Статистика Бозе-Эйнштейна

Описание поведения бозонов

В квантовой статистике статистика Бозе-Эйнштейна ( статистика B–E ) описывает один из двух возможных способов, с помощью которых совокупность невзаимодействующих идентичных частиц может занимать набор доступных дискретных энергетических состояний в термодинамическом равновесии . Агрегация частиц в одном и том же состоянии, которая является характеристикой частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, объясняет сплоченное течение лазерного света и бесфрикционное скольжение сверхтекучего гелия . Теория этого поведения была разработана (1924–25) Сатьендра Натом Бозе , который осознал, что совокупность идентичных и неразличимых частиц может быть распределена таким образом. Позднее эта идея была принята и расширена Альбертом Эйнштейном в сотрудничестве с Бозе.

Статистика Бозе-Эйнштейна применима только к частицам, которые не следуют ограничениям принципа исключения Паули . Частицы, которые следуют статистике Бозе-Эйнштейна, называются бозонами , которые имеют целые значения спина . Напротив, частицы, которые следуют статистике Ферми-Дирака, называются фермионами и имеют полуцелые спины.

Равновесные тепловые распределения для частиц с целым спином (бозоны), полуцелым спином (фермионы) и классических (бесспиновых) частиц. Средняя занятость показана в зависимости от энергии относительно химического потенциала системы , где — температура системы, а — постоянная Больцмана. ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

Распределение Бозе-Эйнштейна

При низких температурах бозоны ведут себя иначе, чем фермионы (которые подчиняются статистике Ферми–Дирака ), так что неограниченное их количество может «сконденсироваться» в одно и то же энергетическое состояние. Это, по-видимому, необычное свойство также приводит к особому состоянию материи – конденсату Бозе–Эйнштейна . Статистики Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна применяются, когда важны квантовые эффекты , а частицы « неразличимы ». Квантовые эффекты возникают, если концентрация частиц удовлетворяет , где N – число частиц, V – объем, а n _q – квантовая концентрация , для которой межчастичное расстояние равно тепловой длине волны де Бройля , так что волновые функции частиц едва перекрываются. $${\displaystyle {\frac {N}{V}}\geq n_{\text{q}},}$$

Статистика Ферми–Дирака применяется к фермионам (частицам, которые подчиняются принципу исключения Паули ), а статистика Бозе–Эйнштейна применяется к бозонам . Поскольку квантовая концентрация зависит от температуры, большинство систем при высоких температурах подчиняются классическому пределу (Максвелла–Больцмана), если только они не имеют очень высокой плотности, как у белого карлика . И Ферми–Дирак, и Бозе–Эйнштейн становятся статистикой Максвелла–Больцмана при высокой температуре или при низкой концентрации.

Статистика Бозе-Эйнштейна была введена для фотонов в 1924 году Бозе и обобщена на атомы Эйнштейном в 1924–1925 годах.

Ожидаемое число частиц в энергетическом состоянии i для статистики Бозе-Эйнштейна равно:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}}$

при ε _i > μ и где n _i — число заполнения (число частиц) в состоянии i , — кратность вырождения уровня энергии i , ε _i — энергия i - го состояния, μ — химический потенциал (нуль для фотонного газа ), k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура . ${\displaystyle g_{i}}$

Дисперсия этого распределения рассчитывается непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа. ^[1] ${\displaystyle V(n)}$ $${\displaystyle V(n)=kT{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}=\langle n\rangle (1+\langle n\rangle )={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$$

Для сравнения, среднее число фермионов с энергией, заданной распределением частиц по энергии Ферми–Дирака, имеет аналогичный вид: ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ $${\displaystyle {\bar {n}}_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

Как упоминалось выше, как распределение Бозе-Эйнштейна, так и распределение Ферми-Дирака приближаются к распределению Максвелла-Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц, без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе низкой плотности частиц, , следовательно, или, что эквивалентно , . В этом случае, , что является результатом статистики Максвелла–Больцмана. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}$
• В пределе высокой температуры частицы распределены по большому диапазону значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетических с ) снова очень мала, . Это снова сводится к статистике Максвелла–Больцмана. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$

Помимо сведения к распределению Максвелла–Больцмана в пределе высокой и низкой плотности, статистика Бозе–Эйнштейна также сводится к распределению закона Рэлея–Джинса для состояний с низкой энергией с , а именно ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \ll k_{\text{B}}T}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}\\&\approx {\frac {g_{i}}{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}={\frac {g_{i}k_{\text{B}}T}{\varepsilon _{i}-\mu }}.\end{aligned}}}$$

История

В 1911 году Владислав Натансон пришёл к выводу, что закон Планка требует неразличимости «единиц энергии», хотя он и не формулировал это в терминах квантов света Эйнштейна. ^{[2] [3]}

Во время выступления с лекцией в Университете Дакки (тогда Британская Индия , а сейчас Бангладеш ) по теории излучения и ультрафиолетовой катастрофе , Сатьендра Нат Бозе намеревался показать своим студентам, что современная теория неадекватна, поскольку она предсказывает результаты, не соответствующие экспериментальным результатам. Во время этой лекции Бозе допустил ошибку в применении теории, которая неожиданно дала предсказание, согласующееся с экспериментом. Ошибка была простой ошибкой — похожей на утверждение, что подбрасывание двух честных монет даст два орла в одной трети случаев — что показалось бы очевидно неправильным любому человеку с базовыми знаниями статистики (примечательно, что эта ошибка напоминала знаменитую ошибку Даламбера, известную из его статьи Croix ou Pile ^{[4] [5]} ). Однако предсказанные ею результаты согласовались с экспериментом, и Бозе понял, что это, возможно, не ошибка. Впервые он занял позицию, что распределение Максвелла–Больцмана не будет верным для всех микроскопических частиц во всех масштабах. Таким образом, он изучал вероятность нахождения частиц в различных состояниях в фазовом пространстве, где каждое состояние представляет собой небольшой участок с фазовым объемом h ³ , а положение и импульс частиц не сохраняются как-то по отдельности, а рассматриваются как одна переменная.

Бозе адаптировал эту лекцию в короткую статью под названием «Закон Планка и гипотеза световых квантов» ^{[6] [7]} и отправил ее в Philosophical Magazine . Однако рецензент дал отрицательный отзыв, и статья была отклонена. Не смутившись, он отправил рукопись Альберту Эйнштейну с просьбой опубликовать ее в Zeitschrift für Physik . Эйнштейн немедленно согласился, лично перевел статью с английского на немецкий (Боз ранее перевел статью Эйнштейна об общей теории относительности с немецкого на английский) и позаботился о том, чтобы она была опубликована. Теория Бозе обрела уважение, когда Эйнштейн отправил свою собственную статью в поддержку Бозе в Zeitschrift für Physik с просьбой опубликовать их вместе. Статья вышла в 1924 году. ^[8]

Причина, по которой Бозе дал точные результаты, заключалась в том, что, поскольку фотоны неотличимы друг от друга, нельзя рассматривать любые два фотона с одинаковыми квантовыми числами (например, поляризацией и вектором импульса) как два отдельных идентифицируемых фотона. Первоначально Бозе имел множитель 2 для возможных состояний спина, но Эйнштейн изменил его на поляризацию. ^[9] По аналогии, если бы в альтернативной вселенной монеты вели себя как фотоны и другие бозоны, вероятность появления двух орлов действительно была бы одной третьей, как и вероятность появления орла и решки, которая равна половине для обычных (классических, различимых) монет. «Ошибка» Бозе приводит к тому, что сейчас называется статистикой Бозе–Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн распространили эту идею на атомы, и это привело к предсказанию существования явления, которое стало известно как конденсат Бозе-Эйнштейна, плотная совокупность бозонов (частиц с целым спином, названных в честь Бозе), существование которой было экспериментально продемонстрировано в 1995 году.

Вывод

Вывод из микроканонического ансамбля

В микроканоническом ансамбле рассматривается система с фиксированной энергией, объемом и числом частиц. Мы берем систему, состоящую из идентичных бозонов, которые имеют энергию и распределены по уровням или состояниям с одинаковой энергией , т.е. вырождение, связанное с энергией полной энергии . Расчет числа расположений частиц, распределенных по состояниям, является задачей комбинаторики . Поскольку частицы здесь неразличимы в квантово-механическом контексте, число способов расположения частиц в ящиках (для го уровня энергии) будет (см. изображение): ${\textstyle N=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\textstyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Изображение представляет собой одно из возможных распределений бозонных частиц в различных ящиках. Разделители ящиков (зеленые) можно перемещать, чтобы изменять размер ящиков и, как результат, количество бозонов, которые может содержать каждый ящик.

$${\displaystyle w_{i,{\text{BE}}}={\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}=C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1},}$$где k - комбинация набора с m элементами. Общее число расположений в ансамбле бозонов - это просто произведение биномиальных коэффициентов, приведенных выше, по всем уровням энергии, т.е. ${\displaystyle C_{k}^{m}}$ ${\displaystyle C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1}}$ $${\displaystyle W_{\text{BE}}=\prod _{i}w_{i,{\text{BE}}}=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{(g_{i}-1)!n_{i}!}},}$$

Максимальное число расположений, определяющее соответствующее число заполнения, получается путем максимизации энтропии или, что эквивалентно, путем задания и учета дополнительных условий (как множителей Лагранжа ). ^[10] Результатом для , , является распределение Бозе-Эйнштейна. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (\ln W_{\text{BE}})=0}$ ${\textstyle N=\sum n_{i},E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle g_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle n_{i}/g_{i}=O(1)}$

Вывод из большого канонического ансамбля

Распределение Бозе-Эйнштейна, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих бозонов, естественным образом выводится из большого канонического ансамбля без каких-либо приближений. ^[11] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ фиксируются резервуаром).

Благодаря невзаимодействующему качеству каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему в контакте с резервуаром. То есть, число частиц в общей системе , которые занимают данное одночастичное состояние, образуют подансамбль, который также является большим каноническим ансамблем; следовательно, его можно проанализировать посредством построения большой статистической суммы .

Каждое одночастичное состояние имеет фиксированную энергию, . Поскольку подансамбль, связанный с одночастичным состоянием, изменяется только числом частиц, ясно, что полная энергия подансамбля также прямо пропорциональна числу частиц в одночастичном состоянии; где — число частиц, тогда полная энергия подансамбля будет . Начиная со стандартного выражения для большой статистической суммы и заменяя на , большая статсумма принимает вид ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$ $${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N}\exp((N\mu -N\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N}\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}$$

Эта формула применима как к фермионным, так и к бозонным системам. Статистика Ферми–Дирака возникает при рассмотрении эффекта принципа исключения Паули : в то время как число фермионов, занимающих одно и то же одночастичное состояние, может быть равно либо 1, либо 0, число бозонов, занимающих одночастичное состояние, может быть любым целым числом. Таким образом, большую статистическую сумму для бозонов можно считать геометрическим рядом и можно оценить следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)]^{N}\\&={\frac {1}{1-\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}}.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что геометрический ряд сходится только если , включая случай, когда . Это подразумевает, что химический потенциал для бозе-газа должен быть отрицательным, т. е. , тогда как ферми-газ может принимать как положительные, так и отрицательные значения для химического потенциала. ^[12] ${\displaystyle e^{(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T}<1}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \mu <0}$

Среднее число частиц для этого одночастичного подсостояния определяется как Этот результат применим к каждому одночастичному уровню и, таким образом, формирует распределение Бозе-Эйнштейна для всего состояния системы. ^{[13] [14]} $${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\text{B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1}}}$$

Дисперсия числа частиц равна: ${\textstyle \sigma _{N}^{2}=\langle N^{2}\rangle -\langle N\rangle ^{2}}$ $${\displaystyle \sigma _{N}^{2}=k_{\text{B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}={\frac {\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)}{(\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1)^{2}}}=\langle N\rangle (1+\langle N\rangle ).}$$

В результате для высокозанятых состояний стандартное отклонение числа частиц на энергетическом уровне очень велико, немного больше самого числа частиц: . Эта большая неопределенность обусловлена ​​тем фактом, что распределение вероятностей для числа бозонов на данном энергетическом уровне является геометрическим распределением ; несколько противоречащее интуиции, наиболее вероятное значение для N всегда равно 0. (В отличие от этого, классические частицы имеют вместо этого распределение Пуассона по числу частиц для данного состояния с гораздо меньшей неопределенностью , и с наиболее вероятным значением N, близким к .) ${\displaystyle \sigma _{N}\approx \langle N\rangle }$ ${\textstyle \sigma _{N,{\rm {classical}}}={\sqrt {\langle N\rangle }}}$ ${\displaystyle \langle N\rangle }$

Вывод в каноническом подходе

Также возможно вывести приближенную статистику Бозе-Эйнштейна в каноническом ансамбле . Эти выводы длинны и дают вышеуказанные результаты только в асимптотическом пределе большого числа частиц. Причина в том, что общее число бозонов фиксировано в каноническом ансамбле. Распределение Бозе-Эйнштейна в этом случае может быть выведено, как в большинстве текстов, путем максимизации, но математически лучшим выводом является метод Дарвина-Фаулера средних значений, как подчеркнул Дингл. ^[15] См. также Мюллер-Кирстен. ^[10] Однако флуктуации основного состояния в конденсированной области заметно различаются в каноническом и большом каноническом ансамблях. ^[16]

Вывод

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом , каждый уровень имеет энергию и содержит общее количество частиц. Предположим, что каждый уровень содержит различные подуровни, все из которых имеют одинаковую энергию и которые различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы, в этом случае они различимы друг от друга, но при этом они могут иметь одинаковую энергию. Значение , связанное с уровнем, называется «вырождением» этого уровня энергии. Любое количество бозонов может занимать один и тот же подуровень. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Пусть — число способов распределения частиц по подуровням энергетического уровня. Существует только один способ распределения частиц с одним подуровнем, поэтому . Легко видеть, что существуют способы распределения частиц по двум подуровням, которые мы запишем как: ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w(n,1)=1}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

Немного поразмыслив (см. Примечания ниже), можно увидеть, что число способов распределения частиц по трем подуровням таково, что мы использовали следующую теорему с биномиальными коэффициентами : ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$ $${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

Продолжая этот процесс, мы видим, что это просто биномиальный коэффициент (см. примечания ниже). ${\displaystyle w(n,g)}$ $${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

Например, числа заселенности для двух частиц на трех подуровнях составляют 200, 110, 101, 020, 011 или 002, что в сумме составляет шесть, что равно 4!/(2!2!). Число способов, которыми может быть реализован набор чисел заселения, является произведением способов, которыми может быть заселен каждый отдельный энергетический уровень: где приближение предполагает, что . ${\displaystyle n_{i}}$ $${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла–Больцмана , мы хотим найти набор , для которого W максимизируется, при условии, что общее число частиц и общая энергия фиксированы. Максимумы и достигаются при одном и том же значении и, поскольку это проще сделать математически, мы вместо этого максимизируем последнюю функцию. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \ln(W)}$ ${\displaystyle n_{i}}$ $${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

Используя приближение и приближение Стирлинга для факториалов, получаем где K — сумма ряда членов, которые не являются функциями . Взяв производную по , приравняв результат к нулю и решив для , получаем популяционные числа Бозе–Эйнштейна: ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$ $${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K,}$$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

Используя процесс, аналогичный описанному в статье о статистике Максвелла–Больцмана , можно увидеть, что: что, используя знаменитое соотношение Больцмана, становится утверждением второго закона термодинамики при постоянном объеме, и из этого следует, что и где S — энтропия , — химический потенциал , k _B — постоянная Больцмана , а T — температура , так что в итоге: $${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$ ${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

Обратите внимание, что приведенную выше формулу иногда записывают так: где — абсолютная активность , как отметил Маккуорри. ^[17] $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$ ${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$

Также обратите внимание, что когда число частиц не сохраняется, снятие ограничения сохранения числа частиц эквивалентно установке и, следовательно, химического потенциала на ноль. Это будет иметь место для фотонов и массивных частиц, находящихся во взаимном равновесии, и результирующее распределение будет распределением Планка . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$

Примечания

Гораздо более простой способ думать о функции распределения Бозе-Эйнштейна — считать, что n частиц обозначены идентичными шарами, а g оболочек отмечены g-1 линейными разбиениями. Очевидно, что перестановки этих n шаров и g − 1 разбиений дадут различные способы расположения бозонов на разных энергетических уровнях. Скажем, для 3 (=  n ) частиц и 3 (=  g ) оболочек, следовательно, ( g − 1) = 2 , расположение может быть |●●|● , или ||●●● , или |●|●● и т. д. Следовательно, количество различных перестановок n + ( g − 1) объектов, которые имеют n идентичных элементов и ( g  − 1) идентичных элементов, будет: $${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

На рисунке показано наглядное представление одного из таких распределений n частиц в g ящиках, которое можно представить в виде g − 1 разбиений.

Изображение представляет собой одно из возможных распределений бозонных частиц в различных ящиках. Разделители ящиков (зеленые) можно перемещать, чтобы изменять размер ящиков и, как результат, количество бозонов, которые может содержать каждый ящик.

ИЛИ

Целью этих заметок является разъяснение некоторых аспектов вывода распределения Бозе-Эйнштейна для начинающих. Перечисление случаев (или путей) в распределении Бозе-Эйнштейна можно переформулировать следующим образом. Рассмотрим игру в бросание игральных костей, в которой есть игральные кости, каждая из которых принимает значения из набора , для . Ограничения игры состоят в том, что значение игральной кости , обозначенное , должно быть больше или равно значению игральной кости , обозначенной , в предыдущем броске, т. е . . Таким образом, допустимая последовательность бросков игральных костей может быть описана n -кортежем , таким образом, что . Пусть обозначает множество этих допустимых n -кортежей: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle m_{i-1}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Тогда величина (определенная выше как число способов распределения частиц по подуровням энергетического уровня) является мощностью , т.е. числом элементов (или допустимых n -кортежей) в . Таким образом, проблема нахождения выражения для становится проблемой подсчета элементов в . ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Пример n = 4, g = 3: (есть элементы в ) $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$ $${\displaystyle w(4,3)=15}$$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

Подмножество получается путем фиксации всех индексов на , за исключением последнего индекса, , который увеличивается с до . Подмножество получается путем фиксации и увеличения с до . Из-за ограничения на индексы в , индекс должен автоматически принимать значения в . Построение подмножеств и происходит таким же образом. ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle m_{4}}$ ${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$ ${\displaystyle (c)}$ ${\displaystyle (d)}$

Каждый элемент можно рассматривать как мультимножество мощности ; элементы такого мультимножества берутся из множества мощности , а количество таких мультимножеств является коэффициентом мультимножества ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle g=3}$ $${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

В более общем смысле, каждый элемент представляет собой мультимножество мощности (числа игральных костей) с элементами, взятыми из множества мощности (числа возможных значений каждой игральной кости), а число таких мультимножеств, т.е. является коэффициентом мультимножества ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w(n,g)}$

что в точности совпадает с формулой для , выведенной выше с помощью теоремы, включающей биномиальные коэффициенты, а именно ${\displaystyle w(n,g)}$

Чтобы понять разложение

или например, и ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle g=3}$ $${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

давайте переставим элементы следующим образом ${\displaystyle S(4,3)}$ $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

Очевидно, что подмножество совпадает с множеством ${\displaystyle (\alpha )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ $${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

Удалив индекс (показан красным цветом с двойным подчеркиванием ) в подмножестве , получаем множество ${\displaystyle m_{4}=3}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ $${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

Другими словами, существует однозначное соответствие между подмножеством и множеством . Запишем ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle S(3,2)}$ $${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

Аналогично легко видеть, что $${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$ $${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$ $${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

Таким образом, мы можем записать или, в более общем виде, $${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$

и поскольку множества не пересекаются, то мы имеем $${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$

с соглашением, что

Продолжая процесс, приходим к следующей формуле. Используя соглашение (7) ₂ выше, получаем формулу $${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$

имея в виду, что для и будучи константами, имеем ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Затем можно проверить, что (8) и (2) дают одинаковый результат для , , , и т.д. ${\displaystyle w(4,3)}$ ${\displaystyle w(3,3)}$ ${\displaystyle w(3,2)}$

Междисциплинарные приложения

Рассматриваемое как чистое распределение вероятностей , распределение Бозе-Эйнштейна нашло применение в других областях:

• В последние годы статистика Бозе-Эйнштейна также использовалась в качестве метода взвешивания терминов при поиске информации . Этот метод является одним из набора моделей DFR («Divergence From Randomness»), ^[18] основная идея заключается в том, что статистика Бозе-Эйнштейна может быть полезным индикатором в случаях, когда конкретный термин и конкретный документ имеют значительную связь, которая не могла бы возникнуть чисто случайно. Исходный код для реализации этой модели доступен в проекте Terrier в Университете Глазго.
• Эволюция многих сложных систем, включая Всемирную паутину , бизнес и сети цитирования, закодирована в динамической сети, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Несмотря на свою необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут подвергаться конденсации Бозе–Эйнштейна. Рассмотрение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что явления «преимущество первого хода», «подгонка-разбогатение» (FGR) и «победитель получает все», наблюдаемые в конкурентных системах, являются термодинамически различными фазами базовых эволюционирующих сетей. ^[19]

Смотрите также

• Корреляции Бозе-Эйнштейна
• Конденсат Бозе-Эйнштейна
• Бозе-газ
• Эйнштейн твердое тело
• бозон Хиггса
• Парастатистика
• Закон Планка об излучении черного тела
• Сверхпроводимость
• Статистика Ферми-Дирака
• Статистика Максвелла-Больцмана
• Уравнение Компанейца

Примечания

1. Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание. Graduate Texts in Physics. Springer. doi :10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47324-2.
2. Джеммер, Макс (1966). Концептуальное развитие квантовой механики . McGraw-Hill. стр. 51. ISBN 0-88318-617-9.
3. Пассон, Оливер; Гребе-Эллис, Йоханнес (2017-05-01). «Закон излучения Планка, квант света и предыстория неразличимости в преподавании квантовой механики». European Journal of Physics . 38 (3): 035404. arXiv : 1703.05635 . Bibcode :2017EJPh...38c5404P. doi :10.1088/1361-6404/aa6134. ISSN  0143-0807. S2CID  119091804.
4. Даламбер, Жан (1754). «Крест или куча». L'Encyclopédie (на французском языке). 4 .
5. Д'Аламбер, Жан (1754). "Croix ou pile" (PDF) . Университет Ксавье . Перевод Ричарда Дж. Пульскампа . Получено 14.01.2019 .
6. См. стр. 14, примечание 3, диссертации: Микеланджели, Алессандро (октябрь 2007 г.). Конденсация Бозе–Эйнштейна: анализ проблем и строгие результаты (PDF) (Ph.D.). Международная школа передовых исследований . Архивировано (PDF) из оригинала 3 ноября 2018 г. . Получено 14 февраля 2019 г. .
7. Бозе (2 июля 1924 г.). «Закон Планка и гипотеза квантов света» (PostScript) . Университет Ольденбурга . Получено 30 ноября 2016 г.
8. Бозе (1924), "Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese", Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 26 (1): 178–181, Бибкод : 1924ZPhy...26..178B, doi : 10.1007/BF01327326, S2CID  186235974
9. Гхош, Партха (2023). «История Бозе, спина фотона и неразличимости». arXiv : 2308.01909 [physics.hist-ph].
10. HJW Müller-Kirsten, Основы статистической физики , 2-е изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
11. Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). "Глава 7". Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 9788120327825.
12. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М., Лифшиц, Э. М. и Питаевский, Л. П. (1980). Статистическая физика (т. 5). Pergamon Press.
13. "Глава 6". Статистическая механика . PHI Learning Pvt. Январь 2005. ISBN 9788120327825.
14. Распределение BE можно также вывести из теории теплового поля.
15. Р. Б. Дингл, Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация , Academic Press (1973), стр. 267–271.
16. Ziff RM; Kac, M.; Uhlenbeck, GE (1977). «Идеальный газ Бозе–Эйнштейна, пересмотренный». Physics Reports 32 : 169–248.
17. См. МакКуорри в цитатах.
18. Амати, Г.; К. Дж. Ван Рейсберген (2002). «Вероятностные модели поиска информации, основанные на измерении отклонения от случайности» ACM TOIS 20 (4):357–389.
19. Бьянкони, Г.; Барабаши, А.-Л. (2001). «Конденсация Бозе–Эйнштейна в сложных сетях». Physical Review Letters 86 : 5632–5635.

Ссылки

• Annett, James F. (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучесть и конденсаты . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-850755-0.
• Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Верхняя Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9.
• МакКуорри, Дональд А. (2000). Статистическая механика (1-е изд.). Саусалито, Калифорния: University Science Books. стр. 55. ISBN 1-891389-15-7.