Локально постоянная функция

Тип математической функции

Функция знака , ограниченная областью , локально постоянна. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

В математике локально постоянная функция — это функция из топологического пространства в множество, обладающая тем свойством, что вокруг каждой точки ее области определения существует некоторая окрестность этой точки, на которую она ограничивается до постоянной функции .

Определение

Пусть — функция из топологического пространства в множество Если тогда называется локально постоянной в точке , если существует окрестность такая , что является постоянной на , что по определению означает, что для всех Функция называется локально постоянной, если она локально постоянна в каждой точке своей области определения. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(u)=f(v)}$ ${\displaystyle u,v\in U.}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle x\in X}$

Примеры

Каждая постоянная функция локально постоянна. Обратное будет иметь место, если ее область определения — связное пространство .

Каждая локально постоянная функция от действительных чисел до является постоянной, в силу связности Но функция от рациональных чисел до , определяемая соотношением и является локально постоянной (здесь используется тот факт, что является иррациональным и, следовательно, оба множества и открыты в ) . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(x)=0{\text{ for }}x<\pi ,}$ ${\displaystyle f(x)=1{\text{ for }}x>\pi ,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если локально постоянно, то оно постоянно на любой связной компоненте Обратное верно для локально связных пространств, то есть пространств, связные компоненты которых являются открытыми подмножествами. ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A.}$

Дополнительные примеры включают следующее:

• Если задано покрывающее отображение , то каждой точке можно присвоить мощность слоя над ; это присвоение локально постоянно. ${\displaystyle p:C\to X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$
• Отображение топологического пространства в дискретное пространство непрерывно тогда и только тогда , когда оно локально постоянно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Связь с теорией пучков

Существуют пучки локально постоянных функций на Чтобы быть более определенным, локально постоянные целочисленные функции на образуют пучок в том смысле, что для каждого открытого множества мы можем образовать функции этого вида; а затем проверить, что аксиомы пучка верны для этой конструкции, что дает нам пучок абелевых групп (даже коммутативных колец ). ^[1] Этот пучок можно записать ; описанный с помощью стеблей, мы имеем стебель копию в для каждого Это можно назвать постоянным пучком , имея в виду именно пучок локально постоянных функций, принимающих свои значения в (той же) группе. Типичный пучок, конечно, не является постоянным таким образом; но конструкция полезна для связывания когомологий пучка с теорией гомологии и в логических приложениях пучков. Идея локальной системы коэффициентов заключается в том, что у нас может быть теория пучков, которые локально выглядят как такие «безобидные» пучки (вблизи любого ), но с глобальной точки зрения демонстрируют некоторое «скручивание». ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{X}}$ ${\displaystyle Z_{x},}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Теорема Лиувилля (комплексный анализ)  – Теорема в комплексном анализе
• Локально постоянный пучок

Ссылки

1. Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer. стр. 62.