Частица в кольце

В квантовой механике случай частицы в одномерном кольце аналогичен случаю частицы в ящике . Уравнение Шредингера для свободной частицы , которая ограничена кольцом (технически, конфигурационным пространством которого является окружность ), имеет вид ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$

Волновая функция

Анимированная волновая функция «когерентного» состояния, состоящего из собственных состояний n=1 и n=2.

Используя полярные координаты на одномерном кольце радиуса R, волновая функция зависит только от угловой координаты , и поэтому ^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

Требование, чтобы волновая функция была периодической по с периодом (из требования, чтобы волновые функции были однозначными функциями на окружности ), и чтобы они были нормализованы, приводит к условиям ${\displaystyle \ \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\ }$,

и

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$

При этих условиях решение уравнения Шредингера имеет вид

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\,\theta }}$

Собственные значения энергии

Собственные значения энергии квантуются из -за периодических граничных условий , и они должны удовлетворять ${\displaystyle E}$

${\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\,\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}}$, или

${\displaystyle e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}}$

Собственная функция и собственные энергии равны

${\displaystyle \psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}}$где ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots }$

Следовательно, для каждого значения (соответствующего ) существует два вырожденных квантовых состояния . Следовательно, существуют состояния с энергиями вплоть до энергии, индексируемой числом . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \ e^{\pm in\theta }}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle n}$

Случай частицы в одномерном кольце является поучительным примером при изучении квантования углового момента , скажем, электрона, вращающегося вокруг ядра . Азимутальные волновые функции в этом случае идентичны собственным энергетическим функциям частицы на кольце.

Утверждение о том, что любая волновая функция частицы на кольце может быть записана в виде суперпозиции собственных функций энергии , в точности идентично теореме Фурье о разложении любой периодической функции в ряд Фурье .

Эту простую модель можно использовать для определения приблизительных уровней энергии некоторых кольцевых молекул, таких как бензол.

Приложение

В органической химии ароматические соединения содержат атомные кольца, такие как бензольные кольца ( структура Кекуле ), состоящие из пяти или шести, обычно углеродных , атомов. Так же обстоит дело с поверхностью « бакиболов » (бакминстерфуллеренов). Это кольцо ведет себя как круговой волновод , в котором валентные электроны вращаются в обоих направлениях. Для заполнения всех энергетических уровней до n требуются электроны, поскольку электроны имеют дополнительно две возможные ориентации своих спинов. Это дает исключительную стабильность («ароматическую») и известно как правило Хюккеля . ${\displaystyle 2\times (2n+1)=4n+2}$

В дальнейшем во вращательной спектроскопии эта модель может быть использована как аппроксимация уровней вращательной энергии.

Смотрите также

• Угловой момент импульса
• Гармонический анализ
• Одномерный периодический случай
• Полукруглая потенциальная яма
• Сферическая потенциальная яма

Ссылки

1. Кокс, Хитер. Проблемы и решения для сопровождения физической химии: молекулярный подход . University Science Books. стр. 141. ISBN 978-0935702439.