Задача Снеллиуса–Потенота

В тригонометрии задача Снеллиуса –Потенота — это задача, впервые описанная в контексте плоскостной съемки . При наличии трех известных точек $A, B, C$ наблюдатель в неизвестной точке $P$ замечает, что отрезок $AC$ образует угол $α$ , а отрезок $CB$ образует угол β $;$ задача состоит в определении положения точки $P.$ (См. рисунок; точка, обозначенная $C,$ находится между $A$ и $B$ , если смотреть из $P$ ).

Поскольку это предполагает наблюдение известных точек из неизвестной точки, задача является примером резекции . Исторически она была впервые изучена Снеллиусом , который нашел решение около 1615 года.

Формулировка уравнений

Первое уравнение

Обозначая (неизвестные) углы $∠ CAP$ как $x$ и $∠ CBP$ как $y,$ получаем:

$x+y=2\pi -\alpha -\beta -C$

используя формулу суммы углов для четырехугольника $PACB$ . Переменная $C$ представляет собой (известный) внутренний угол в этом четырехугольнике в точке $C.$ (Обратите внимание, что в случае, когда точки $C$ и $P$ находятся по одну сторону от линии $AB$ , угол $∠ C$ будет больше $π$ ).

Второе уравнение

Применяя теорему синусов в треугольниках $△ PAC$ и $△ PBC$ , мы можем выразить $PC$ двумя различными способами:

${\overline {PC}}={\frac {{\overline {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}={\frac {{\overline {BC}}\sin y}{\sin \beta }}.$

Полезным приемом на этом этапе является определение вспомогательного угла $φ$ таким образом, что

$\tan \phi ={\frac {{\rm {BC}}\sin \alpha {{\rm {AC}}\sin \beta }}.$

(Небольшое замечание: следует беспокоиться о делении на ноль, но учтите, что задача симметрична, поэтому если один из двух заданных углов равен нулю, можно, при необходимости, переименовать этот угол $в α$ и назвать другой (ненулевой) угол $β$ , также поменяв роли $A$ и $B.$ Этого будет достаточно, чтобы гарантировать, что указанное выше отношение хорошо определено. Альтернативный подход к задаче нулевого угла приведен в алгоритме ниже.)

При такой замене уравнение становится

${\frac {\sin x}{\sin y}}=\tan \phi .$

Теперь можно использовать два известных тригонометрических тождества , а именно:

$\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}-\phi \right)={\frac {1-\tan \phi }{\tan \phi +1}}\ ,\qquad {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(xy)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {\sin x-\ грех y}{\sin x+\sin y}}\ ,$

если представить это в виде второго уравнения;

$\tan {\tfrac {1}{2}}(xy)=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +C)\tan \left({\tfrac {\ pi }{4}}-\phi \right).$

Теперь эти два уравнения с двумя неизвестными должны быть решены. Как только $x$ и $y$ известны, различные треугольники могут быть решены напрямую, чтобы определить положение $P.$ ^[1] Подробная процедура показана ниже.

Алгоритм решения

Даны две длины $AC, BC$ и три угла $α, β, C.$ Решение осуществляется следующим образом.

рассчитать где — это компьютерная функция, также называемая арктангенсом двух аргументов, которая возвращает арктангенс отношения двух заданных значений. Обратите внимание, что в Microsoft Excel два аргумента поменялись местами, поэтому правильный синтаксис будет . Функция правильно обрабатывает случай, когда один из двух аргументов равен нулю. $\phi ={\mathsf {atan2}}\left({\overline {BC}}\sin \alpha ,\ {\overline {AC}}\sin \beta \right),$ atan2= atan2(AC*\sin(beta), BC*\sin(alpha))atan2
вычислить $K=2\pi -\alpha -\beta -C.$
вычислить $W=2\cdot \arctan \left[\tan({\tfrac {\pi }{4}}-\phi )\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +C)\right].$
находить $x={\frac {K+W}{2}},\ y={\frac {K-W}{2}}.$
находить ${\overline {PC}}={\begin{cases}{\dfrac {{\overline {BC}}\sin y}{\sin \beta }}&{\text{if }}|\sin \beta |>|\sin \alpha |,\\[4pt]{\dfrac {{\overline {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$
найти (Это следует из закона косинусов .) ${\overline {PA}}={\sqrt {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}-2\cdot {\overline {AC}}\cdot {\overline {PC}}\cdot \cos(\pi -\alpha -x)}}.$
находить ${\overline {PB}}={\sqrt {{\overline {BC}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}-2\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {PC}}\cdot \cos(\pi -\beta -y)}}.$

Если координаты и известны в некоторой подходящей декартовой системе координат , то можно найти и координаты точки $P.$ $A:x_{A},y_{A}$ $C:x_{C},y_{C}$

Геометрическое (графическое) решение

По теореме о вписанном угле геометрическое место точек, из которых $AC$ стягивает угол $α$ , представляет собой окружность с центром на средней линии $AC$ ; из центра $O$ этой окружности $AC$ стягивает угол $2 α$ . Аналогично геометрическое место точек, из которых $CB$ стягивает угол $β,$ представляет собой другую окружность. Искомая точка $P$ находится на пересечении этих двух геометрических мест.

Поэтому на карте или морской схеме, показывающей точки $A, B, C$ , можно использовать следующую графическую конструкцию:

Начертим отрезок $AC$ , середину $M$ и среднюю линию, которая пересекает $AC$ перпендикулярно в точке $M.$ На этой прямой найдем точку $O$ такую, что Начертим окружность с центром в точке $O,$ проходящую через $A$ и $C.$ ${\overline {MO}}={\tfrac {\overline {AC}}{2\tan \alpha }}.$
Повторите то же построение с точками $B, C$ и углом $β$ .
Отметьте $точку P$ на пересечении двух окружностей (две окружности пересекаются в двух точках; одна точка пересечения — $C$ , а другая — искомая точка $P$ ).

Этот метод решения иногда называют методом Кассини .

Рациональный тригонометрический подход

Следующее решение основано на статье NJ Wildberger. ^[2] Его преимущество в том, что оно почти чисто алгебраическое. Единственное место, где используется тригонометрия, — это преобразование углов в спреды . Требуется только один квадратный корень .

определить следующее: ${\begin{aligned}&s(x)=\sin ^{2}x\\[4pt]&A(x,y,z)=(x+y+z)^{2}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[2pt]&{\begin{alignedat}{5}r_{1}&=s(\beta )&\qquad Q_{1}&={\overline {BC}}^{2}\\r_{2}&=s(\alpha )&Q_{2}&={\overline {AC}}^{2}\\r_{3}&=s(\alpha +\beta )&Q_{3}&={\overline {AB}}^{2}\end{alignedat}}\end{aligned}}$
теперь пусть: ${\begin{aligned}R_{1}&={\frac {r_{2}Q_{3}}{r_{3}}}\qquad R_{2}={\frac {r_{1}Q_{3}}{r_{3}}}\\[4pt]C_{0}&={\frac {(Q_{1}+Q_{2}+Q_{3})(r_{1}+r_{2}+r_{3})-2(Q_{1}r_{1}+Q_{2}r_{2}+Q_{3}r_{3})}{2r_{3}}}\\[4pt]D_{0}&={\frac {r_{1}r_{2}A(Q_{1},Q_{2},Q_{3})}{r_{3}}}\end{aligned}}$
следующее уравнение дает два возможных значения для $R 3$ : $(R_{3}-C_{0})^{2}=D_{0}$
выбираем большее из этих значений, пусть: ${\begin{aligned}v_{1}&=1-{\frac {(R_{1}+R_{3}-Q_{2})^{2}}{4R_{1}R_{3}}}\\[4pt]v_{2}&=1-{\frac {(R_{2}+R_{3}-Q_{1})^{2}}{4R_{2}R_{3}}}\end{aligned}}$

Вентура и др. ^[3] решают плоскую и трехмерную задачу Снеллиуса-Потенота с помощью векторной геометрической алгебры и конформной геометрической алгебры. Авторы также характеризуют чувствительность решений к ошибкам измерения.

Неопределенный случай

Когда точка $P$ случайно оказывается на той же окружности, что и $A, B, C$ , задача имеет бесконечное число решений; причина в том, что из любой другой точки $P',$ расположенной на дуге $APB$ этой окружности, наблюдатель видит те же углы $α$ и $β,$ что и из $P$ ( теорема о вписанном угле ). Таким образом, решение в этом случае не определяется однозначно.

Круг, проходящий через $ABC,$ известен как "круг опасности", и наблюдения, сделанные на этом круге (или очень близко к нему), следует избегать. Полезно нанести этот круг на карту перед тем, как делать наблюдения.

Теорема о вписанных четырехугольниках полезна для обнаружения неопределенной ситуации. Четырехугольник $APBC$ является вписанным тогда и только тогда, когда пара противоположных углов (например, угол при P и угол при $C$ ) являются дополнительными, то есть тогда и только тогда, когда . Если это условие соблюдается, вычисления на компьютере/в электронной таблице должны быть остановлены и возвращено сообщение об ошибке («неопределенный случай»). $\alpha +\beta +C=k\pi ,(k=1,2,\cdots )$

Решенные примеры

(Адаптировано из Боузера, ^[4] упражнение 140, стр. 203). $A, B, C$ — три объекта, такие, что $AC$ = 435 ( ярдов ), $CB$ = 320 и $∠ C$ = 255,8 градусов. Со станции $P$ видно, что $∠ APC$ = 30 градусов и $∠ CPB$ = 15 градусов. Найдите расстояния $P$ от $A, B, C.$ (Обратите внимание, что в этом случае точки $C$ и $P$ находятся по одну сторону от линии $AB$ , что отличается от конфигурации, показанной на рисунке).

Ответ: $PA$ = 790, $PB$ = 777, $PC$ = 502.

Немного более сложный тестовый случай для компьютерной программы использует те же данные, но на этот раз с $∠ CPB$ = 0. Программа должна вернуть ответы 843, 1157 и 837.

Споры о наименовании

Британский авторитет в области геодезии Джордж Тиррелл Маккоу (1870–1942) писал, что правильным термином в английском языке является Snellius problem , в то время как в континентальной Европе его используют как Snellius-Pothenot . ^[5]

Маккоу считал, что имя Лорана Потенота (1650–1732) не заслуживает включения, поскольку он не внес оригинального вклада, а лишь перефразировал Снеллиуса 75 лет спустя.

Смотрите также

Примечания

^ Боузер: Трактат
^ Норман Дж. Вайлдбергер (2010). «Греческая геометрия, рациональная тригонометрия и геодезическая задача Снеллиуса – Потенота» (PDF) . Chamchuri Journal of Mathematics . 2 (2): 1–14.
^ Вентура, Хорхе; Мартинес, Фернандо; Мансано-Агульяро, Франциско; Наврат, Алеш; Хрдина, Ярослав; Эйд, Ахмад Х.; Монтойя, Франциско Г. (2024-05-27). "Новый геометрический метод, основанный на конформной геометрической алгебре, применяемый к задаче резекции в двух и трех измерениях". Журнал геодезии . 98 (6): 47. doi : 10.1007/s00190-024-01854-1 . ISSN 1432-1394.
^ Боузер: Трактат
^ Маккоу, ГТ (1918). «Резекция при обследовании». Географический журнал . 52 (2): 105–126. doi :10.2307/1779558. JSTOR 1779558.

Герхард Хайндль: Анализ формулы Виллердинга для решения плоской задачи о трехточечной резекции , Журнал прикладной геодезии, Band 13, Heft 1, Seiten 27–31, ISSN (онлайн) 1862-9024, ISSN (печатная версия) 1862-9016, DOI: [1]

Ссылки

Эдвард А. Боузер: Трактат о плоской и сферической тригонометрии , Вашингтон, округ Колумбия, Heath & Co., 1892, стр. 188 Google books