравновесная теория многих тел квантовых систем: современное введение» (Cambridge University Press, 2013). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781139023979
9. Роберт ван Леувен, Нильс Эрик Дален, Джанлука Стефануччи, Карл-Олоф Альмблад и Ульф фон Барт, «Введение в формализм Келдыша», Lectures Notes in Physics 706 , 33 (2006). arXiv:cond-mat/0506130