Рнг (алгебра)

Алгебраическое кольцо без мультипликативного тождества

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , rng (или неунитальное кольцо или псевдокольцо ) — это алгебраическая структура, удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо , но без предположения о существовании мультипликативной идентичности . Термин rng (IPA: / r ʌ ŋ / ) подразумевает, что это кольцо без i , то есть без требования элемента идентичности. ^[1]

В сообществе нет единого мнения о том, должно ли существование мультипликативного тождества быть одной из аксиом кольца (см. Кольцо (математика) § История ). Термин rng был придуман, чтобы устранить эту двусмысленность, когда люди хотят явно сослаться на кольцо без аксиомы мультипликативного тождества.

Ряд алгебр функций, рассматриваемых в анализе, не являются унитарными, например, алгебра функций, убывающих до нуля на бесконечности, особенно тех, которые имеют компактный носитель на некотором (некомпактном ) пространстве.

Определение

Формально rng ​​— это множество R с двумя бинарными операциями (+, ·), называемыми сложением и умножением, такими, что

• ( R , +) — абелева группа ,
• ( R , ·) — полугруппа ,
• Умножение распределяется по сравнению со сложением.

Гомоморфизм rng — это функция f : R → S из одного rng ​​в другой такая, что

• f ( х + у ) = f ( х ) + f ( у )
• f ( х · у ) = f ( х ) · f ( у )

для всех x и y в R .

Если R и S — кольца, то гомоморфизм колец R → S совпадает с гомоморфизмом rng R → S , который отображает 1 в 1.

Примеры

Все кольца являются rng. Простой пример rng, который не является кольцом, — это четные целые числа с обычным сложением и умножением целых чисел. Другой пример — это множество всех действительных матриц 3 на 3 , нижняя строка которых равна нулю. Оба эти примера являются примерами общего факта, что каждый (одно- или двусторонний) идеал является rng.

Rng часто естественным образом появляются в функциональном анализе , когда рассматриваются линейные операторы на бесконечномерных векторных пространствах . Возьмем, например, любое бесконечномерное векторное пространство V и рассмотрим множество всех линейных операторов f  : V → V с конечным рангом (т.е. dim f ( V ) < ∞ ). Вместе со сложением и композицией операторов это rng, но не кольцо. Другим примером является rng всех действительных последовательностей , которые сходятся к 0, с покомпонентными операциями.

Кроме того, многие тестовые функциональные пространства, встречающиеся в теории распределений, состоят из функций, убывающих к нулю на бесконечности, как, например, пространство Шварца . Таким образом, функция, везде равная единице, которая была бы единственным возможным элементом тождества для поточечного умножения, не может существовать в таких пространствах, которые, следовательно, являются rng (для поточечного сложения и умножения). В частности, вещественнозначные непрерывные функции с компактным носителем, определенные на некотором топологическом пространстве , вместе с поточечным сложением и умножением образуют rng; это не кольцо, если базовое пространство не является компактным .

Пример: четные целые числа

Множество 2 Z четных целых чисел замкнуто относительно сложения и умножения и имеет аддитивное тождество 0, поэтому оно является rng, но не имеет мультипликативного тождества, поэтому оно не является кольцом.

В 2 Z единственный мультипликативный идемпотент — это 0, единственный нильпотент — это 0, и единственный элемент с рефлексивным обратным — это 0.

Пример: конечныйпятеричныйпоследовательности

Прямая сумма, снабженная покоординатным сложением и умножением, представляет собой случайный ряд со следующими свойствами: ${\textstyle {\mathcal {T}}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$

• Его идемпотентные элементы образуют решетку без верхней границы.
• Каждый элемент x имеет рефлексивный обратный элемент , а именно элемент y, такой что xyx = x и yxy = y .
• Для каждого конечного подмножества существует идемпотент в , который действует как тождество для всего подмножества: последовательность с единицей в каждой позиции, где последовательность в подмножестве имеет ненулевой элемент в этой позиции, и ноль в каждой другой позиции. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Характеристики

• Идеалы, факторкольца и модули можно определить для rng так же, как и для колец.
• Однако работа с rng вместо колец усложняет некоторые связанные определения. Например, в кольце R левый идеал ( f ), порожденный элементом f , определяемым как наименьший левый идеал, содержащий f , — это просто Rf , но если R — это только rng, то Rf может не содержать f , поэтому вместо этого

  $${\displaystyle (f)=Rf+\mathbf {Z} f=\{af+nf:a\in R~{\text{and}}~n\in \mathbf {Z} \},}$$где nf следует интерпретировать с использованием повторного сложения/вычитания, поскольку n не обязательно должен представлять элемент R. Аналогично, левый идеал, порожденный элементами f ₁ , ..., f _m rng R, есть $${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m})=\{a_{1}f_{1}+\cdots +a_{m}f_{m}+n_{1}f_{1}+\cdots n_{m}f_{m}:a_{i}\in R\;\mathrm {and} \;n_{i}\in \mathbf {Z} \},}$$

  формула, которая восходит к Эмми Нётер . ^[2] Аналогичные сложности возникают при определении подмодуля , порожденного набором элементов модуля.
• Некоторые теоремы для колец ложны для rngs. Например, в кольце каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале , поэтому ненулевое кольцо всегда имеет по крайней мере один максимальный идеал. Оба эти утверждения неверны для rngs.
• Гомоморфизм rng f  : R → S отображает любой идемпотентный элемент в идемпотентный элемент.
• Если f  : R → S — гомоморфизм rng из кольца в rng, и образ f содержит неделитель нуля S , то S — кольцо, а f — гомоморфизм колец.

Присоединение элемента идентичности (расширение Дорро)

Каждое rng R можно расширить до кольца R ^, присоединив единичный элемент. Общий способ сделать это — формально добавить единичный элемент 1 и позволить R ^ состоять из целочисленных линейных комбинаций 1 и элементов R с предположением, что ни одно из его ненулевых целых кратных не совпадает и не содержится в R ^ . То есть элементы R ^ имеют вид

н ⋅ 1 + р

где n — целое число , а r ∈ R. Умножение определяется линейностью:

( n1 + r1 _{) ⋅} ( _n2 + _r2 ) = _n1n2 + _n1r2 + n2r1 ₊ r1r2 .​_​​​_​​_​​​_​​_​​

Более формально, мы можем взять R ^ как декартово произведение Z × R и определить сложение и умножение следующим образом:

( n1 , r1 ) ₊ ( n2 , r2 ₎ = ( n1 _{+ n2} , r1 + r2 ₎ ,_​​​

( n1 , r1 ₎ · ( _n2 , _{r2 )} = ( _n1n2 , _{n1r2 +} n2r1 + _r1r2 ) .​​_​​_​​​_​​_​​

Мультипликативное тождество R ^ тогда равно (1, 0) . Существует естественный rng гомоморфизм j  : R → R ^, определяемый соотношением j ( r ) = (0, r ) . Это отображение обладает следующим универсальным свойством :

Для любого кольца S и любого rng ​​гомоморфизма f  : R → S существует единственный кольцевой гомоморфизм g  : R ^ → S такой, что f = gj .

Отображение g можно определить как g ( n , r ) = n · 1 _S + f ( r ) .

Существует естественный сюръективный гомоморфизм колец R ^→ Z , который переводит ( n , r ) в n . Ядро этого гомоморфизма — образ R в R ^. Поскольку j инъективно , мы видим, что R вкладывается как (двусторонний) идеал в R ^ с фактор-кольцом R ^/ R, изоморфным Z. Отсюда следует, что

Каждый rng является идеалом в некотором кольце, а каждый идеал кольца является rng.

Обратите внимание, что j никогда не является сюръективным. Таким образом, даже если R уже имеет единичный элемент, кольцо R ^ будет большим с другой идентичностью. Кольцо R ^ часто называют расширением Дорроха кольца R в честь американского математика Джо Ли Дорроха, который впервые его построил. ^[3]

Процесс присоединения единичного элемента к rng можно сформулировать на языке теории категорий . Если мы обозначим категорию всех колец и гомоморфизмов колец через Ring , а категорию всех rng и гомоморфизмов rng через Rng , то Ring является (неполной) подкатегорией Rng . Конструкция R ^, приведенная выше, дает левый сопряженный к функтору включения I  : Ring → Rng . Обратите внимание, что Ring не является рефлективной подкатегорией Rng , поскольку функтор включения не является полным .

Свойства слабее, чем наличие идентичности

Есть несколько свойств, которые рассматривались в литературе, которые слабее, чем наличие элемента идентичности, но не столь общие. Например:

• Кольца с достаточным количеством идемпотентов: R называется кольцом с достаточным количеством идемпотентов, если существует подмножество E кольца R, заданное ортогональными (т. е. ef = 0 для всех e ≠ f в E ) идемпотентами (т. е. e ² = e для всех e в E ), такими, что R = ⊕ _{e ∈ E} eR = ⊕ _{e ∈ E} Re .
• Кольца с локальными единицами: R называется кольцом с локальными единицами, если для каждого конечного множества r ₁ , r ₂ , ..., r _t в R можно найти e в R такое, что e ² = e и er _i = r _i = r _i e для каждого i .
• s -унитальные кольца: Rng называется s - унитальным, если для любого конечного множества r ₁ , r ₂ , ..., r _t в R можно найти s в R такое, что sr _i = r _i = r _i s для каждого i .
• Фиксированные кольца: Arng R называются фиксированными, если канонический гомоморфизм R ⊗ _R R → R , заданный формулой r ⊗ s ↦ rs, является изоморфизмом.
• Идемпотентные кольца: Rng R называется идемпотентным (или irng) в случае, если R ² = R , то есть для каждого элемента r из R мы можем найти элементы r _i и s _i в R такие, что . ${\textstyle r=\sum _{i}r_{i}s_{i}}$

Нетрудно проверить, что каждое из этих свойств слабее, чем наличие элемента тождества и слабее, чем свойство, предшествующее ему.

• Кольца — это кольца с достаточным количеством идемпотентов, использующие E = {1}. Кольцо с достаточным количеством идемпотентов, не имеющее тождества, — это, например, кольцо бесконечных матриц над полем с конечным числом ненулевых элементов. Матрицы с 1 ровно в одном элементе главной диагонали и нулями во всех остальных элементах являются ортогональными идемпотентами.
• Кольца с достаточным количеством идемпотентов являются кольцами с локальными единицами, как можно увидеть, взяв конечные суммы ортогональных идемпотентов, чтобы удовлетворить определению.
• Кольца с локальными единицами, в частности, s -унитальные; s -унитальные кольца являются устойчивыми, а устойчивые кольца являются идемпотентными.

Rng квадрата нуля

Rng квадрата нуля — это rng ​​R, такой что xy = 0 для всех x и y в R. ^[4] Любая абелева группа может быть сделана rng квадрата нуля , если определить умножение так, что xy = 0 для всех x и y ; ^[5] таким образом, каждая абелева группа является аддитивной группой некоторого rng. Единственный rng квадрата нуля с мультипликативным тождеством — это нулевое кольцо {0}. ^[5]

Любая аддитивная подгруппа rng квадрата нуля является идеалом . Таким образом, rng квадрата нуля является простым тогда и только тогда, когда его аддитивная группа является простой абелевой группой, т. е. циклической группой простого порядка. ^[6]

Унитальный гомоморфизм

Даны две унитальные алгебры A и B , гомоморфизм алгебр

ж  : А → Б

является унитарным , если он отображает единичный элемент A в единичный элемент B.

Если ассоциативная алгебра A над полем K не является унитарной, то можно присоединить единичный элемент следующим образом: взять A × K в качестве базового K - векторного пространства и определить умножение ∗ как

( х , г ) ∗ ( у , s ) = ( ху + sx + ry , rs )

для x , y из A и r , s из K . Тогда ∗ — ассоциативная операция с единичным элементом (0, 1) . Старая алгебра A содержится в новой, и на самом деле A × K — «самая общая» унитальная алгебра, содержащая A , в смысле универсальных конструкций .

Смотрите также

• Полукольцо

Цитаты

1. Якобсон (1989), стр. 155–156
2. Нётер (1921), стр. 30, §1.2
3. Доррох (1932)
4. См. Бурбаки (1998), стр. 102, где он называется псевдокольцом квадратного нуля. Некоторые другие авторы используют термин «нулевое кольцо» для обозначения любого rng ​​квадратного нуля; см., например, Szele (1949) и Kreinovich (1995).
5. Бурбаки (1998), стр. 102
6. Зариски и Сэмюэл (1958), стр. 133

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I, главы 1–3 . Springer.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Дорро, Дж. Л. (1932). «О дополнениях к алгебрам». Bull. Amer. Math. Soc . 38 (2): 85–88. doi : 10.1090/S0002-9904-1932-05333-2 .
• Якобсон, Натан (1989). Основы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1480-9.
• Крейнович, В. (1995). «Если полиномиальное тождество гарантирует, что любой частичный порядок на кольце может быть расширен, то это тождество верно только для нуль-кольца». Algebra Universalis . 33 (2): 237–242. doi :10.1007/BF01190935. MR  1318988. S2CID  122388143.
• Herstein, IN (1996). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-36879-3.
• Маккриммон, Кевин (2004). Вкус йордановых алгебр . Springer. ISBN 978-0-387-95447-9.
• Нётер, Эмми (1921). «Идеальная теория в Ringbereichen» [Идеальная теория в кольцах]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 83 (1–2): 24–66. дои : 10.1007/BF01464225. S2CID  121594471.
• Селе, Тибор (1949). «Zur Theory der Zeroringe». Математические Аннален . 121 : 242–246. дои : 10.1007/bf01329628. MR  0033822. S2CID  122196446.
• Зариски, Оскар; Сэмюэл, Пьер (1958). Коммутативная алгебра . Т. 1. Ван Ностранд.