Точный функтор

Функтор, сохраняющий короткие точные последовательности

В математике , в частности в гомологической алгебре , точный функтор — это функтор , который сохраняет короткие точные последовательности . Точные функторы удобны для алгебраических вычислений, поскольку их можно напрямую применять к представлениям объектов. Большая часть работы в гомологической алгебре предназначена для того, чтобы справляться с функторами, которые не являются точными, но способами, которые все еще можно контролировать.

Определения

Пусть P и Q — абелевы категории , и пусть F : P → Q — ковариантный аддитивный функтор (так что, в частности, F (0) = 0). Мы говорим, что F — точный функтор, если всякий раз, когда

${\displaystyle 0\to A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

является короткой точной последовательностью в P , то

${\displaystyle 0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0}$

— короткая точная последовательность в Q. (Отображения часто опускаются и подразумеваются, и говорят: «если 0→ A → B → C →0 является точным, то 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 также является точным».)

Далее, мы говорим, что F есть

• точно слева, если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) является точным;
• точно справа, если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 является точным;
• полуточный, если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) является точным. Это отличается от понятия топологического полуточного функтора .

Если G — контравариантный аддитивный функтор из P в Q , мы аналогичным образом определяем G как

• точно, если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 является точным;
• точно слева, если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) является точным;
• точно справа, если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 является точным;
• полуточным , если всякий раз, когда 0→ A → B → C →0 является точным, то G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) является точным.

Не всегда необходимо начинать с полной короткой точной последовательности 0→ A → B → C →0, чтобы сохранить некоторую точность. Следующие определения эквивалентны приведенным выше:

• F является точным тогда и только тогда, когда A → B → C exact подразумевает F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exact;
• F является точным слева тогда и только тогда, когда 0→ A → B → C exact подразумевает 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exact (т.е. если « F превращает ядра в ядра»);
• F является точным справа тогда и только тогда, когда A → B → C →0 exact влечет F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 exact (т.е. если « F превращает коядра в коядра»);
• G является точным слева тогда и только тогда, когда A → B → C →0 exact подразумевает 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) exact (т.е. если « G превращает коядра в ядра»);
• G является точным справа тогда и только тогда, когда 0→ A → B → C exact влечет G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 exact (т.е. если « G превращает ядра в коядра»).

Примеры

Всякая эквивалентность или двойственность абелевых категорий является точной.

Самыми простыми примерами левых точных функторов являются функторы Hom : если A — абелева категория, а A — объект категории A , то F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) определяет ковариантный левый точный функтор из A в категорию Ab абелевых групп . ^[1] Функтор F _A является точным тогда и только тогда, когда A проективен . [ 2 ^] Функтор G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) является контравариантным левым точным функтором; ^[3] он является точным тогда и только тогда, когда A инъективен . [ 4 ^]

Если k — поле , а V — векторное пространство над k , мы записываем V  * = Hom _k ( V , k ) (это обычно известно как дуальное пространство ). Это дает контравариантный точный функтор из категории k -векторных пространств в себя. (Точность следует из вышесказанного: k — инъективный k -модуль . В качестве альтернативы можно утверждать, что каждая короткая точная последовательность k -векторных пространств расщепляется , и любой аддитивный функтор превращает расщепляемые последовательности в расщепляемые последовательности.)

Если X — топологическое пространство , мы можем рассмотреть абелеву категорию всех пучков абелевых групп на X. Ковариантный функтор, который сопоставляет каждому пучку F группу глобальных сечений F ( X ), является точным слева.

Если R — кольцо , а T — правый R - модуль , мы можем определить функтор H _T из абелевой категории всех левых R -модулей в Ab , используя тензорное произведение над R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Это ковариантный правый точный функтор; другими словами, если задана точная последовательность A → B → C →0 левых R- модулей, последовательность абелевых групп T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 является точной.

Функтор H _T точен тогда и только тогда, когда T плоский . Например, является плоским -модулем . Следовательно, тензорное умножение с как на -модуль является точным функтором. Доказательство: Достаточно показать, что если i является инъективным отображением -модулей , то соответствующее отображение между тензорными произведениями инъективно. Можно показать, что тогда и только тогда, когда является элементом кручения или . Данные тензорные произведения имеют только чистые тензоры. Следовательно, достаточно показать, что если чистый тензор находится в ядре , то он равен нулю. Предположим, что является элементом ядра. Тогда, является кручением. Поскольку является инъективным, является кручением. Следовательно, . Следовательно, также является инъективным. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i:M\to N}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle i(m)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$

В общем случае, если T не является плоским, то тензорное произведение не является левым точным. Например, рассмотрим короткую точную последовательность -модулей . Тензорирование по дает последовательность, которая больше не является точной, поскольку не является свободной от кручения и, следовательно, не плоской. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle 5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$

Если A — абелева категория, а C — произвольная малая категория , мы можем рассмотреть категорию функторов A ^C, состоящую из всех функторов из C в A ; она абелева. Если X — заданный объект C , то мы получаем функтор E _X из A ^C в A , вычисляя функторы в X . Этот функтор E _X является точным.

Хотя тензорное умножение может быть неточным слева, можно показать, что тензорное умножение является точным справа функтором:

Теорема: Пусть A , B , C и P — R -модули для коммутативного кольца R , имеющего мультипликативную единицу. Пусть — короткая точная последовательность R - модулей. Тогда ${\displaystyle A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

${\displaystyle A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0}$

также является короткой точной последовательностью R -модулей. (Поскольку R коммутативен, эта последовательность является последовательностью R -модулей, а не просто абелевых групп). Здесь мы определяем

${\displaystyle f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$.

Из этого следует полезное следствие : если I — идеал R , а P — такой, как указано выше, то . ${\displaystyle P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP}$

Доказательство: , где f — включение, а g — проекция, — точная последовательность R -модулей. Из вышесказанного следует, что : — также короткая точная последовательность R -модулей. По точности, , так как f — включение. Теперь рассмотрим гомоморфизм R -модулей из , заданный R -линейно продолжающий отображение, определенное на чистых тензорах: влечет, что . Итак, ядро ​​этого отображения не может содержать никаких ненулевых чистых тензоров. состоит только из чистых тензоров: Для . Итак, это отображение инъективно. Оно, очевидно, на . Итак, . Аналогично, . Это доказывает следствие. ${\displaystyle I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0}$ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\rightarrow P}$ ${\displaystyle r\otimes p\mapsto rp.rp=0}$ ${\displaystyle 0=rp\otimes 1=r\otimes p}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P}$ ${\displaystyle x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

В качестве другого приложения мы показываем, что для, где и n — наивысшая степень числа 2, делящего m . Мы доказываем частный случай: m =12. ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle k=m/2^{n}}$

Доказательство: Рассмотрим чистый тензор . Также для . Это показывает, что . Пусть , A,B,C,P являются модулями R = Z с помощью обычного действия умножения и удовлетворяют условиям основной теоремы . В силу точности, подразумеваемой теоремой и приведенным выше примечанием, мы получаем, что . Последнее сравнение следует из рассуждения, аналогичного рассуждению в доказательстве следствия, показывающего, что . ${\displaystyle (12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$ ${\displaystyle (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})}$ ${\displaystyle (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)}$ ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle :\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

Свойства и теоремы

Функтор точен тогда и только тогда, когда он точен как слева, так и справа.

Ковариантный (не обязательно аддитивный) функтор точен слева тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в пределы; ковариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в копределы; контравариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в пределы; контравариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в пределы.

Степень, в которой точный слева функтор не является точным, можно измерить с помощью его производных справа функторов ; степень, в которой точный справа функтор не является точным, можно измерить с помощью его производных слева функторов .

Левые и правые точные функторы распространены повсеместно, главным образом, благодаря следующему факту: если функтор F является левым сопряженным к G , то F является правым точным функтором, а G является левым точным функтором.

Обобщения

В SGA4 , том I, раздел 1, понятие левых (правых) точных функторов определено для общих категорий, а не только абелевых. Определение следующее:

Пусть C — категория с конечными проективными (соответственно инъективными) пределами. Тогда функтор из C в другую категорию C′ является левым (соответственно правым) точным, если он коммутирует с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами.

Несмотря на свою абстрактность, это общее определение имеет полезные следствия. Например, в разделе 1.8 Гротендик доказывает, что функтор является про-представимым тогда и только тогда, когда он является точным слева, при некоторых мягких условиях на категорию C .

Точные функторы между точными категориями Квиллена обобщают точные функторы между абелевыми категориями, обсуждаемые здесь.

Регулярные функторы между регулярными категориями иногда называются точными функторами и обобщают точные функторы, обсуждаемые здесь.

Примечания

1. Якобсон (2009), стр. 98, Теорема 3.1.
2. Якобсон (2009), стр. 149, Предложение 3.9.
3. Якобсон (2009), стр. 99, Теорема 3.1.
4. Якобсон (2009), стр. 156.

Ссылки

• Якобсон, Натан (2009). Основы алгебры . Том 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.