В геометрии вершина ( мн.ч .: вершины или вершины ) — это точка , где встречаются или пересекаются две или более кривые , линии или ребра . Как следствие этого определения, точка, где две линии встречаются, образуя угол , и углы многоугольников и многогранников являются вершинами. [1] [2] [3]
Вершина угла — это точка, где начинаются или встречаются два луча , где соединяются или встречаются два отрезка прямой, где две прямые пересекаются (пересекаются), или любая подходящая комбинация лучей, отрезков и линий, в результате которой образуются две прямые «стороны» . встреча в одном месте. [3] [4]
Вершина — это угловая точка многоугольника , многогранника или другого многогранника более высокой размерности , образованная пересечением ребер , граней или граней объекта. [4]
В многоугольнике вершина называется « выпуклой », если внутренний угол многоугольника (т. е. угол , образованный двумя ребрами в вершине с многоугольником внутри угла) меньше π радиан (180 °, два прямых угла ); в противном случае его называют «вогнутым» или «рефлекторным». [5] В более общем смысле, вершина многогранника или многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника или многогранника с достаточно маленькой сферой с центром в вершине является выпуклой, и вогнутой в противном случае.
Вершины многогранника связаны с вершинами графов тем, что 1-скелет многогранника представляет собой граф, вершины которого соответствуют вершинам многогранника, [6] и тем, что граф можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершины которого являются вершинами графа.
Однако в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных ребер, что обычно не допускается для геометрических вершин. Существует также связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой , ее точками крайней кривизны: в некотором смысле вершины многоугольника являются точками бесконечной кривизны, и если многоугольник аппроксимировать гладкой кривой, возникнет точка крайней кривизны возле каждой вершины многоугольника. [7] Однако аппроксимация многоугольника гладкой кривой также будет иметь дополнительные вершины в точках, где его кривизна минимальна. [ нужна цитата ]
Вершина плоской мозаики или мозаики — это точка, где встречаются три или более плитки; [8] Как правило, но не всегда, плитки мозаики представляют собой многоугольники, а вершины мозаики также являются вершинами ее плиток. В более общем смысле, тесселяцию можно рассматривать как своего рода топологический комплекс ячеек , как и грани многогранника или многогранника; вершины других типов комплексов, таких как симплициальные комплексы, являются его нульмерными гранями.
Вершина многоугольника x i простого многоугольника P является вершиной главного многоугольника, если диагональ [ x (i - 1) , x (i + 1) ] пересекает границу P только в точках x (i - 1) и x (i + 1) . Существует два типа главных вершин: уши и рты . [9]
Главная вершина x i простого многоугольника P называется ухом, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] , соединяющая x i , целиком лежит в P . (см. также выпуклый многоугольник ) Согласно теореме о двух ушках , каждый простой многоугольник имеет как минимум два уха. [10]
Главная вершина x i простого многоугольника P называется устьем, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] лежит вне границы P .
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.
где V — количество вершин, E — количество ребер , а F — количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество вершин на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом граней. Например, поскольку у куба 12 ребер и 6 граней, из формулы следует, что у него восемь вершин.
В компьютерной графике объекты часто представляются в виде треугольных многогранников , в которых вершины объекта связаны не только с тремя пространственными координатами, но и с другой графической информацией, необходимой для правильной визуализации объекта, такой как цвета, свойства отражения , текстуры и нормаль поверхности . [11] Эти свойства используются при рендеринге вершинным шейдером , являющимся частью вершинного конвейера .
