Теорема Вика

Теорема о сокращении производных высшего порядка

Теорема Вика — это метод сведения производных высокого порядка к задаче комбинаторики . ^[1] Она названа в честь итальянского физика Джан-Карло Вика . ^[2] Она широко используется в квантовой теории поля для сведения произвольных произведений операторов рождения и уничтожения к суммам произведений пар этих операторов. Это позволяет использовать методы функций Грина и, следовательно, использовать диаграммы Фейнмана в изучаемой области. Более общей идеей в теории вероятностей является теорема Иссерлиса .

В пертурбативной квантовой теории поля теорема Вика используется для быстрой переписывания каждого упорядоченного по времени слагаемого в ряду Дайсона как суммы нормально упорядоченных членов. В пределе асимптотически свободных входящих и исходящих состояний эти члены соответствуют диаграммам Фейнмана .

Определение сокращения

Для двух операторов и мы определяем их сокращение как ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{\bullet }\,{\hat {B}}^{\bullet }\equiv {\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}}}$

где обозначает нормальный порядок оператора . В качестве альтернативы, сокращения могут быть обозначены линией, соединяющей и , например . ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\overset {\sqcap }{{\hat {A}}{\hat {B}}}}}$

Мы подробно рассмотрим четыре особых случая, когда и равны операторам рождения и уничтожения. Для частиц мы обозначим операторы рождения через , а операторы уничтожения через . Они удовлетворяют коммутационным соотношениям для бозонных операторов или антикоммутационным соотношениям для фермионных операторов , где обозначает дельта Кронекера , а обозначает оператор тождества. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3,\ldots ,N)}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$ ${\displaystyle \{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {1} }}}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$

где . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$

Эти соотношения справедливы для бозонных операторов или фермионных операторов из-за способа определения нормального порядка.

Примеры

Мы можем использовать сокращения и нормальное упорядочение, чтобы выразить любой продукт операторов создания и уничтожения как сумму нормально упорядоченных членов. Это основа теоремы Вика. Прежде чем полностью сформулировать теорему, рассмотрим несколько примеров.

Предположим, что и являются бозонными операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям : ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right]=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}}$

где , обозначает коммутатор , а — символ Кронекера. ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Мы можем использовать эти соотношения и приведенное выше определение сокращения, чтобы выразить произведения и другими способами. ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$

Пример 1

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }}$

Обратите внимание, что мы не изменили , а просто переформулировали это в другой форме: ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }}$

Пример 2

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}){\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }{\hat {a}}_{k}=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}\,{\mathclose {:}}+{\mathclose {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}{\mathclose {:}}}$

Пример 3

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij})({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl})}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{il}){\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{k}+\delta _{il}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle =\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet \bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet \bullet }{\mathclose {:}}}$

В последней строке мы использовали разное количество символов для обозначения различных сокращений. Повторное применение коммутационных соотношений требует много работы для выражения в виде суммы нормально упорядоченных произведений. Для более сложных произведений это еще более долгий расчет. ${\displaystyle ^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }}$

К счастью, теорема Вика предлагает короткий путь.

Формулировка теоремы

Произведение операторов создания и уничтожения можно выразить как ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet \bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet }{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\ldots \end{aligned}}}$

Другими словами, строку операторов создания и уничтожения можно переписать как нормально-упорядоченное произведение строки, плюс нормально-упорядоченное произведение после всех одинарных сокращений среди пар операторов, плюс все двойные сокращения и т. д., плюс все полные сокращения.

Применение теоремы к приведенным выше примерам дает гораздо более быстрый способ прийти к окончательным выражениям.

Предупреждение : в терминах в правой части, содержащих несколько сокращений, необходимо соблюдать осторожность, когда операторы фермионные. В этом случае необходимо ввести соответствующий знак минус в соответствии со следующим правилом: переставить операторы (вводя знаки минус всякий раз, когда порядок двух фермионных операторов меняется), чтобы гарантировать, что сокращенные члены являются соседними в строке. Затем можно применить сокращение (см. «Правило C» в статье Вика).

Пример:

Если у нас есть два фермиона ( ) с операторами рождения и уничтожения и ( ), то ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,={}&\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}-{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,+{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что член с сокращениями двух операторов рождения и двух операторов уничтожения не включен, поскольку их сокращения исчезают.

Доказательство

Мы используем индукцию, чтобы доказать теорему для операторов бозонного рождения и уничтожения. Базовый случай тривиален, поскольку существует только одно возможное свертывание: ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+({\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}})={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }}$

В общем случае, единственные ненулевые сокращения существуют между оператором уничтожения слева и оператором создания справа. Предположим, что теорема Вика верна для операторов , и рассмотрим эффект добавления N- го оператора слева от для формирования . По теореме Вика, примененной к операторам, имеем: ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet }{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet \bullet }{\hat {E}}^{\bullet }{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\ldots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}}$является либо оператором создания, либо оператором уничтожения. Если является оператором создания, все указанные выше произведения, такие как , уже нормально упорядочены и не требуют дальнейших манипуляций. Поскольку находится слева от всех операторов уничтожения в , любое сокращение с его участием будет равно нулю. Таким образом, мы можем добавить все сокращения с участием к суммам, не меняя их значения. Следовательно, если является оператором создания, теорема Вика верна для . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$

Теперь предположим, что это оператор уничтожения. Чтобы перейти от левой стороны к правой стороне всех произведений, мы многократно меняем местами с оператором, который находится сразу справа от него (назовем его ), каждый раз применяя для учета некоммутативности. Как только мы это сделаем, все члены будут упорядочены нормально. Все члены, добавленные к суммам путем проталкивания через произведения, соответствуют дополнительным сокращениям, включающим . Следовательно, если это оператор уничтожения, теорема Вика верна для . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {X}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {X}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {X}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$

Мы доказали базовый случай и индукционный шаг, поэтому теорема верна. Вводя соответствующие знаки минус, доказательство можно распространить на фермионные операторы рождения и уничтожения. Теорема, примененная к полям, доказывается по сути тем же способом. ^[3]

Теорема Вика, применяемая к полям

Корреляционная функция, которая появляется в квантовой теории поля, может быть выражена сверткой полевых операторов:

${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\langle 0\mid {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}\mid 0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},}$

где оператор — это сумма, которая не уничтожает состояние вакуума . Что означает, что . Это означает, что есть сокращение по . Обратите внимание, что сокращение упорядоченной по времени строки двух операторов поля — это C-число . ${\displaystyle {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\overline {AB}}={\mathcal {T}}AB-{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}AB{\mathclose {:}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}AB}$

В конце концов мы приходим к теореме Вика:

T-произведение упорядоченной по времени строки свободных полей можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\prod _{k=1}^{m}\phi (x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\sum _{\alpha ,\beta }{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+{}}$

${\displaystyle {\mathcal {}}+\sum _{(\alpha ,\beta ),(\gamma ,\delta )}{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}\;{\overline {\phi (x_{\gamma })\phi (x_{\delta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\cdots .}$

Применяя эту теорему к элементам S-матрицы , мы обнаруживаем, что нормально-упорядоченные члены, действующие на вакуумное состояние, дают нулевой вклад в сумму. Мы заключаем, что m четно и остаются только полностью сжатые члены.

${\displaystyle F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairs} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})}$

${\displaystyle G_{p}^{(n)}=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}{\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {:}}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})\mid 0\right\rangle }$

где p — число полей взаимодействия (или, что то же самое, число взаимодействующих частиц), а n — порядок развития (или число вершин взаимодействия). Например, если ${\displaystyle v=gy^{4}\Rightarrow {\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {:}}}$

Это аналогично соответствующей теореме Иссерлиса в статистике для моментов гауссовского распределения .

Обратите внимание, что это обсуждение ведется в терминах обычного определения нормального порядка, которое подходит для вакуумных ожидаемых значений (VEV) полей. (Теорема Вика обеспечивает способ выражения VEV n полей через VEV двух полей. ^[4] ) Существуют любые другие возможные определения нормального порядка, и теорема Вика верна независимо от этого. Однако теорема Вика упрощает вычисления только в том случае, если определение используемого нормального порядка изменяется в соответствии с типом желаемого ожидаемого значения. То есть мы всегда хотим, чтобы ожидаемое значение нормально упорядоченного произведения было равно нулю. Например, в тепловой теории поля другой тип ожидаемого значения, тепловой след по матрице плотности, требует другого определения нормального порядка . ^[5]

Смотрите также

• Теорема Иссерлиса

Ссылки

1. Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). "Конечномерные диаграммы Фейнмана". Что нового в математике . Американское математическое общество . Получено 23 октября 2007 г.
2. Wick, GC (1950). «Оценка матрицы столкновений». Phys. Rev. 80 ( 2): 268–272. Bibcode :1950PhRv...80..268W. doi :10.1103/PhysRev.80.268.
3. Коулман, Сидней (2019). Квантовая теория поля: Лекции Сиднея Коулмана . World Scientific Publishing. стр. 158.
4. См. также, например: Мринал Дасгупта: Введение в квантовую теорию поля, Лекции, прочитанные в Школе физики высоких энергий RAL, Сомервиль-колледж, Оксфорд, сентябрь 2008 г., раздел 5.1 Теорема Вика (скачана 3 декабря 2012 г.)
5. Эванс, ТС; Стир, ДА (1996). «Теорема Вика при конечной температуре». Nucl. Phys. B . 474 (2): 481–496. arXiv : hep-ph/9601268 . Bibcode :1996NuPhB.474..481E. doi :10.1016/0550-3213(96)00286-6. S2CID  119436816.

Дальнейшее чтение

• Пескин, М.Е .; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Perseus Books.(§4.3)
• Швебер, Сильван С. (1962). Введение в релятивистскую квантовую теорию поля . Нью-Йорк: Harper and Row.(Глава 13, Раздел c)