Производный функтор

Гомологическое построение в теории категорий

В математике некоторые функторы могут быть получены для получения других функторов, тесно связанных с исходными. Эта операция, хотя и довольно абстрактная, объединяет ряд конструкций в математике.

Мотивация

Было отмечено в различных, совершенно разных ситуациях, что короткая точная последовательность часто порождает «длинную точную последовательность». Концепция производных функторов объясняет и проясняет многие из этих наблюдений.

Предположим, что нам дан ковариантный левый точный функтор F  : A → B между двумя абелевыми категориями A и B . Если 0 → A → B → C → 0 — короткая точная последовательность в A , то применение F дает точную последовательность 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) и можно спросить, как продолжить эту последовательность вправо, чтобы сформировать длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос некорректен, поскольку всегда существует множество различных способов продолжить заданную точную последовательность вправо. Но оказывается, что (если A достаточно «хорошо») существует один канонический способ сделать это, заданный правыми производными функторами F . Для каждого i ≥1 существует функтор R ⁱ F : A → B , и указанная выше последовательность продолжается следующим образом: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... . Отсюда мы видим, что F является точным функтором тогда и только тогда, когда R ¹ F = 0; так что в некотором смысле правые производные функторы F измеряют «насколько далеко» F от точности.

Если объект A в приведенной выше короткой точной последовательности является инъективным , то последовательность расщепляется . Применение любого аддитивного функтора к расщепляемой последовательности приводит к расщепляемой последовательности, поэтому, в частности, R ¹ F ( A ) = 0. Правые производные функторы (для i>0 ) равны нулю на инъективных: это мотивация для конструкции, приведенной ниже.

Строительство и первые объекты недвижимости

Главное предположение, которое нам необходимо сделать относительно нашей абелевой категории A, состоит в том, что она имеет достаточно инъективных объектов , то есть для каждого объекта A из A существует мономорфизм A → I , где I — инъективный объект в A.

Правые производные функторы ковариантного левого точного функтора F  : A → B определяются следующим образом. Начнем с объекта X из A . Поскольку имеется достаточно инъективов, мы можем построить длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

где I ⁱ все инъективны (это известно как инъективное разрешение X ) . Применяя функтор F к этой последовательности и отсекая первый член, мы получаем цепной комплекс 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

Примечание: в общем случае это уже не точная последовательность. Но мы можем вычислить ее когомологии в i -й точке (ядро отображения из F ( I ⁱ ) по модулю образа отображения в F ( I ⁱ )); мы называем результат R ⁱ F ( X ). Конечно, нужно проверить разные вещи: результат не зависит от заданного инъективного разрешения X , и любой морфизм X → Y естественным образом дает морфизм R ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y ), так что мы действительно получаем функтор. Обратите внимание, что левая точность означает, что 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) является точным, поэтому R ⁰ F ( X ) = F ( X ), так что мы получаем что-то интересное только для i >0.

(Технически, чтобы создать четко определенные производные F , нам пришлось бы зафиксировать инъективную резольвенту для каждого объекта A . Этот выбор инъективных резольвент затем дает функторы R ⁱ F . Различные выборы резольвент дают естественно изоморфные функторы, поэтому в конечном итоге выбор не имеет особого значения.)

Вышеупомянутое свойство превращения коротких точных последовательностей в длинные точные последовательности является следствием леммы о змее . Это говорит нам о том, что совокупность производных функторов является δ-функтором .

Если X сам по себе инъективен, то мы можем выбрать инъективную резольвенту 0 → X → X → 0, и мы получим, что R ⁱ F ( X ) = 0 для всех i ≥ 1. На практике этот факт вместе со свойством длинной точной последовательности часто используется для вычисления значений правых производных функторов.

Эквивалентный способ вычисления R ⁱ F ( X ) следующий: берем инъективную резольвенту X , как указано выше, и пусть K ⁱ будет образом отображения I ^{i -1} → I ⁱ (для i = 0 определим I ^{i -1} = 0), что совпадает с ядром I ⁱ → I ^{i +1} . Пусть φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱ будет соответствующим сюръективным отображением. Тогда R ⁱ F ( X ) является коядром F (φ _i ).

Вариации

Если начать с ковариантного правоточного функтора G , и категория A имеет достаточно проективных объектов (т.е. для каждого объекта A из A существует эпиморфизм P → A , где P — проективный объект ), то можно аналогично определить левопроизводные функторы L _i G . Для объекта X из A мы сначала строим проективную резольвенту вида

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

где P _i проективны. Применяем G к этой последовательности, отсекаем последний член и вычисляем гомологию, чтобы получить L _i G ( X ). Как и прежде, L ₀ G ( X ) = G ( X ).

В этом случае длинная точная последовательность будет расти «влево», а не вправо:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

превращается в

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

Левые производные функторы равны нулю на всех проективных объектах.

Можно также начать с контравариантного левого точного функтора F ; полученные правые производные функторы тогда также контравариантны. Короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

превращается в длинную точную последовательность

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

Эти левые производные функторы равны нулю на проективных отображениях и, следовательно, вычисляются посредством проективных резолюций.

Примеры

• Если — абелева категория, то ее категория морфизмов также абелева. Функтор, отображающий каждый морфизм в его ядро, является левым точным. Его правые производные функторы — это ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$ ${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Дуально функтор точен справа, а его левые производные функторы — ${\displaystyle \operatorname {coker} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Это проявление леммы о змее .

Гомологии и когомологии

Когомологии пучков

Если — топологическое пространство , то категория всех пучков абелевых групп на является абелевой категорией с достаточным количеством инъективов. Функтор, который сопоставляет каждому такому пучку группу глобальных сечений, является точным слева, а правые производные функторы являются функторами когомологий пучков , обычно записываемыми как . Немного более общо: если — окольцованное пространство , то категория всех пучков -модулей является абелевой категорией с достаточным количеством инъективов, и мы снова можем построить когомологии пучков как правые производные функторы функтора глобального сечения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Sh(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Существуют различные понятия когомологий, которые являются частным случаем этого:

• Когомологии де Рама — это когомологии пучка локально постоянных -значных функций на многообразии . Комплекс де Рама — это разрешение этого пучка не инъективными пучками, а тонкими пучками . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Этальные когомологии — это еще одна теория когомологий для пучков над схемой. Это правый производный функтор глобальных сечений абелевых пучков на этальном сайте .

Ext-функторы

Если — кольцо , то категория всех левых -модулей — абелева категория с достаточным количеством инъективов. Если — фиксированный левый -модуль, то функтор является левым точным, а его правые производные функторы — это функторы Ext . В качестве альтернативы можно также получить как левый производный функтор правого точного функтора . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

Различные понятия когомологий являются частными случаями функторов Ext и, следовательно, также производными функторами.

• Групповые когомологии являются правым производным функтора инвариантов, который совпадает с(где— тривиальный-модуль) и, следовательно, . ${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$
• Когомологии алгебры Ли алгебры Ли над некоторым коммутативным кольцомявляются правым производным функтора инвариантов, который совпадает с(где— снова тривиальный-модуль, а— универсальная обертывающая алгебра ). Следовательно. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$
• Когомологии Хохшильда некоторой -алгебры являются правым производным функтором инвариантов,отображающим бимодуль в его центр, также называемый его множеством инвариантов, который совпадает с(где- обертывающая алгебраирассматривается как-бимодуль посредством обычного левого и правого умножения). Следовательно: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$ ${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A)}$ ${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

Тор-функторы

Категория левых -модулей также имеет достаточно проективных чисел. Если — фиксированный правый -модуль, то тензорное произведение с дает правый точный ковариантный функтор ; Категория модулей имеет достаточно проективных чисел, так что левые производные функторы всегда существуют. Левые производные функторы тензорного функтора — это функторы Tor . Эквивалентно можно определить симметрично как левые производные функторы . Фактически можно объединить оба определения и определить как левые производные . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$ ${\displaystyle -\otimes B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$ ${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

Это включает в себя несколько понятий гомологии как частных случаев. Это часто отражает ситуацию с функторами Ext и когомологиями.

• Групповая гомология — это левый производный функтор взятия коинвариантов, который совпадает с. ${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$
• Гомологии алгебры Ли — это левый производный функтор взятия коинвариантов, который совпадает с. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$ ${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$
• Гомологии Хохшильда — это левый производный функтор взятия коинвариантов,который совпадает с. ${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$ ${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

Вместо того, чтобы брать отдельные левые производные функторы, можно также взять полный производный функтор тензорного функтора. Это приводит к производному тензорному произведению, где — производная категория . ${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$ ${\displaystyle D}$

Естественность

Производные функторы и длинные точные последовательности являются «естественными» в нескольких технических смыслах.

Во-первых, дана коммутативная диаграмма вида

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(где строки точны), две полученные длинные точные последовательности связаны коммутирующими квадратами:

Во-вторых, предположим, что η : F → G — естественное преобразование из левого точного функтора F в левый точный функтор G . Тогда индуцируются естественные преобразования R ⁱ η : R ⁱ F → R ⁱ G , и действительно R ⁱ становится функтором из категории функторов всех левых точных функторов из A в B в полную категорию функторов всех функторов из A в B . Более того, этот функтор совместим с длинными точными последовательностями в следующем смысле: если

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

— короткая точная последовательность, то коммутативная диаграмма

индуцируется.

Обе эти естественности следуют из естественности последовательности, обеспечиваемой леммой о змее .

Наоборот, справедлива следующая характеристика производных функторов: если задано семейство функторов R ⁱ : A → B , удовлетворяющих вышеизложенному, т.е. отображающих короткие точные последовательности в длинные точные последовательности, такие, что для каждого инъективного объекта I из A , R ⁱ ( I )=0 для каждого положительного i , то эти функторы являются правыми производными функторами R ⁰ .

Обобщение

Более современный (и более общий) подход к производным функторам использует язык производных категорий .

В 1968 году Квиллен разработал теорию категорий моделей , которая дает абстрактную теоретико-категорную систему расслоений, корасслоений и слабых эквивалентностей. Обычно интерес представляет базовая гомотопическая категория , полученная путем локализации относительно слабых эквивалентностей. Присоединение Квиллена — это присоединение между категориями моделей, которое спускается к присоединению между гомотопическими категориями. Например, категория топологических пространств и категория симплициальных множеств допускают модельные структуры Квиллена, чье присоединение нерва и реализации дает присоединение Квиллена, которое фактически является эквивалентностью гомотопических категорий. Конкретные объекты в модельной структуре обладают «хорошими свойствами» (относительно существования лифтов относительно конкретных морфизмов), «фибрантными» и «кофибрантными» объектами, и каждый объект слабо эквивалентен фибрантно-кофибрантному «разрешению».

Хотя изначально они были разработаны для работы с категорией топологических пространств, модельные структуры Квиллена появляются во многих местах математики; в частности, категория цепных комплексов из любой абелевой категории (модули, пучки модулей на топологическом пространстве или схеме и т. д.) допускают модельную структуру, слабые эквивалентности которой являются морфизмами между цепными комплексами, сохраняющими гомологию. Часто у нас есть функтор между двумя такими модельными категориями (например, функтор глобальных сечений, отправляющий комплекс абелевых пучков в очевидный комплекс абелевых групп), который сохраняет слабые эквивалентности *внутри подкатегории «хороших» (фибрантных или кофибрантных) объектов.* Сначала взяв фибрантную или кофибрантную резольвенту объекта, а затем применив этот функтор, мы успешно расширили ее на всю категорию таким образом, что слабые эквивалентности всегда сохраняются (и, следовательно, она спускается к функтору из гомотопической категории). Это «производный функтор». Например, «производные функторы» когомологий пучков являются гомологиями вывода этого производного функтора. Применяя их к пучку абелевых групп, интерпретируемому очевидным образом как комплекс, сосредоточенный в гомологиях, они измеряют неспособность глобального функтора сечений сохранять слабые эквивалентности таковых, его неспособность к «точности». Общая теория модельных структур показывает уникальность этой конструкции (что она не зависит от выбора фибрантного или кофибрантного разрешения и т. д.)

Ссылки

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.