Жесткая категория

В теории категорий , разделе математики , жесткая категория — это моноидальная категория , где каждый объект является жестким, то есть имеет дуальный X ^* ( внутренний Hom [ X , 1 ]) и морфизм 1 → X ⊗ X ^*, удовлетворяющий естественным условиям. Категория называется жесткой справа или жесткой слева в зависимости от того, имеет ли она правые дуальные элементы или левые дуальные элементы. Они были впервые определены (вслед за Александром Гротендиком ) Неантро Сааведрой Ривано в его диссертации о таннакианских категориях . ^[1]

Определение

Существует по крайней мере два эквивалентных определения жесткости.

• Объект X моноидальной категории называется левым жестким, если существует объект Y и морфизмы и такие, что обе композиции ${\displaystyle \eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1} }$

${\displaystyle X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X}$

${\displaystyle Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y}$

являются тождествами. Правый жесткий объект определяется аналогично.

Обратный — это объект X ⁻¹ такой, что и X ⊗ X ⁻¹ , и X ⁻¹ ⊗ X изоморфны 1 , тождественному объекту моноидальной категории. Если объект X имеет левый (соответственно правый) обратный X ⁻¹ относительно тензорного произведения, то он является левым (соответственно правым) жестким, и X ^* = X ⁻¹ .

Операция взятия дуальностей дает контравариантный функтор на жесткой категории.

Использует

Одно важное применение жесткости заключается в определении следа эндоморфизма жесткого объекта. След может быть определен для любой стержневой категории , т.е. жесткой категории, такой, что ( ) ^** , функтор взятия двойственного дважды повторенного, изоморфен тождественному функтору. Тогда для любого правого жесткого объекта X и любого другого объекта Y мы можем определить изоморфизм

${\displaystyle \phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.}$

и его взаимный изоморфизм

${\displaystyle \psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.}$.

Тогда для любого эндоморфизма след функции f определяется как композиция: ${\displaystyle f:X\to X}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,}$

Мы можем продолжить и определить размерность жесткого объекта следующим образом:

${\displaystyle \dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}}$.

Жесткость также важна из-за ее связи с внутренними Hom. Если X — левый жесткий объект, то каждый внутренний Hom вида [ X , Z ] существует и изоморфен Z ⊗ Y. В частности, в жесткой категории существуют все внутренние Hom.

Альтернативная терминология

Моноидальная категория, где каждый объект имеет левый (соответственно правый) дуальный объект, иногда называется левой (соответственно правой) автономной категорией. Моноидальная категория, где каждый объект имеет как левый, так и правый дуальный объект, иногда называется автономной категорией . Автономная категория, которая также является симметричной, называется компактной замкнутой категорией .

Обсуждение

Моноидальная категория — это категория с тензорным произведением, именно такая категория, для которой жесткость имеет смысл.

Категория чистых мотивов формируется путем ужесточения категории эффективных чистых мотивов.

Примечания

1. Ривано, Н. Сааведра (1972). Категории Таннакиенны. Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 265. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0059108. ISBN 978-3-540-37477-0.

Ссылки

• Давыдов, АА (1998). «Моноидальные категории и функторы». Журнал математических наук . 88 (4): 458–472. doi :10.1007/BF02365309.
• Жесткая моноидальная категория в n Lab