Матричное кольцо

Математическое кольцо, элементами которого являются матрицы

В абстрактной алгебре кольцо матриц — это набор матриц с элементами в кольце R , которые образуют кольцо относительно сложения матриц и умножения матриц . ^[1] Набор всех матриц размера n × n с элементами в R — это кольцо матриц, обозначаемое M _n ( R ) ^{[2] [3] [4] [5]} (альтернативные обозначения: Mat _n ( R ) ^[3] и R ^{n × n [6]} ). Некоторые наборы бесконечных матриц образуют бесконечные кольца матриц . Подкольцо кольца матриц снова является кольцом матриц. Над rng можно образовать матричные rngs.

Когда R — коммутативное кольцо, матричное кольцо M _n ( R ) является ассоциативной алгеброй над R и может быть названо матричной алгеброй . В этом случае, если M — матрица и r содержится в R , то матрица rM — это матрица M , каждая из записей которой умножена на r .

Примеры

• Множество всех квадратных матриц n × n над R , обозначаемое M _n ( R ). Иногда его называют «полным кольцом матриц n на n ».
• Множество всех верхних треугольных матриц над R.
• Множество всех нижних треугольных матриц над R.
• Множество всех диагональных матриц над R. Эта подалгебра M _n ( R ) изоморфна прямому произведению n копий R .
• Для любого набора индексов I кольцо эндоморфизмов правого R -модуля изоморфно кольцу ^{[ требуется ссылка ]} столбцов конечных матриц, элементы которых индексируются как I × I и каждый столбец которых содержит только конечное число ненулевых элементов. Кольцо эндоморфизмов M , рассматриваемого как левый R -модуль, изоморфно кольцу строково -конечных матриц . ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$
• Если R — банахова алгебра , то условие конечности строк или столбцов в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы можно использовать абсолютно сходящиеся ряды вместо конечных сумм. Например, матрицы, суммы столбцов которых являются абсолютно сходящимися последовательностями, образуют кольцо. ^{[ dubious – discussion ]} Аналогично, конечно, матрицы, суммы строк которых являются абсолютно сходящимися рядами, также образуют кольцо. ^{[ dubious – discussion ]} Эту идею можно использовать , например, для представления операторов в гильбертовых пространствах .
• Пересечение колец матриц, конечных по строкам и столбцам, образует кольцо . ${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$
• Если R коммутативно , то M _n ( R ) имеет структуру *-алгебры над R , где инволюция * на M _n ( R ) является транспонированием матриц .
• Если A является C*-алгеброй , то M _n ( A ) является другой C*-алгеброй. Если A неунитальна, то M _n ( A ) также неунитальна. По теореме Гельфанда–Наймарка существует гильбертово пространство H и изометрический *-изоморфизм из A в замкнутую по норме подалгебру алгебры B ( H ) непрерывных операторов; это отождествляет M _n ( A ) с подалгеброй B ( H ^{⊕ n} ). Для простоты, если мы далее предположим, что H сепарабельна, а A B ( H ) является унитальной C*-алгеброй, мы можем разбить A на кольцо матриц над меньшей C*-алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, ее ортогональную проекцию 1 −  p ; можно отождествить A с , где умножение матриц работает так, как и предполагалось, из-за ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с матричным кольцом над C*-алгеброй, мы требуем, чтобы p и 1 −  p имели одинаковый «ранг»; точнее, нам нужно, чтобы p и 1 −  p были эквивалентны по Мюррею–фон Нейману, т. е. существовала частичная изометрия u такая, что p = uu * и 1 − p = u * u . Это можно легко обобщить на матрицы больших размеров. ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
• Комплексные матричные алгебры M _n ( C ) являются, с точностью до изоморфизма, единственными конечномерными простыми ассоциативными алгебрами над полем C комплексных чисел . До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввел кольцо, элементы которого он назвал бикватернионами ^[7], а современные авторы назвали бы тензорами в C ⊗ _R H , которое, как было позже показано, изоморфно M ₂ ( C ). Один базис M ₂ ( C ) состоит из четырех матричных единиц (матриц с одним элементом 1 и всеми остальными элементами 0); другой базис задается единичной матрицей и тремя матрицами Паули .
• Кольцо матриц над полем является алгеброй Фробениуса , причем форма Фробениуса задается следом произведения: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

Структура

• Матричное кольцо M _n ( R ) можно отождествить с кольцом эндоморфизмов свободного правого R -модуля ранга n ; то есть M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . Матричное умножение соответствует композиции эндоморфизмов.
• Кольцо M _n ( D ) над телом D является артиновым простым кольцом , специальным типом полупростого кольца . Кольца и не являются простыми и не артиновыми , если множество I бесконечно, но они по-прежнему являются полными линейными кольцами . ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$
• Теорема Артина –Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению для некоторого неотрицательного целого числа r , положительных целых чисел n _i и тел D _i . ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
• Когда мы рассматриваем M _n ( C ) как кольцо линейных эндоморфизмов C ⁿ , те матрицы, которые обращаются в нуль на данном подпространстве V , образуют левый идеал . Наоборот, для данного левого идеала I кольца M _n ( C ) пересечение нулевых пространств всех матриц из I дает подпространство C ⁿ . При этой конструкции левые идеалы кольца M _n ( C ) находятся во взаимно однозначном соответствии с подпространствами кольца C ⁿ .
• Существует биекция между двусторонними идеалами M _n ( R ) и двусторонними идеалами R . А именно, для каждого идеала I из R множество всех матриц размера n × n с элементами из I является идеалом M _n ( R ), и каждый идеал M _n ( R ) возникает таким образом. Это означает, что M _n ( R ) является простым тогда и только тогда, когда R является простым. Для n ≥ 2 не каждый левый идеал или правый идеал M _n ( R ) возникает по предыдущей конструкции из левого идеала или правого идеала в R . Например, множество матриц, столбцы которых с индексами от 2 до n все равны нулю, образует левый идеал в M _n ( R ).
• Предыдущее идеальное соответствие на самом деле возникает из того факта, что кольца R и M _n ( R ) являются эквивалентными по Морите . Грубо говоря, это означает, что категория левых R -модулей и категория левых M _n ( R ) -модулей очень похожи. Из-за этого существует естественное биективное соответствие между классами изоморфизма левых R -модулей и левых M _n ( R ) -модулей, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов M _n ( R ). Идентичные утверждения справедливы для правых модулей и правых идеалов. Благодаря эквивалентности по Морите M _n ( R ) наследует любые инвариантные по Морите свойства R , такие как простота , артиновость , нётеровость , простота .

Характеристики

• Если S является подкольцом R , то M _n ( S ) является подкольцом M _n ( R ). Например, M _n ( Z ) является подкольцом M _n ( Q ).
• Кольцо матриц M _n ( R ) коммутативно тогда и только тогда, когда n = 0 , R = 0 или R коммутативно и n = 1 . Фактически, это верно также для подкольца верхних треугольных матриц. Вот пример, показывающий две верхние треугольные матрицы 2 × 2 , которые не коммутируют, предполагая, что 1 ≠ 0 в R :

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  и

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Для n ≥ 2 кольцо матриц M _n ( R ) над ненулевым кольцом имеет делители нуля и нильпотентные элементы ; то же самое справедливо для кольца верхних треугольных матриц. Примером в матрицах 2 × 2 будет

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Центр M _n ( R ) состоит из скалярных кратных единичной матрицы I n , _в которой скаляр принадлежит центру R .
• Единичная группа M _n ( R ), состоящая из обратимых при умножении матриц, обозначается GL _n ( R ).
• Если F — поле, то для любых двух матриц A и B из M _n ( F ) равенство AB = I _n влечет BA = I _n . Однако это не верно для каждого кольца R. Кольцо R , все матричные кольца которого обладают указанным свойством, известно как стабильно конечное кольцо (Lam 1999, стр. 5).

Матричное полукольцо

На самом деле, R должно быть только полукольцом для определения M _n ( R ). В этом случае M _n ( R ) является полукольцом, называемым матричным полукольцом . Аналогично, если R является коммутативным полукольцом, то M _n ( R ) являетсяматричная полуалгебра .

Например, если R — булево полукольцо ( двухэлементная булева алгебра R = {0, 1}, где 1 + 1 = 1 ), ^[8] то M _n ( R ) — полукольцо бинарных отношений на множестве из n элементов с объединением в качестве сложения, композицией отношений в качестве умножения, пустым отношением ( нулевой матрицей ) в качестве нуля и тождественным отношением ( тождественной матрицей ) в качестве единицы . ^[9]

Смотрите также

• Центральная простая алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
• Кольцо общей матрицы
• Закон инерции Сильвестра

Цитаты

1. Лэм (1999), Теорема 3.1
2. Лэм (2001).
3. Lang (2005), V.§3
4. Серр (2006), стр. 3
5. Серр (1979), стр. 158
6. Артин (2018), Пример 3.3.6(a)
7. Лекция VII сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1853) Лекции о кватернионах , Ходжес и Смит
8. Дросте и Куич (2009), стр. 7
9. Дросте и Куич (2009), стр. 8

Ссылки

• Артин (2018), Алгебра , Пирсон
• Droste, M.; Kuich, W (2009), "Полукольца и формальные степенные ряды", Справочник по взвешенным автоматам , Монографии по теоретической информатике. Серия EATCS, стр. 3–28, doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1, ISBN 978-3-642-01491-8
• Лэм, TY (1999), Лекции по модулям и кольцам, Graduate Texts in Mathematics № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
• Лэм (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Springer
• Ланг (2005), бакалавриат по алгебре , Springer
• Серр (1979), Местные поля , Springer
• Серр (2006), Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.), Springer, исправленное 5-е издание