Нормальный порядок

Тип упорядочения операторов в квантовой теории поля

В квантовой теории поля произведение квантовых полей или, что эквивалентно, их операторы создания и уничтожения обычно называются нормально упорядоченными (также называемыми порядком Вика ), когда все операторы создания находятся слева от всех операторов уничтожения в произведении. Процесс приведения произведения в нормальный порядок называется нормальным упорядочением (также называемым порядком Вика ). Термины антинормальный порядок и антинормальный порядок определяются аналогично, где операторы уничтожения располагаются слева от операторов создания.

Нормальное упорядочение произведения квантовых полей или операторов создания и уничтожения также может быть определено многими другими способами. Какое определение является наиболее подходящим, зависит от ожидаемых значений, необходимых для данного вычисления. Большая часть этой статьи использует наиболее распространенное определение нормального упорядочения, как указано выше, которое подходит при принятии ожидаемых значений с использованием вакуумного состояния операторов создания и уничтожения .

Процесс нормального упорядочения особенно важен для квантово-механического гамильтониана . При квантовании классического гамильтониана существует некоторая свобода в выборе порядка оператора, и этот выбор приводит к различиям в энергии основного состояния . Вот почему этот процесс также можно использовать для устранения бесконечной вакуумной энергии квантового поля.

Обозначение

Если обозначает произвольное произведение операторов создания и/или уничтожения (или, что эквивалентно, квантовых полей), то нормальная упорядоченная форма обозначается как . ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$

Альтернативная запись — . ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}$

Обратите внимание, что нормальное упорядочение — это концепция, которая имеет смысл только для произведений операторов. Попытка применить нормальное упорядочение к сумме операторов бесполезна, поскольку нормальное упорядочение не является линейной операцией.

Бозоны

Бозоны — это частицы, которые удовлетворяют статистике Бозе–Эйнштейна . Теперь мы рассмотрим нормальное упорядочение продуктов операторов рождения и уничтожения бозонов.

Одиночные бозоны

Если начать только с одного типа бозона, то интерес представляют два оператора:

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$: оператор рождения бозона.
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$: оператор уничтожения бозона.

Они удовлетворяют коммутаторному соотношению

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

где обозначает коммутатор . Мы можем переписать последнее как: ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$ ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}$

Примеры

1. Сначала рассмотрим простейший случай. Это нормальный порядок : ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

Выражение не было изменено, поскольку оно уже находится в нормальном порядке — оператор создания уже находится слева от оператора уничтожения . ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}}$ ${\displaystyle ({\hat {b}}^{\dagger })}$ ${\displaystyle ({\hat {b}})}$

2. Более интересным примером является нормальный порядок : ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

Здесь обычная операция упорядочивания изменила порядок членов, поместив их слева от . ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$

Эти два результата можно объединить с коммутационным соотношением, которому подчиняются и , чтобы получить ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.}$

или

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}$

Это уравнение используется при определении сокращений, используемых в теореме Вика .

3. Пример с несколькими операторами:

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}$

4. Простой пример показывает, что нормальный порядок не может быть расширен линейностью от мономов до всех операторов самосогласованным образом. Предположим, что мы можем применить коммутационные соотношения, чтобы получить:

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}.}$

Тогда, по линейности,

${\displaystyle {:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:},}$

противоречие.

Подразумевается, что нормальное упорядочение является линейной функцией не от операторов, а от свободной алгебры, порожденной операторами, т.е. операторы не удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, находясь внутри нормального упорядочения (или любого другого оператора упорядочения, такого как упорядочение по времени и т.д.).

Множественные бозоны

Если теперь рассмотреть различные бозоны, то есть операторы: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$: оператор рождения бозона. ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$: оператор уничтожения бозона. ${\displaystyle i^{th}}$

Здесь . ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

где и обозначает символ Кронекера . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Их можно переписать так:

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}$

Примеры

1. Для двух различных бозонов ( ) имеем ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

2. Для трех различных бозонов ( ) имеем ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

Обратите внимание, что (в силу коммутационных соотношений) порядок, в котором мы записываем операторы уничтожения, не имеет значения. ${\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

Бозонные операторные функции

Нормальное упорядочение функций бозонного оператора с оператором числа занятости может быть достигнуто с использованием (убывающих) факториальных степеней и рядов Ньютона вместо рядов Тейлора : Легко показать ^[1] , что факториальные степени равны нормально упорядоченным (сырым) степеням и, следовательно, являются нормально упорядоченными по построению, ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{k}}$

${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}$

так что разложение в ряд Ньютона

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}$

операторной функции , с -й прямой разностью в , всегда упорядочена нормально. Здесь уравнение собственных значений связывает и . ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle n}$

Как следствие, нормально-упорядоченный ряд Тейлора произвольной функции равен ряду Ньютона ассоциированной функции , удовлетворяя условию ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}$

если коэффициенты ряда Тейлора для , с непрерывным , совпадают с коэффициентами ряда Ньютона для , с целым , ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}$

с -й частной производной при . Функции и связаны через так называемое преобразование нормального порядка согласно ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}}$

что можно выразить через преобразование Меллина , подробности см. в ^{[1] .} ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Фермионы

Фермионы — это частицы, которые удовлетворяют статистике Ферми–Дирака . Теперь мы рассмотрим нормальное упорядочение фермионных операторов рождения и уничтожения.

Одиночные фермионы

Для одного фермиона интерес представляют два оператора:

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$: оператор рождения фермиона.
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$: оператор уничтожения фермиона.

Они удовлетворяют антикоммутаторным соотношениям

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

где обозначает антикоммутатор . Их можно переписать как ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$

${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}$

Для определения нормального порядка произведения фермионных операторов рождения и уничтожения мы должны учесть количество перестановок между соседними операторами. Мы получаем знак минус для каждой такой перестановки.

Примеры

1. Начнем снова с простейших случаев:

${\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

Это выражение уже в нормальном порядке, поэтому ничего не меняется. В обратном случае мы вводим знак минус, поскольку нам нужно изменить порядок двух операторов:

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

Их можно объединить вместе с антикоммутационными соотношениями, чтобы показать

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:}$

или

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}$

Это уравнение, которое имеет ту же форму, что и бозонный случай выше, используется при определении сокращений, используемых в теореме Вика .

2. Нормальный порядок любых более сложных случаев дает ноль, поскольку будет по крайней мере один оператор создания или уничтожения, появляющийся дважды. Например:

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

Множественные фермионы

Для различных фермионов существуют операторы: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$: оператор рождения фермиона. ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$: оператор уничтожения фермиона. ${\displaystyle i^{th}}$

Здесь . ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

Они удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

где и обозначает символ Кронекера . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Их можно переписать так:

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}$

При вычислении нормального порядка произведений фермионных операторов мы должны учитывать количество перестановок соседних операторов, необходимых для перестановки выражения. Это как если бы мы притворялись, что операторы рождения и уничтожения антикоммутируют, а затем переупорядочиваем выражение так, чтобы операторы рождения находились слева, а операторы уничтожения — справа, все время принимая во внимание антикоммутационные соотношения.

Примеры

1. Для двух различных фермионов ( ) имеем ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Здесь выражение уже упорядочено нормально, поэтому ничего не меняется.

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Здесь мы вводим знак минус, поскольку мы поменяли местами два оператора.

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Обратите внимание, что порядок, в котором мы записываем операторы, здесь, в отличие от бозонного случая, имеет значение .

2. Для трех различных фермионов ( ) имеем ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

Обратите внимание, что в данном случае (в силу антикоммутационных соотношений) порядок, в котором мы записываем операторы, имеет значение . ${\displaystyle {\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

Аналогично у нас есть

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}$

Использование в квантовой теории поля

Ожидаемое значение вакуума нормального упорядоченного произведения операторов создания и уничтожения равно нулю. Это происходит потому, что, обозначая вакуумное состояние как , операторы создания и уничтожения удовлетворяют ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0}$

(здесь и — операторы рождения и уничтожения (бозонные или фермионные)). ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

Пусть обозначает непустое произведение операторов создания и уничтожения. Хотя это может удовлетворять ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,}$

у нас есть

${\displaystyle \langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.}$

Нормально упорядоченные операторы особенно полезны при определении квантово-механического гамильтониана . Если гамильтониан теории находится в нормальном порядке, то энергия основного состояния будет равна нулю: . ${\displaystyle \langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0}$

Свободные поля

С двумя свободными полями φ и χ,

${\displaystyle :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }$

где снова вакуумное состояние. Каждый из двух членов в правой части обычно взрывается в пределе, когда y приближается к x, но разница между ними имеет четко определенный предел. Это позволяет нам определить :φ(x)χ(x):. ${\displaystyle |0\rangle }$

Теорема Вика

Теорема Вика устанавливает связь между упорядоченным по времени произведением полей и суммой нормально упорядоченных произведений. Это может быть выражено даже как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}$

где суммирование ведется по всем различным способам, которыми можно объединить поля в пары. Результат для нечетных выглядит так же, за исключением последней строки, которая читается как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}$

Эта теорема предоставляет простой метод вычисления вакуумных средних значений упорядоченных по времени произведений операторов и послужила мотивацией для введения нормального порядка.

Альтернативные определения

Наиболее общее определение нормального порядка включает в себя разделение всех квантовых полей на две части (например, см. Evans and Steer 1996) . В произведении полей поля разделяются на две части, и части перемещаются так, чтобы всегда находиться слева от всех частей. В обычном случае, рассматриваемом в оставшейся части статьи, содержит только операторы создания, в то время как содержит только операторы уничтожения. Поскольку это математическое тождество, можно разделить поля любым удобным способом. Однако для того, чтобы это была полезная процедура, требуется, чтобы нормально упорядоченное произведение любой комбинации полей имело нулевое математическое ожидание ${\displaystyle \phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$

${\displaystyle \langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0}$

Для практических вычислений также важно, что все коммутаторы (антикоммутаторы для фермионных полей) всех и являются c-числами. Эти два свойства означают, что мы можем применять теорему Вика обычным способом, превращая ожидаемые значения упорядоченных по времени произведений полей в произведения пар c-чисел, контракции. В этой обобщенной постановке контракция определяется как разность между упорядоченным по времени произведением и нормальным упорядоченным произведением пары полей. ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

Простейший пример можно найти в контексте тепловой квантовой теории поля (Эванс и Стир, 1996). В этом случае ожидаемые значения, представляющие интерес, являются статистическими ансамблями, следами по всем состояниям, взвешенными по . Например, для одного бозонного квантового гармонического осциллятора мы имеем, что тепловое ожидание числового оператора — это просто распределение Бозе–Эйнштейна ${\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}})}$

${\displaystyle \langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}}$

Итак, здесь оператор числа упорядочен нормально в обычном смысле, используемом в остальной части статьи, однако его тепловые ожидаемые значения не равны нулю. Применение теоремы Вика и выполнение вычислений с обычным нормальным порядком в этом тепловом контексте возможно, но вычислительно непрактично. Решение состоит в определении другого порядка, так что и являются линейными комбинациями исходных операторов уничтожения и создания. Комбинации выбираются так, чтобы гарантировать, что тепловые ожидаемые значения нормально упорядоченных продуктов всегда равны нулю, поэтому выбранное разделение будет зависеть от температуры. ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

Ссылки

1. König, Jürgen; Hucht, Alfred (2021-01-13). "Разложение бозонных операторных функций в ряд Ньютона". SciPost Physics . 10 (1). Название SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Bibcode :2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN  2542-4653. S2CID  221293056.

• Ф. Мандл, Г. Шоу, Квантовая теория поля, John Wiley & Sons, 1984.
• С. Вайнберг, Квантовая теория полей (том I) Cambridge University Press (1995)
• TS Evans, DA Steer, Теорема Вика при конечной температуре, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268