Вид потенциала в электродинамике
В электродинамике запаздывающие потенциалы — это электромагнитные потенциалы электромагнитного поля , созданного изменяющимся во времени электрическим током или распределением заряда в прошлом. Поля распространяются со скоростью света c , поэтому задержка полей, связывающих причину и следствие, в более ранние и более поздние моменты времени является важным фактором: сигналу требуется конечное время для распространения от точки распределения заряда или тока (точка причины) в другую точку пространства (где измеряется эффект), см. рисунок ниже. [1]
В калибровке Лоренца Векторы положения r и r', используемые в расчете. Отправной точкой являются уравнения Максвелла в потенциальной формулировке с использованием калибровки Лоренца :
◻ φ = ρ ϵ 0 , ◻ A = μ 0 J {\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} } где φ( r , t ) — электрический потенциал , а A ( r , t ) — магнитный векторный потенциал для произвольного источника плотности заряда ρ ( r , t ) и плотности тока J ( r , t ), и является Оператор Даламбера . [2] Решение этих задач дает приведенные ниже запаздывающие потенциалы (все в единицах СИ ). ◻ {\displaystyle \Box }
Для полей, зависящих от времени Для полей, зависящих от времени, запаздывающими потенциалами являются: [3] [4]
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.} где r — точка пространства, t — время,
t r = t − | r − r ′ | c {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}} – время задержки , а d 3 r' – мера интегрирования с использованием r' .
Из φ( r , t ) и A ( r , t ) поля E ( r , t ) и B ( r , t ) можно вычислить, используя определения потенциалов:
− E = ∇ φ + ∂ A ∂ t , B = ∇ × A . {\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.} и это приводит к уравнениям Ефименко . Соответствующие опережающие потенциалы имеют одинаковую форму, за исключением опережающего времени.
t a = t + | r − r ′ | c {\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}} заменяет отставшее время.
По сравнению со статическими потенциалами для нестационарных полей В случае, когда поля не зависят от времени ( электростатические и магнитостатические поля), производные по времени в операторах полей равны нулю, и уравнения Максвелла сводятся к ◻ {\displaystyle \Box }
∇ 2 φ = − ρ ϵ 0 , ∇ 2 A = − μ 0 J , {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,} где ∇ 2 — лапласиан , который принимает форму уравнения Пуассона с четырьмя компонентами (один для φ и три для A ), а решения:
φ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.} Они также следуют непосредственно из запаздывающих потенциалов.
В кулоновской калибровке В кулоновской калибровке уравнения Максвелла имеют вид [5]
∇ 2 φ = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}} ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 J + 1 c 2 ∇ ( ∂ φ ∂ t ) , {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,} хотя решения противоречат вышеизложенному, поскольку A представляет собой запаздывающий потенциал, однако φ изменяется мгновенно , что определяется формулой:
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ , t ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∇ × ∫ d 3 r ′ ∫ 0 | r − r ′ | / c d t r t r J ( r ′ , t − t r ) | r − r ′ | 3 × ( r − r ′ ) . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.} В этом есть преимущество и недостаток кулоновской калибровки: φ легко вычислить по распределению заряда ρ, но A не так легко вычислить по распределению тока j . Однако если мы требуем, чтобы потенциалы обращались в нуль на бесконечности, их можно аккуратно выразить через поля:
φ ( r , t ) = 1 4 π ∫ ∇ ⋅ E ( r ′ , t ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = 1 4 π ∫ ∇ × B ( r ′ , t ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} В линеаризованной гравитации Запаздывающий потенциал в линеаризованной общей теории относительности очень похож на электромагнитный случай. Тензор с обращенным следом играет роль четырехвекторного потенциала, гармоническая калибровка заменяет электромагнитную калибровку Лоренца, уравнения поля имеют вид , а решение для запаздывающей волны имеет вид [6] h ~ μ ν = h μ ν − 1 2 η μ ν h {\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h} h ~ μ ν , μ = 0 {\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0} ◻ h ~ μ ν = − 16 π G T μ ν {\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }}
h ~ μ ν ( r , t ) = 4 G ∫ T μ ν ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ . {\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.} c 4 {\displaystyle c^{4}} Возникновение и применение Теория многих тел, которая включает в себя среднее значение запаздывающих и опережающих потенциалов Льенара-Вихерта, представляет собой теорию поглотителя Уиллера-Фейнмана, также известную как симметричная по времени теория Уиллера-Фейнмана.
Пример Потенциал заряда с равномерной скоростью по прямой имеет инверсию в точке , находящейся в недавнем положении. Потенциал не изменяется в направлении движения. [7]
Смотрите также Рекомендации ^ Рорлих, Ф (1993). «Потенциалы». В Паркер, СП (ред.). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк. п. 1072. ИСБН 0-07-051400-3 {{cite encyclopedia }}: CS1 maint: location missing publisher (link)^ Гарг, А., Классический электромагнетизм в двух словах , 2012, с. 129 ^ Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 ^ Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN 81-7758-293-3 ^ Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN 81-7758-293-3 ^ Шон М. Кэрролл, «Конспекты лекций по общей теории относительности» (arXiv:gr-qc/9712019), уравнения 6.20, 6.21, 6.22, 6.74. ^ Фейнман, Лекция 26, Лоренц-преобразования полей 
