Мера риска

В финансовой математике мера риска используется для определения суммы актива или набора активов (традиционно валюты ), которые должны храниться в резерве. Цель этого резерва — сделать риски, принимаемые финансовыми институтами , такими как банки и страховые компании, приемлемыми для регулятора . В последние годы внимание переключилось на выпуклое и последовательное измерение риска .

Математически

Мера риска определяется как отображение набора случайных величин в действительные числа. Этот набор случайных величин представляет доходность портфеля. Общее обозначение для меры риска, связанной со случайной величиной, — . Мера риска должна обладать определенными свойствами: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

Нормализованный

${\displaystyle \rho (0)=0}$

Переводной

${\displaystyle \mathrm {If} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\rho (Z+a)=\rho (Z)-a}$

Монотонный

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2},\;\mathrm {then} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})}$

Установленное значение

В ситуации с портфелями со стоимостью, такими, что риск может быть измерен в активах, набор портфелей является правильным способом описания риска. Меры риска со стоимостью набора полезны для рынков с транзакционными издержками . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle m\leq d}$

Математически

Мера риска со значениями множества — это функция , где — -мерное Lp-пространство , и где — постоянный конус платежеспособности , а — множество портфелей базовых активов. должна обладать следующими свойствами: ^[3] ${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$ ${\displaystyle L_{d}^{p}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$ ${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$

Нормализованный

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0){\text{ and }}R(0)\cap -\operatorname {int} K_{M}=\emptyset }$

Переводной на М

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Монотонный

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

Примеры

• Риск стоимости
• Ожидаемый дефицит
• Наложенные меры риска ^[4]
• Энтропийная ценность под угрозой
• Просадка
• Условное ожидание хвоста
• Мера энтропийного риска
• Суперхеджирование цены
• Ожидаемый

Дисперсия

Дисперсия (или стандартное отклонение ) не является мерой риска в указанном выше смысле. Это можно увидеть, поскольку она не обладает ни свойством перевода, ни монотонностью. То есть, для всех , и можно найти простой контрпример для монотонности. Стандартное отклонение является мерой риска отклонения . Чтобы избежать путаницы, обратите внимание, что меры риска отклонения, такие как дисперсия и стандартное отклонение , иногда называются мерами риска в разных областях. ${\displaystyle Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Отношение к набору приемки

Существует однозначное соответствие между набором приемки и соответствующей мерой риска. Как определено ниже, можно показать, что и . ^[5] ${\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}$ ${\displaystyle A_{R_{A}}=A}$

Мера риска для принятия набора

• Если — (скалярная) мера риска, то — множество приемки. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}$
• Если — это мера риска с заданным значением, то — это приемочное множество. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}$

Принятие набора для измерения риска

• Если — множество приемки (в 1-d), то определяет (скалярную) меру риска. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$
• Если — набор приемлемых значений, то — мера риска, имеющая множество значений. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}$

Связь с мерой риска отклонения

Существует однозначное соотношение между мерой риска отклонения D и мерой риска, ограниченной ожиданием , где для любого ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle \rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$.

${\displaystyle \rho }$называется ограниченным ожиданием, если оно удовлетворяет для любого непостоянного X и для любого постоянного X. ^[6] ${\displaystyle \rho (X)>\mathbb {E} [-X]}$ ${\displaystyle \rho (X)=\mathbb {E} [-X]}$

Смотрите также

• Последовательная мера риска
• Условная стоимость под риском
• Мера риска искажения
• Динамическая мера риска
• Энтропийная ценность под угрозой
• Ожидаемый дефицит
• Учет управленческих рисков
• Управление рисками
• Метрика риска — абстрактная концепция, которую количественно определяет мера риска.
• Коэффициент риска/доходности
• RiskMetrics — модель управления рисками
• Спектральная мера риска
• Риск стоимости
• Наихудшая мера риска
• Эмпирическая минимизация риска

Ссылки

1. Арцнер, Филипп; Дельбен, Фредди; Эбер, Жан-Марк; Хит, Дэвид (1999). "Coherent Measures of Risk" (PDF) . Математические финансы . 9 (3): 203–228. doi :10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585 . Получено 3 февраля 2011 г. .
2. Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). «Векторно-значные когерентные меры риска». Finance and Stochastics . 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . doi :10.1007/s00780-004-0127-6. S2CID  18237100. 
3. Хамель, AH; Хейде, F. (2010). «Двойственность для многозначных мер риска». Журнал SIAM по финансовой математике . 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi :10.1137/080743494. 
4. Джохадзе, Валериан; Шмидт, Вольфганг М. (март 2020 г.). «Измерение риска модели в управлении финансовыми рисками и ценообразовании». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 23 (2) 2050012. doi : 10.1142/s0219024920500120 . SSRN  3113139.
5. Андреас Х. Хамель; Франк Хейде; Биргит Рудлофф (2011). «Меры риска с множеством значений для моделей конического рынка». Математика и финансовая экономика . 5 (1): 1–28. arXiv : 1011.5986 . doi :10.1007/s11579-011-0047-0. S2CID  154784949.
6. Рокафеллар, Тиррелл; Урясев, Станислав; Забаранкин, Майкл (22 января 2003 г.). «Меры отклонения в анализе и оптимизации риска». SSRN  365640.

Дальнейшее чтение

• Crouhy, Michel; D. Galai; R. Mark (2001). Управление рисками . McGraw-Hill . стр. 752 страницы. ISBN 978-0-07-135731-9.
• Кевин, Дауд (2005). Измерение рыночного риска (2-е изд.). John Wiley & Sons . С. 410 страниц. ISBN 978-0-470-01303-8.

• Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2004). Стохастические финансы . Серия де Грюйтера по математике. Том. 27. Берлин: Вальтер де Грюйтер . стр. xi+459. ISBN 978-311-0183467. МР  2169807.
• Шапиро, Александр; Денчева, Даринка; Рущинский, Анджей (2009). Лекции по стохастическому программированию. Моделирование и теория . Серия MPS/SIAM по оптимизации. Том 9. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики . стр. xvi+436. ISBN 978-0898716870. МР  2562798.