Вращающаяся система отсчета

Понятие в классической механике

Вращающаяся система отсчета — это частный случай неинерциальной системы отсчета , которая вращается относительно инерциальной системы отсчета . Повседневным примером вращающейся системы отсчета является поверхность Земли . (В этой статье рассматриваются только системы, вращающиеся вокруг фиксированной оси. Для более общих вращений см. Углы Эйлера .)

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть рисунка) черный шар движется по прямой линии. Однако наблюдатель (красная точка), стоящий во вращающейся/неинерциальной системе отсчета (нижняя часть рисунка), видит объект движущимся по криволинейной траектории из-за сил Кориолиса и центробежных сил, присутствующих в этой системе.

Фиктивные силы

Все неинерциальные системы отсчета демонстрируют фиктивные силы ; вращающиеся системы отсчета характеризуются тремя: ^[1]

• центробежная сила ,
• сила Кориолиса ,

и, для неравномерно вращающихся систем отсчета,

• сила Эйлера .

Ученые во вращающемся ящике могут измерить скорость вращения и ось вращения , измеряя эти фиктивные силы. Например, Леон Фуко смог показать силу Кориолиса, которая возникает в результате вращения Земли, используя маятник Фуко . Если бы Земля вращалась во много раз быстрее, эти фиктивные силы могли бы ощущаться людьми, как на вращающейся карусели .

Центробежная сила

В классической механике центробежная сила — это внешняя сила, связанная с вращением . Центробежная сила — одна из нескольких так называемых псевдосил (также известных как силы инерции ), названных так потому, что, в отличие от реальных сил , они не возникают во взаимодействиях с другими телами, расположенными в среде частицы, на которую они действуют. Вместо этого центробежная сила возникает во вращении системы отсчета, в которой производятся наблюдения. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

сила Кориолиса

Математическое выражение для силы Кориолиса появилось в статье французского ученого Гаспара-Гюстава Кориолиса 1835 года в связи с гидродинамикой , а также в приливных уравнениях Пьера -Симона Лапласа в 1778 году. В начале 20 века термин «сила Кориолиса» начал использоваться в связи с метеорологией .

Возможно, наиболее часто встречающейся вращающейся системой отсчета является Земля . Движущиеся объекты на поверхности Земли испытывают силу Кориолиса и, по-видимому, отклоняются вправо в северном полушарии и влево в южном . Движения воздуха в атмосфере и воды в океане являются яркими примерами такого поведения: вместо того, чтобы течь напрямую из областей высокого давления в области низкого давления, как это было бы на невращающейся планете, ветры и течения имеют тенденцию течь вправо от этого направления к северу от экватора и влево от этого направления к югу от экватора. Этот эффект отвечает за вращение крупных циклонов (см. Эффекты Кориолиса в метеорологии ).

сила Эйлера

В классической механике ускорение Эйлера (названное в честь Леонарда Эйлера ), также известное как азимутальное ускорение ^[8] или поперечное ускорение ^[9], представляет собой ускорение , которое появляется, когда для анализа движения используется неравномерно вращающаяся система отсчета, и есть изменение угловой скорости оси системы отсчета . Эта статья ограничена системой отсчета, которая вращается вокруг фиксированной оси.

Сила Эйлера — это фиктивная сила, действующая на тело, которая связана с ускорением Эйлера соотношением F  =  m a , где a — ускорение Эйлера, а m — масса тела. ^{[10] [11]}

Связь вращающихся рам со стационарными рамами

Ниже приведен вывод формул для ускорений, а также фиктивных сил во вращающейся системе отсчета. Он начинается с соотношения между координатами частицы во вращающейся системе отсчета и ее координатами в инерциальной (стационарной) системе отсчета. Затем, взяв производные по времени, выводятся формулы, связывающие скорость частицы, наблюдаемую в двух системах отсчета, и ускорение относительно каждой системы отсчета. Используя эти ускорения, фиктивные силы определяются путем сравнения второго закона Ньютона, сформулированного в двух различных системах отсчета.

Соотношение между позициями в двух кадрах

Чтобы вывести эти фиктивные силы, полезно иметь возможность преобразовывать между координатами вращающейся системы отсчета и координатами инерциальной системы отсчета с тем же началом. ^{[примечание 1]} Если вращение происходит вокруг оси с постоянной угловой скоростью (так что и что подразумевает для некоторой константы , где обозначает угол в -плоскости, образованный в момент времени и -осью ), и если две системы отсчета совпадают в момент времени (то есть когда так что возьмите или какое-либо другое целое число, кратное ), преобразование из вращающихся координат в инерциальные координаты можно записать, тогда как обратное преобразование ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z'=z}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$ ${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$ $${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$ $${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$ $${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

Этот результат можно получить из матрицы вращения .

Введем единичные векторы, представляющие стандартные единичные базисные векторы во вращающейся системе отсчета. Производные по времени этих единичных векторов находятся далее. Предположим, что системы отсчета выровнены в и ось - является осью вращения. Тогда для вращения против часовой стрелки на угол : где компоненты выражены в неподвижной системе отсчета. Аналогично, ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega t}$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

Таким образом, производная по времени этих векторов, которые вращаются без изменения величины, равна , где Этот результат тот же, что и найденный с помощью векторного произведения с вектором вращения, направленным вдоль оси z вращения, а именно, где либо , либо $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$ ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

Производные по времени в двух системах отсчета

Введем единичные векторы , которые теперь представляют стандартные единичные базисные векторы в общей вращающейся системе отсчета. При вращении они будут оставаться нормализованными и перпендикулярными друг другу. Если они вращаются со скоростью вокруг оси вдоль вектора вращения , то каждый единичный вектор вращающейся системы координат (такой как или ) подчиняется следующему уравнению: Так, если обозначает преобразование, принимающее базисные векторы инерциальной- во вращающуюся систему отсчета, со столбцами матрицы, равными базисным векторам вращающейся системы отсчета, то векторное произведение умножения на вектор вращения задается как . ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle \Omega (t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$

Если — векторная функция, которая записывается как ^{[примечание 2]} и мы хотим исследовать ее первую производную, то (используя правило дифференциации произведения ): ^{[12] [13]} где обозначает скорость изменения, наблюдаемую во вращающейся системе координат. В сокращенном виде дифференциация выражается как: ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

Этот результат также известен как теорема о переносе в аналитической динамике и иногда его называют основным кинематическим уравнением . ^[14]

Соотношение между скоростями в двух системах отсчета

Скорость объекта является производной по времени от положения объекта, поэтому

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

Производная по времени положения во вращающейся системе отсчета имеет две компоненты: одну из явной зависимости от времени, обусловленной движением самого объекта во вращающейся системе отсчета, и другую из собственного вращения системы. Применяя результат предыдущего подраздела к смещению, скорости в двух системах отсчета связаны уравнением ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

где нижний индекс означает инерциальную систему отсчета, а означает вращающуюся систему отсчета. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$

Соотношение между ускорениями в двух системах отсчета

Ускорение — это вторая производная по времени от положения или первая производная по времени от скорости.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

где нижний индекс означает инерциальную систему отсчета, вращающуюся систему отсчета, и где выражение, опять же, в скобках слева следует интерпретировать как оператор, действующий на скобки справа. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$

Так как , первые временные производные внутри любой системы, выраженные относительно базиса, например, инерциальной системы, совпадают. Выполнение дифференциаций и перестановка некоторых членов дает ускорение относительно вращающейся системы отсчета, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

где — кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета, член представляет собой центробежное ускорение , а член — ускорение Кориолиса . Последний член, , — это ускорение Эйлера , равное нулю в равномерно вращающихся системах отсчета. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

Второй закон Ньютона в двух системах отсчета

Когда выражение для ускорения умножается на массу частицы, три дополнительных члена в правой части приводят к фиктивным силам во вращающейся системе отсчета, то есть кажущимся силам, которые возникают из-за нахождения в неинерциальной системе отсчета , а не из-за какого-либо физического взаимодействия между телами.

Используя второй закон движения Ньютона , получаем: ^{[1] [12] [13] [15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

• сила Кориолиса $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• центробежная сила $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• и сила Эйлера $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

где - масса объекта, на который действуют эти фиктивные силы . Обратите внимание, что все три силы исчезают, когда рамка не вращается, то есть когда ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

Для полноты картины инерциальное ускорение, вызванное внешними приложенными силами, можно определить из полной физической силы в инерциальной (невращающейся) системе отсчета (например, силы от физических взаимодействий, таких как электромагнитные силы ), используя второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчета: Тогда закон Ньютона во вращающейся системе отсчета принимает вид ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

Другими словами, чтобы справиться с законами движения во вращающейся системе отсчета: ^{[16] [17] [18]}

Относитесь к вымышленным силам как к реальным и представьте, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.

—  Луис Н. Хэнд, Джанет Д. Финч Аналитическая механика , стр. 267

Очевидно, вращающаяся система отсчета является случаем неинерциальной системы отсчета. Таким образом, на частицу помимо реальной силы действует фиктивная сила... Частица будет двигаться по второму закону движения Ньютона, если полную силу, действующую на нее, принять как сумму реальной и фиктивной сил.

—  HS Hans & SP Pui: Механика ; стр. 341

Это уравнение имеет в точности форму второго закона Ньютона, за исключением того, что в дополнение к F , сумме всех сил, определенных в инерциальной системе отсчета, справа есть дополнительный член... Это означает, что мы можем продолжать использовать второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета, при условии, что мы согласимся, что в неинерциальной системе отсчета мы должны добавить дополнительный член, подобный силе, часто называемый инерциальной силой .

—  Джон Р. Тейлор: Классическая механика ; стр. 328

Использование в магнитном резонансе

Магнитный резонанс удобно рассматривать в системе отсчета, вращающейся с частотой Лармора спинов. Это показано на анимации ниже. Также можно использовать приближение вращающейся волны .

Анимация, демонстрирующая вращающуюся рамку. Красная стрелка — это спин в сфере Блоха , который прецессирует в лабораторной рамке из-за статического магнитного поля. Во вращающейся рамке спин остается неподвижным до тех пор, пока резонансно колеблющееся магнитное поле не вызовет магнитный резонанс.

Смотрите также

• Абсолютное вращение
• Центробежная сила (вращающаяся система отсчета) Центробежная сила, наблюдаемая в системах, вращающихся вокруг фиксированной оси
• Механика плоского движения частицы Фиктивные силы, проявляемые частицей в плоском движении, видимые самой частицей и наблюдателями в совместно вращающейся системе отсчета.
• Сила Кориолиса. Влияние силы Кориолиса на Землю и другие вращающиеся системы.
• Инерциальная система отсчета
• Неинерциальная система отсчета
• Фиктивная сила Более общая трактовка предмета этой статьи

Ссылки

1. Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer. стр. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.
2. Роберт Резник и Дэвид Холлидей (1966). Физика . Wiley. стр. 121. ISBN 0-471-34524-5.
3. Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем. Springer. стр. 251. ISBN 0-387-98643-X.
4. Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика. University Science Books. стр. 343. ISBN 1-891389-22-X.
5. Стивен Т. Торнтон и Джерри Б. Мэрион (2004). "Глава 10". Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Belmont CA: Brook/Cole. ISBN 0-534-40896-6. OCLC  52806908.
6. Дэвид Макнотон. "Центробежные и кориолисовы эффекты" . Получено 18.05.2008 .
7. Дэвид П. Стерн. "Системы отсчета: центробежная сила" . Получено 26.10.2008 .
8. Дэвид Морин (2008). Введение в классическую механику: с проблемами и решениями . Cambridge University Press. стр. 469. ISBN 978-0-521-87622-3. ускорение азимутальное Морена.
9. Грант Р. Фаулз и Джордж Л. Кэссидей (1999). Аналитическая механика (6-е изд.). Harcourt College Publishers. стр. 178.
10. Ричард Х. Баттин (1999). Введение в математику и методы астродинамики. Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . стр. 102. ISBN 1-56347-342-9.
11. Джеррольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем. Springer. стр. 251. ISBN 0-387-98643-X.
12. Cornelius Lanczos (1986). Вариационные принципы механики (перепечатка четвертого издания 1970 г.). Dover Publications . Глава 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
13. Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика. University Science Books. стр. 342. ISBN 1-891389-22-X.
14. Корлесс, Мартин. «Кинематика» (PDF) . Заметки по курсу аэромеханики I . Университет Пердью . стр. 213. Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2012 г. . Получено 18 июля 2011 г. .
15. Л. Д. Ландау и Л. М. Лифшиц (1976). Механика (Третье изд.). Butterworth-Heinemann. стр. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.
16. Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Аналитическая механика. Cambridge University Press . стр. 267. ISBN 0-521-57572-9.
17. HS Hans & SP Pui (2003). Механика. Tata McGraw-Hill. стр. 341. ISBN 0-07-047360-9.
18. Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика. University Science Books. стр. 328. ISBN 1-891389-22-X.

1. Таковы функции и времени Аналогично функции и То, что эти системы отсчета имеют одно и то же начало отсчета, означает, что для всех тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x',y',z'}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x',y',z',}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(0,0,0)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0).}$
2. Таковы координаты ' относительно вращающегося базисного вектора ( координаты ' относительно инерциальной системы не используются). Следовательно, в любой заданный момент времени скорость изменения относительно этих вращающихся координат равна Так, например, если и являются константами, то является просто одним из вращающихся базисных векторов и (как и ожидалось) его временная скорость изменения относительно этих вращающихся координат идентична (поэтому формула для , приведенная ниже, подразумевает, что производная по времени этого вращающегося базисного вектора равна ); однако его скорость изменения относительно невращающейся инерциальной системы не будет постоянной, за исключением (конечно) случая, когда не движется в инерциальной системе (это происходит, например, когда ось вращения фиксирована как ось (предполагая стандартные координаты) в инерциальной системе и также или ). ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}.}$ ${\displaystyle f_{1}\equiv 1}$ ${\displaystyle f_{2}=f_{3}\equiv 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {i}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {i}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,1)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,-1)}$

Внешние ссылки

• Анимационный клип, демонстрирующий сцены, рассматриваемые как в инерциальной, так и во вращающейся системе отсчета, наглядно демонстрирующий силу Кориолиса и центробежную силу.