Порядок пути

Процедура заказа продукции операторов

В теоретической физике упорядочение путей — это процедура (или метаоператор ), которая упорядочивает произведение операторов в соответствии со значением выбранного параметра : ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

Здесь p — перестановка , которая упорядочивает параметры по значению:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

Например:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

Во многих областях физики наиболее распространенным типом упорядочения по пути является упорядочение по времени , которое подробно обсуждается ниже.

Примеры

Если оператор не просто выражается как произведение, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить разложение Тейлора этой функции. Это случай петли Вильсона , которая определяется как упорядоченная по пути экспонента , чтобы гарантировать, что петля Вильсона кодирует голономию калибровочной связи . Параметр σ , определяющий упорядочение, является параметром, описывающим контур , и поскольку контур замкнут, петля Вильсона должна быть определена как след, чтобы быть калибровочно-инвариантной .

Время заказа

В квантовой теории поля полезно брать упорядоченное по времени произведение операторов. Эта операция обозначается как . (Хотя ее часто называют «оператором упорядочения по времени», строго говоря, она не является ни оператором состояний, ни супероператором операторов.) ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Для двух операторов A ( x ) и B ( y ), которые зависят от пространственно-временных положений x и y, мы определяем:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

Здесь и обозначают инвариантные скалярные временные координаты точек x и y. ^[1] ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$

Явно у нас есть

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

где обозначает ступенчатую функцию Хевисайда , а зависит от того, являются ли операторы бозонными или фермионными по своей природе. Если бозонные, то всегда выбирается знак +, если фермионные, то знак будет зависеть от количества замен операторов, необходимых для достижения надлежащего временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы здесь не учитываются. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm }$

Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (т.е. не только от времени), эта операция упорядочения по времени не зависит от координат только в том случае, если операторы в пространственно-подобных разделенных точках коммутируют . Вот почему необходимо использовать вместо , поскольку обычно указывает на зависящий от координат временной индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что упорядочение по времени обычно записывается с аргументом времени, увеличивающимся справа налево. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$

В общем случае для произведения n полевых операторов A ₁ ( t ₁ ), …, A _n ( t _n ) упорядоченное по времени произведение операторов определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

где сумма пробегает все p's и симметричную группу перестановок степени n и

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}}$

S -матрица в квантовой теории поля является примером упорядоченного по времени произведения. S-матрица, преобразующая состояние при t = −∞ в состояние при t = +∞ , может также рассматриваться как своего рода « голономия », аналогичная петле Вильсона . Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:

Начнем с этой простой формулы для экспоненты

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

Теперь рассмотрим дискретизированный оператор эволюции

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

где — оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени . Членами более высокого порядка можно пренебречь в пределе . Оператор определяется как ${\displaystyle 1+h_{j}}$ ${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle h_{j}}$

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

Обратите внимание, что операторы эволюции по "прошлым" временным интервалам появляются в правой части произведения. Мы видим, что формула аналогична тождеству выше, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем записать

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

Единственной тонкостью, которую нам пришлось включить, был оператор упорядочения по времени , поскольку факторы в произведении, определяющем S выше, также были упорядочены по времени (а операторы в общем случае не коммутируют), а оператор гарантирует, что этот порядок будет сохранен. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Смотрите также

• Упорядоченная экспоненциальная (по сути та же концепция)
• Серия Дайсон
• Калибровочная теория
• S-матрица

Ссылки

1. Стивен Вайнберг , Квантовая теория полей , т. 3, Cambridge University Press, 1995, ISBN  0-521-55001-7 , стр. 143.