Вписанный угол

Угол, образованный внутри круга

Окружность с вписанным углом θ .

  Центральный угол 2 θ

  Вписанный угол θ на большой дуге

  Дополнительный вписанный угол θ на малой дуге

В геометрии вписанный угол — это угол , образующийся внутри круга при пересечении двух хорд круга. Его также можно определить как угол, образуемый в точке окружности двумя заданными точками окружности.

Аналогично, вписанный угол определяется двумя хордами окружности, имеющими общую конечную точку.

Теорема о вписанном угле связывает меру вписанного угла с мерой центрального угла , образующего ту же дугу .

Теорема о вписанном угле появляется как предложение 20 в книге 3 « Начал» Евклида .

Теорема

Заявление

Для неподвижных точек A и B множество точек M на плоскости, для которых угол ∠ AMB равен  α , представляет собой дугу окружности. Мера ∠ AOB , где O — центр круга, равна  2 α .

Теорема о вписанном угле утверждает, что угол θ , вписанный в окружность, равен половине центрального угла 2 θ , образующего ту же дугу на окружности. Следовательно, угол не меняется при перемещении его вершины в разные положения на окружности.

Доказательство

Вписанные углы, одна хорда которых является диаметром.

Случай: Одна хорда — это диаметр.

Пусть O — центр круга, как на рисунке справа. Выберите две точки на окружности и назовите их V и A. Нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O так , чтобы она пересекала окружность в точке B , которая диаметрально противоположна точке V. Нарисуйте угол, вершиной которого является точка V , а стороны проходят через точки A, B.

Нарисуйте линию ОА . Угол ∠ BOA — центральный угол ; назовите это θ . Линии OV и OA являются радиусами круга, поэтому они имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник △ VOA равнобедренный , поэтому угол ∠ BVA (вписанный угол) и угол ∠ VAO равны ; обозначим каждый из них как ψ .

Углы ∠ BOA и ∠ AOV являются дополнительными и в сумме образуют прямой угол (180°), поэтому угол ∠ AOV равен 180° − θ .

Сумма трех углов треугольника △ VOA должна составлять 180° :

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

Сложение с обеих сторон дает ${\displaystyle \theta -180^{\circ }}$

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

Вписанные углы, центр круга внутри которых находится.

Корпус: Отцентрировать внутреннюю часть под углом

  φ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  φ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  φ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Дан круг, центром которого является точка O. Выберите на нем три точки V, C, D. Нарисуйте линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O так, чтобы она пересекала окружность в точке E. Угол ∠ DVC стягивает дугу DC на окружность.

Предположим, что эта дуга включает в себя точку E. Точка Е диаметрально противоположна точке V. Углы ∠ DVE , ∠ EVC также являются вписанными углами, но у обоих этих углов одна сторона проходит через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из приведенной выше части 1.

Поэтому,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

тогда пусть

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

Нарисуйте линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, как и углы ∠ DOE и ∠ EOC , и

$${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

Позволять

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

Из первой части мы знаем и то и то . Объединение этих результатов с уравнением (2) дает ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

следовательно, по уравнению (1)

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Вписанные углы, центр окружности которых находится снаружи.

Корпус: центрировать внешнюю сторону под углом

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Предыдущий случай можно расширить, чтобы охватить случай, когда мерой вписанного угла является разность между двумя вписанными углами, как обсуждалось в первой части этого доказательства.

Дан круг, центром которого является точка O. Выберите на нем три точки V, C, D. Нарисуйте линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O так, чтобы она пересекала окружность в точке E. Угол ∠ DVC стягивает дугу DC на окружность.

Предположим, что эта дуга не включает в себя точку Е. Точка Е диаметрально противоположна точке V. Углы ∠EVD , ∠EVC также являются вписанными углами, но у обоих этих углов одна сторона проходит через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из приведенной выше части 1 .

Поэтому,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}$$

тогда пусть

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

Нарисуйте линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, как и углы ∠ EOD и ∠ EOC , и

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

Позволять

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

Из первой части мы знаем и то и то . Объединение этих результатов с уравнением (4) дает ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Анимированная GIF-ка с доказательством теоремы о вписанном угле. Большой треугольник, вписанный в круг, делится на три треугольника поменьше, каждый из которых является равнобедренным, поскольку две верхние стороны являются радиусами круга. Внутри каждого равнобедренного треугольника пары углов при основании равны друг другу и составляют половину от 180 ° минус угол при вершине в центре круга. Сложение этих равнобедренных углов при основании дает теорему, а именно, что вписанный угол ψ равен половине центрального угла θ .

Следствие

По аналогичному аргументу угол между хордой и касательной в одной из точек ее пересечения равен половине центрального угла, образуемого хордой. См. также Касательные линии к окружностям .

Приложения

Теорема о вписанном угле используется во многих доказательствах элементарной евклидовой геометрии плоскости . Частным случаем теоремы является теорема Фалеса , которая утверждает, что угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°, т. е. прямой угол. Как следствие теоремы, сумма противоположных углов вписанных четырехугольников равна 180 °; и наоборот, любой четырехугольник, для которого это верно, можно вписать в окружность. Другой пример: теорема о вписанном угле является основой для нескольких теорем, связанных со степенью точки относительно окружности. Кроме того, это позволяет доказать, что при пересечении двух хорд в окружности произведения длин их отрезков равны.

Теоремы о вписанных углах для эллипсов, гипербол и парабол.

Теоремы о вписанных углах существуют также для эллипсов, гипербол и парабол. Существенные различия заключаются в измерении угла. (Уголом считается пара пересекающихся прямых.)

• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

Рекомендации

• Огилви, CS (1990). Экскурсии по геометрии . Дувр. стр. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
• Геллерт В., Кюстнер Х., Хеллвич М., Кестнер Х. (1977). Краткая математическая энциклопедия ВНР . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд. п. 172. ИСБН 0-442-22646-2.
• Мойс, Эдвин Э. (1974). Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 192–197. ISBN 0-201-04793-4.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Вписанный угол». Математический мир .
• Связь между центральным углом и вписанным углом
• Жевание вписанных углов при разрезании узла
• Центральный угол дуги С интерактивной анимацией
• Периферийная дуга (вписанная) Угол С интерактивной анимацией
• Теорема о центральном угле дуги с интерактивной анимацией
• На bookofproofs.github.io.